Введение

Понятие в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии голономия соединения на гладком многообразии является общим геометрическим следствием кривизны этого соединения, измеряющим степень, в которой параллельный перенос вдоль замкнутых контуров не сохраняет переносимые геометрические данные. Для плоских соединений соответствующая голономия является типом монодромии и по сути представляет собой глобальное понятие. Для искривленных соединений голономия обладает нетривиальными локальными и глобальными свойствами. Любое соединение на многообразии порождает некоторое понятие голономии посредством своих карт параллельного переноса. Наиболее распространенные формы голономии относятся к соединениям, обладающим определенной симметрией. Важными примерами являются: голономия соединения Леви-Чивиты в римановой геометрии (называемая римановой голономией), голономия соединений в векторных расслоениях, голономия картанских соединений и голономия соединений в главных расслоениях. В каждом из этих случаев голономия соединения может быть отождествлена с группой Ли, голономической группой. Голономия соединения тесно связана с кривизной соединения посредством теоремы Амброза — Сингера. Изучение римановой голономии привело к ряду важных достижений. Голономия была введена с целью изучения и классификации симметричных пространств. Лишь значительно позже голономические группы стали использоваться для изучения римановой геометрии в более общем контексте. В 1952 году Жорж де Рэм доказал теорему о разложении де Рэма, принцип разложения риманова многообразия на декартово произведение римановых многообразий путем разложения касательного расслоения на неприводимые пространства под действием локальных голономических групп. Позднее, в 1953 году, Марсель Берже классифицировал возможные неприводимые голономии. Разложение и классификация римановой голономии находят применение в физике и теории струн.

Холономические пакеты

Пусть M – связный паракомпактный гладкий многообразие, а P – главный G-расслоение с соединением ω, как указано выше. Пусть p ∈ P – произвольная точка главного расслоения. Пусть H(p) – множество точек в P, которые могут быть соединены с p горизонтальной кривой. Тогда можно показать, что H(p) вместе с очевидным проекционным отображением является главным расслоением над M с структурной группой. Это главное расслоение называется расслоением голономии (через p) данного соединения. Соединение ω ограничивается соединением на H(p), поскольку его преобразования параллельного переноса сохраняют H(p). Таким образом, H(p) является редуцированным расслоением для данного соединения. Более того, поскольку ни одно подрасслоение H(p) не сохраняется преобразованиями параллельного переноса, это минимальное такое редуцирование. Подобно группам голономии, расслоение голономии также преобразуется эквивариантно внутри окружающего главного расслоения P. В частности, если q ∈ P – другая выбранная базовая точка для голономии, то существует единственный элемент g ∈ G, такой что q ~ p g (поскольку, по предположению, M связен по путям). Следовательно, H(q) = H(p) g. Как следствие, индуцированные соединения на расслоениях голономии, соответствующих различным выборам базовой точки, согласованы друг с другом: их преобразования параллельного переноса будут отличаться ровно на один и тот же элемент g.

Монодромия

Голономический расслоение H(p) является главным расслоением для и, следовательно, также допускает действие ограниченной группы голономии (которая является нормальной подгруппой полной группы голономии). Дискретная группа называется группой монодромии связности; она действует на фактор-расслоение. Существует сюръективный гомоморфизм, такой что действует на. Это действие фундаментальной группы является представлением монодромии фундаментальной группы.

Голономия Римана

Голономия риманова многообразия (M, g) — это группа голономии связности Леви-Чивиты на касательном расслоении к M. "Общее" n-мерное риманово многообразие имеет голономию O(n) или SO(n), если оно ориентируемо. Многообразия, чьи группы голономии являются собственными подгруппами O(n) или SO(n), обладают особыми свойствами. Одним из самых ранних фундаментальных результатов о римановой голономии является теорема [имя теоретика], утверждающая, что ограниченная группа голономии является замкнутой подгруппой Ли группы O(n). В частности, она компактна.

Восстанавливаемая голономия и де-Рамский разложение

Пусть x ∈ M – произвольная точка. Тогда голономическая группа Hol(M) действует на тангентное пространство TxM. Это действие может быть либо неприводимым как представление группы, либо приводимым в том смысле, что существует разложение TxM на ортогональные подпространства TxM = T′xM ⊕ T″xM, каждое из которых инвариантно относительно действия Hol(M). В последнем случае многообразие M называется приводимым. Предположим, что M – приводимое многообразие. Позволяя точке x изменяться, пучки T′M и T″M, образованные в результате приведения тангентного пространства в каждой точке, являются гладкими распределениями, которые интегрируемы в смысле Фробениуса. Интегральные многообразия этих распределений являются полными геодезическими подмногообразиями. Следовательно, M локально является декартовым произведением M′ × M″. (Локальный) изоморфизм де Рама следует из продолжения этого процесса до тех пор, пока не будет достигнуто полное приведение тангентного пространства:

Пусть M – односвязное риманово многообразие, и TM = T(0)M ⊕ T(1)M ⊕ ⋯ ⊕ T(k)M – полное приведение тангентного пучка под действием голономической группы. Предположим, что T(0)M состоит из векторов, инвариантных относительно голономической группы (т.е. таких, что голономическое представление тривиально). Тогда локально M изометричен произведению, где V0 – открытое множество в евклидовом пространстве, и каждый Vi – интегральное многообразие для T(i)M. Кроме того, Hol(M) распадается как прямое произведение голономических групп каждого Mi, максимального интегрального многообразия T(i) через точку. Если, кроме того, M предполагается геодезически полным, то теорема справедлива глобально, и каждое Mi является геодезически полным многообразием.

Специальные голономии и спиноры

Для многообразий со специальной голономией характерно наличие параллельных спиноров, то есть спинорных полей с исчезающей ковариантной производной. В частности, выполняются следующие утверждения: Hol(ω) ⊂ U(n) тогда и только тогда, когда M допускает ковариантно постоянное (или параллельное) проективное чистое спинорное поле. Если M является спиновым многообразием, то Hol(ω) ⊂ SU(n) тогда и только тогда, когда M допускает по крайней мере два линейно независимых параллельных чистых спинорных поля. Фактически, параллельное чистое спинорное поле определяет каноническое приведение структурной группы к SU(n). Если M – семимерное спиновое многообразие, то M несет нетривиальное параллельное спинорное поле тогда и только тогда, когда голономия содержится в G2. Если M – восьмимерное спиновое многообразие, то M несет нетривиальное параллельное спинорное поле тогда и только тогда, когда голономия содержится в Spin(7). Унитарные и специальные унитарные голономии часто изучаются в связи с теорией твисторов, а также при исследовании почти комплексных структур. Это связано с тем, что многообразия со специальной голономией допускают ковариантно постоянные (параллельные) спиноры и, таким образом, сохраняют некоторую часть исходной суперсимметрии. Наиболее важными являются компактификации на многообразиях Калаби-Яу с голономией SU(2) или SU(3). Также важны компактификации на многообразиях G2.

Машинное обучение

Вычисление голономии римановых многообразий было предложено как способ изучения структуры многообразий данных в машинном обучении, особенно в контексте обучения на многообразиях. Поскольку группа голономии содержит информацию о глобальной структуре многообразия данных, её можно использовать для определения того, как многообразие данных может быть разложено на произведение подмногообразий. Голономию невозможно вычислить точно из-за эффектов конечной выборки, но можно построить численное приближение, используя идеи из спектральной теории графов, аналогичные векторным картам диффузии. Полученный алгоритм, Геометрический оценщик компонент многообразий (Геомансер), предоставляет численное приближение к разложению де Рама, которое может быть применено к реальным данным.

Этимология

Существует аналогичное слово "голоморфный", которое было введено двумя учениками Коши, Брио (1817–1882) и Буке (1819–1895), и происходит от греческого ὅλος (holos), означающего "целый", и μορφή (morphē), означающего "форма" или "вид". Этимология слова "голономия" имеет общую первую часть с "голоморфным" (holos). О второй части: см. νόμος (nomos) и nomy.