Введение

Тип плоской кривой

В геометрии кардиоида — это плоская кривая, описываемая точкой на окружности, катящейся вокруг неподвижной окружности того же радиуса. Её также можно определить как эпициклоиду с одной острой вершиной. Это также тип синусоидальной спирали и обратная кривая к параболе, где фокус является центром инверсии. Кардиоида можно также определить как множество точек отражения фиксированной точки на окружности относительно всех касательных к этой окружности. Название было предложено Джованни Сальвемини в 1741 году, однако кардиоида изучалась задолго до этого. Несмотря на название, связанное с формой сердца, её очертания больше напоминают поперечное сечение круглого яблока без плодоножки. Кардиоидный микрофон имеет диаграмму направленности, которая при графическом изображении в двух измерениях напоминает кардиоиду (любая 2D плоскость, содержащая 3D прямую линию корпуса микрофона). В трёх измерениях кардиоида имеет форму яблока, центрированного вокруг микрофона, который является его "плодоножкой".

Аккорды через вершину

C1 Хорды, проходящие через точку кардиоиды, имеют одинаковую длину. C2 Середины хорд, проходящих через точку кардиоиды, лежат на периметре фиксированного образующего круга (см. рисунок).

Доказательство C1

Точки лежат на хорде, проходящей через вершину (точку начала координат). Следовательно,

Доказательство для C2

Для доказательства используется представление в комплексной плоскости (см. выше). Для точек и середина хорды является точкой, лежащей на окружности с центром и радиусом (см. рисунок).

Кардиоид как оболочка карандаша из линий

Аналогичным и простым методом построения кардиоиды является использование пучка прямых. Этот метод принадлежит Л. Кремоне:

Нарисуйте окружность, разделите её периметр на равноотстоящие точки (см. рисунок) и пронумеруйте их последовательно. Проведите хорды: (то есть, вторая точка перемещается с удвоенной скоростью.) Огибающая этих хорд является кардиоидой.

Кардиоид как каустическая часть круга

Рассмотренные в предыдущем разделе рассуждения доказывают, что каустика круга с источником света на его периметре представляет собой кардиоиду. Если в плоскости находится источник света в точке на периметре круга, отражающий любой луч, то отраженные лучи внутри круга являются касательными к кардиоиде. Примечание: При подобных рассуждениях обычно пренебрегают множественными отражениями от круга.

Доказательство

В декартовой системе координат окружность может иметь центр и радиус. Касательная к окружности в точке имеет уравнение.

Основание перпендикуляра, опущенного из точки на касательную, является точкой с пока неизвестным расстоянием до начала координат. Подстановка этой точки в уравнение касательной дает

что является полярным уравнением кардиоиды. Замечание: Если точка не лежит на окружности, получается лимакон Паскаля.

Ортогональные траектории

Ортогональная траектория пучка кривых — это кривая, пересекающая любую кривую пучка под прямым углом. Для кардиоид верно следующее: em = 1.5 text = Ортогональные траектории пучка кардиоид с уравнениями являются кардиоидами с уравнениями (Второй пучок можно рассматривать как отражение первого относительно оси y. См. схему.)

В разных позициях

Выбор других положений кардиоиды в системе координат приводит к различным уравнениям. На рисунке показаны 4 наиболее распространенных положения кардиоиды и соответствующие им полярные уравнения.

В сложном анализе

В комплексном анализе образ любого круга, проходящего через начало координат, при заданном отображении является кардиоидой. Одно из применений этого результата заключается в том, что граница центральной компоненты периода 1 множества Мандельброта является кардиоидой, определяемой уравнением.

Множество Мандельброта содержит бесконечное количество слегка искажённых копий самого себя, и центральная доля любой из этих меньших копий является приближённой кардиоидой.

Каустики

Некоторые каустики могут иметь форму кардиоид. Катакаустика окружности относительно точки на её окружности является кардиоидой. Также, катакаустика конуса относительно лучей, параллельных образующей, представляет собой поверхность, поперечное сечение которой является кардиоидой. Это можно увидеть, как на фотографии справа, в коническом стакане, частично заполненном жидкостью, когда свет падает с расстояния под углом, равным углу конуса. Форма кривой на дне цилиндрического стакана напоминает половину нефроиды, которая выглядит весьма похоже.