Кіріспе

Дифференциалдық геометриядағы ұғым

Дифференциалдық геометрияда, тегіс көпқырлыдағы байланыстың голономиясы – байланыстың қисықтығының жалпы геометриялық салдары, ол жабық контурлар бойынша параллель көшіру арқылы тасымалданатын геометриялық деректерді сақтау дәрежесін өлшейді. Жазық байланыстар үшін, байланысты голономия – монодромияның бір түрі және бұл табиғи түрде жаһандық ұғым. Иісті байланыстар үшін голономияның маңызды жергілікті және жаһандық ерекшеліктері бар. Көпқырлыдағы кез келген байланыс, параллель көшіру арқылы голономия туралы түсінік тудырады. Голономияның ең көп таралған түрлері – симметрияның қандай да бір түріне ие байланыстар үшін. Маңызды мысалдарға: Риман геометриясындағы Леви-Чивита байланысының голономиясы (Риман голономиясы деп аталады), векторлық жиынтықтардағы байланыстардың голономиясы, Картан байланыстарының голономиясы және бас жиынтықтардағы байланыстардың голономиясы жатады. Осы жағдайлардың әрқайсысында байланыстың голономиясын Ли тобымен, голономиялық топпен сәйкестендіруге болады. Байланыстың голономиясы Амброз-Сингер теоремасы арқылы байланыстың қисықтығымен тығыз байланысты. Риман голономиясын зерттеу көптеген маңызды жаңалықтарға әкелді. Голономия симметриялық кеңістіктерді зерттеу және жіктеу үшін енгізілді. Бірақ голономиялық топтар Риман геометриясын жалпылауда зерттеу үшін көп уақыт өткен соң ғана қолданылды. 1952 жылы Жорж де Рам де Рамның ыдырау теоремасын дәлелдеді, бұл Риман көпқырлысын жергілікті голономиялық топтардың әрекетімен жанама жиынтықты азайтылмайтын кеңістіктерге бөлу арқылы Риман көпқырлысының картезиялық көбейтіндісіне бөлу принципі. Кейін, 1953 жылы Марсель Бергер мүмкін болатын азайтылмайтын голономияларды жіктеді. Риман голономиясының ыдырауы және жіктелуі физика және ішек теориясында қолданылады.

Голономиялық бумалар

M – қосылған паракомпактты тегіс коллектор, ал P – жоғарыда көрсетілгендей, ω қосылысы бар негізгі G бунделі. p ∈ P негізгі бундельдің кездейсоқ нүктесі болсын. H(p) – P-дегі p-ге көлденең қисықпен қосыла алатын нүктелер жиыны болсын. Содан кейін H(p) – көрініс проекциясымен, құрылым тобы бар M-ге негізгі бундель екенін көрсетуге болады. Бұл негізгі бундель – байланыстың голономиялық бунделі (p арқылы) деп аталады. ω қосылысы H(p) бунделіне шектеледі, өйткені оның параллельді тасымалдау карталары H(p) сақтайды. Осылайша H(p) – қосылым үшін қысқартылған бундель. Сонымен қатар, H(p) бунделінің ешбір суббунделі параллельді тасымалдау арқылы сақталмайтындықтан, бұл ең кішкентай мұндай қысқарту. Голономиялық топтардағыдай, голономиялық бундель де P қоршаған негізгі бундель ішінде эквивариантты түрде өзгереді. Нақтырақ айтқанда, егер q ∈ P голономия үшін таңдалған басқа базалық нүкте болса, онда q ~ p g болатын бірегей g ∈ G бар (М жолмен байланысты болғандықтан). Сондықтан H(q) = H(p) g. Салдарынан, негіздің әртүрлі таңдауларына сәйкес голономиялық бундельдердегі индукцияланған қосылыстар бір-бірімен үйлесімді: олардың параллельді тасымалдау карталары дәл g элементімен ғана ерекшеленеді.

Монодромия

Голономиялық бундель H(p) – негізгі бундель болып табылады және сондықтан шектелген голономиялық топтың (толық голономиялық топтың қалыпты кіші тобы) әсерін де қабылдайды. Дискретті топ байланыстың монодромиялық тобы деп аталады; ол үлестік бундельге әсер етеді. Осылайша, бейнелеуі бар, ол үстінде әсер етеді. Бұл фундаменталды топтың әрекеті – фундаменталды топтың монодромиялық өрнегі болып табылады.

Риманн голономиясы

Риманнанды көптік (M, g) голономиясы — M-ге жанасатын түйіндегі Леви-Чивита байланысының голономиялық тобы. "Жалпы" n өлшемді Риманнанды көптік O(n) голономиясына ие, немесе егер ол бағдарланатын болса SO(n) голономиясына ие. Голономиялық топтары O(n) немесе SO(n) кіші топтары болып табылатын көпқұрамдықтардың ерекше қасиеттері бар. Риман голономиясы туралы ең алғашқы маңызды нәтижелердің бірі — теорема, ол шектелген голономия тобының O(n) жабық Ли тобы екенін көрсетеді. Атап айтқанда, ол компактты.

Кемелденетін голономия және де Рам ыдырау

x ∈ M кездейсоқ нүкте болсын. Содан кейін Hol(M) голономиялық тобы TxM тангенстік кеңістігіне әсер етеді. Бұл әрекет топтық бейнелеу ретінде азайтылмайтын немесе TxM = T′xM ⊕ T″xM ортогональды кіші кеңістіктерге бөлінетін болуы мүмкін, олардың әрқайсысы Hol(M) әрекетімен өзгермейді. Соңғы жағдайда M қайталанатын деп айтылады. M қайталанатын көптік деп есептейік. Х нүктесін өзгертуге рұқсат ету арқылы, әрбір нүктедегі тангенстік кеңістіктің қысқартылуынан құрылған T′M және T″M бундельдері Фробеніус мағынасында интегралданатын тегіс үлестірілімдер болып табылады. Бұл үлестірілімдердің интегралды көптіктер толығымен геодезиялық субкөптіктер болып табылады. Сондықтан M жергілікті түрде M′ × M″ Декарт көбейтіндісі болып табылады. (Жергілікті) де Рам изоморфизмі осы процесті тангенстік кеңістіктің толық қысқартылуына дейін жалғастыру арқылы туындайды: M жай ғана байланысқан Риманн көптігі болсын, ал TM = T(0)M ⊕ T(1)M ⊕ ⋯ ⊕ T(k)M – голономиялық топтың әрекетімен тангенстік бундельдің толық қысқартылуы болсын. T(0)M голономиялық топта инвариантты векторлардан тұрады деп есептейік (яғни, голономиялық бейнелеу тривиальды). Содан кейін жергілікті M евклидтік кеңістікте V0 ашық жиын болатын өнімге изометриялық болып табылады, ал әр Vi T(i)M үшін интегралды көптік болып табылады. Бұдан әрі, Hol(M) әр Mi-нің голономиялық топтарының тікелей көбейтіндісі ретінде бөлінеді, T(i) үшін максималды интегралды көптік нүкте арқылы. Егер, сонымен қатар, M геодезиялық жағынан толық деп есептелсе, онда теорема жаһандық түрде орындалады, ал әр Mi геодезиялық жағынан толық көптік болып табылады.

Арнайы голономия және спинондар

Арнайы голономиялы көпқабаттар параллель спиннерлердің болуымен сипатталады, яғни жоғалып кететін ковариантты туындысы бар спиннерлік өрістер. Атап айтқанда, келесі фактілер орын алады: Hol(ω) ⊂ U(n) егер және тек қана M ковариантты тұрақты (немесе параллель) проективті таза спинор өрісін қабылдаса. Егер M спиндік көптік болса, онда Hol(ω) ⊂ SU(n) егер және тек қана M кем дегенде екі сызықтық тәуелсіз параллель таза спинор өрісін қабылдаса. Шындығында, параллель таза спинор өрісі құрылым тобының SU(n) -ға канондық редукциясын анықтайды. Егер M жеті өлшемді спиндік көптік болса, онда M тривиалды емес параллель спинор өрісін тасиды, егер және тек қана голономия G2-ге кірсе. Егер M сегіз өлшемді спиндік көптік болса, онда M тривиалды емес параллель спинор өрісін тасиды, егер және тек қана голономия Spin(7)-ге кірсе. Біртұтас және арнайы біртұтас голономиялар көбінесе твисторлар теориясымен байланысты зерттеледі, сондай-ақ дерлік кешенді құрылымдарды зерттеуде қолданылады. Себебі арнайы голономиялы көпқабаттар ковариантты тұрақты (параллель) спиндерді қабылдайды және осылайша бастапқы суперсимметрияның бір бөлігін сақтайды. Ең маңыздысы SU(2) немесе SU(3) голономиясы бар Калаби-Яу көпқабаттарындағы тығыздалулар. G2 көпқабаттарындағы тығыздалулар да маңызды.

Машиналық оқыту

Римандық сан алуандықтарының голономиясын есептеу, машиналық оқытудағы деректер сан алуандықтарының құрылымын, әсіресе сан алуандықтарды оқыту контекстінде үйрену әдісі ретінде ұсынылған. Голономия тобы деректер сан алуандығының жаһандық құрылымы туралы ақпаратты қамтитындықтан, деректер сан алуандығының кіші сан алуандықтардың көбейтіндісіне қалай ыдырайтынын анықтау үшін оны пайдалануға болады. Шекті үлгі алу салдарынан голономияны дәл есептеу мүмкін емес, бірақ векторлық диффузиялық карталарға ұқсас спектрлік граф теориясының идеяларын қолдана отырып, сандық жуықтауды құруға болады. Нәтижесінде алынған алгоритм, Геометриялық Сан алуандық Компонентін Бағалаушы (Геомансер) де Рам ыдырауының сандық жуықтауын береді, оны нақты деректерге қолдануға болады.

Этимология

Осыған ұқсас "холоморфты" деген сөз бар, оны Кошидің екі шәкірті, Бриот (1817–1882) және Буке (1819–1895) енгізді, ол грек тіліндегі ὅλος (holos) сөзінен шыққан, "толық" деген мағынаны білдіреді, және μορφή (morphē) сөзі "форма" немесе "көрініс" дегенді білдіреді. "Голономия" сөзінің этимологиясы "холоморфты" (holos) сөзінің бірінші бөлігімен ортақ. Ал екінші бөлігі туралы: νόμος (nomos) және nomy қараңыз.