Кіріспе

Жазық қисық түрі

Геометрияда кардиоид – бұл радиусы бірдей тұрақты шеңбердің айналасында домалап өтетін шеңбердің периметріндегі нүктемен салынған жазық қисық. Оны бір тұғыры бар эпициклоид ретінде де анықтауға болады. Бұл сондай-ақ синусоидты спиральдың бір түрі және инверсия орталығы ретінде фокусы бар параболаның кері қисығы. Кардиоидты шеңбердегі белгілі бір нүктенің шеңберге жүргізілген барлық жанамалары арқылы шағылысқан нүктелерінің жиынтығы ретінде де анықтауға болады. Бұл атауды 1741 жылы Джованни Сальвемини берген, бірақ кардиоид ондаған жылдар бұрын зерттелген. Аты жүрек пішінімен байланысты болғанымен, оның пішіні сабы жоқ дөңгелек алманың қимасының контурына көбірек ұқсайды. Кардиоид микрофонының дыбысты қабылдау үлгісі екі өлшемді графикте көрсетілгенде кардиоидқа ұқсайды (микрофонның 3D түзу сызығын қамтитын кез келген 2D жазықтық). Үш өлшемде кардиоид алма пішіндес болып келеді, ал микрофон алманың "сабы" болып табылады.

Артқы жағы арқылы өтетін акордтар

C1 Кардиоиданың төбесі арқылы өтетін хордалардың ұзындығы бірдей. C2 Төбе арқылы өтетін хордалардың орта нүктелері тұрақты генератор шеңберінің периметрінде жатады (суретті қараңыз).

C1 дәлелденуі

Нүктелер шүберек нүктесінен (бастапқы нүктеден) өтетін хордада жатыр. Сондықтан

C2 үшін дәлелдеу

Дәлелдеу үшін кешенді жазықтықтағы бейнелеу қолданылады (жоғарыда көрсетілгендей). және нүктелері үшін, хордасының орта нүктесі болады, ол ортасы және радиусы болатын шеңбердің периметрінде жатыр (суретті қараңыз).

Кардиоид сызықты қарындаш конверті ретінде

Кардиоидты сызудың ұқсас және қарапайым әдісі сызықтар жиынын пайдаланады. Бұл әдіс Л. Кремонаға тиесілі:

Шеңбер сызыңыз, оның периметрін тең аралықтағы бөліктерге нүктелермен бөліңіз (суретті қараңыз) және оларды тізбектеп нөмірлеңіз. Хордаларды сызыңыз: (яғни, екінші нүкте екі есе жылдамдықпен жылжытылады.) Осы хордалардың ортақ жабыны кардиоидты құрайды.

Кардиоид шеңбердің каустигі ретінде

Алдыңғы бөлімде қарастырылған мәселелер шеңбердің периметрінде орналасқан жарық көзіне ие шеңбердің каустикасы кардиоида болатынын көрсетеді. Егер жазықтықта шеңбердің периметріндегі бір нүктеде жарық көзі болса және ол кез келген сәуленің шағылыстырылса, онда шеңбер ішіндегі шағылысқан сәулелер кардиоидаға жанама болады. Ескерту: Мұндай жағдайларды қарастырғанда көбінесе шеңбердегі көп рет шағылысулар ескерілмейді.

Дәлел

Картезиандық координаттар жүйесінде шеңбердің ортасы және радиусы болады. Шеңбер нүктесіндегі жанаманың теңдеуі мынадай:

Түпкі нүктеден жанамаға түсірілген перпендикулярдың табаны нүктесі болып табылады, оның түпкі нүктеге дейінгі қашықтығы әлі белгісіз. Бұл нүктені жанама теңдеуіне қойғанда мынадай нәтиже шығады:

Бұл кардиоиданың полярлық теңдеуі. Ескерту: Егер нүкте шеңбердің периметрінде болмаса, Паскаль лимасоны алынады.

Ортогональды траекториялар

Бұрыштар жиынының ортогональды траекториясы – бұл жиынның кез келген қисығын тік бұрышпен қиып өтетін қисық. Кардиоидтар үшін келесідей: em = 1.5 | text = теңдеулері бар кардиоидтар жиынының ортогональды траекториялары теңдеулері бар кардиоидтар болып табылады. (Екінші жиынды бірінші жиынның y осьіне қарағандағы көрінісі ретінде қарастыруға болады. Диаграмманы қараңыз.)

Әр түрлі орында

Кардиоидты координаттар жүйесінде басқа позицияға орналастыру нәтижесінде әртүрлі теңдеулер шығады. Суретте кардиоидтың ең көп қолданылатын 4 позициясы және олардың полярлық теңдеулері көрсетілген.

Күрделі талдауда

Күрделі талдауда, карта бойынша нөл нүктесінен өтетін кез келген шеңбердің суреті кардиоид болады. Бұл нәтиженің бір қолданылуы – Мандельброт жиынының орталық кезең 1 компонентінің шекарасы мына теңдеумен берілген кардиоид болып табылады.

Мандельброт жиынында өзін-өзіңнің аздап бұрмаланған көшірмелерінің шексіз саны бар, ал осы кіші көшірмелердің кез келгенінің орталық бөлігі жуық кардиоид болып табылады.

Каустикалық

Кейбір каустиктер кардиоидтар пішінін алады. Шеңбердің шеңбердегі нүктеге қатысты катакаустикасы кардиоид болып табылады. Сондай-ақ, жасаушы сызыққа параллель сәулелерге қатысты конустың катакаустикасы – көлденең қимасы кардиоид болатын бет. Бұл, сумен ішінара толтырылған конус тәрізді тостағанда, жарық қашықтықтан және конус бұрышына тең бұрышта түсіргенде, суретте көрінеді. Цилиндрлі тостағанның түбіндегі қисық сызық нефроидтың жартысына ұқсайды.