Кіріспе
Кемелсіз түйіндік бет Алгебралық геометрияда Кумер квартикалық беті, алғаш зерттелген, – 4-дәрежелі кемелсіз түйіндік бет, мүмкін болатын ең көп 16 қос нүктеге ие. Кез келген мұндай бет – 2-туынды гиперэллиптік қисықтың Якоби түрінің Кумер әртүрлілігі, яғни Якобидің Кумер инволюциясы x ↦ −x арқылы бөлінген бөлігі. Кумер инволюциясының 16 бекітілген нүктесі бар: Якобидің 16 2-бұрылу нүктесі, және олар квартикалық беттің 16 ерекше нүктесін құрайды. Кумер инволюциясы арқылы (алгебралық емес болуы мүмкін) тордың бөлігінің 16 қос нүктесін шешу 16 ажыратылған рационалды қисықтары бар K3 бетін береді; бұл K3 беттері кейде Кумер беттері деп те аталады. Кумер беттерімен тығыз байланысты беттерге Веддл беттері, толқынды беттер және тетраэдроидтар жатады.
In algebraic geometry, a Kummer quartic surface, first studied by , is an irreducible nodal surface of degree 4 in with the maximal possible number of 16 double points. Any such surface is the Kummer variety of the Jacobian variety of a smooth hyperelliptic curve of genus 2; i. e. a quotient of the Jacobian by the Kummer involution x ↦ −x. The Kummer involution has 16 fixed points: the 16 2 torsion point of the Jacobian, and they are the 16 singular points of the quartic surface. Resolving the 16 double points of the quotient of a (possibly nonalgebraic) torus by the Kummer involution gives a K3 surface with 16 disjoint rational curves; these K3 surfaces are also sometimes called Kummer surfaces. Other surfaces closely related to Kummer surfaces include Weddle surfaces, wave surfaces, and tetrahedroids.
Сингулярлық квартик беттер және қос жазықтық моделі
Квадраттық конус сияқты көрінетін қарапайым екі нүктесі p бар төртіншілік бет болсын. P арқылы өтетін кез келген проекциялық түзу K-мен p нүктесінде екі рет қиылысады, сондықтан K-мен тек екі басқа нүктеде ғана қиылысады. P нүктесі арқылы өтетін түзулерді анықтасақ, K-ның p нүктесіндегі көтерілуінен қос жапқыш аламыз; бұл қос жапқыш q ≠ p болғанда q-ны және K-дағы p нүктесінің жанасу конусындағы кез келген түзуді өзіне бейнелейді. Қос жапқыштың тармақталу орны – C дәрежелі C жазық қисығы, ал K-ның p емес барлық түйіндері C-ның түйіндеріне бейнеленеді. Гендерлік дәреже формуласы бойынша, секстикалық қисықтағы түйіндердің ең көп саны қисық сызықтардың бірігімі болғанда алынады, онда 15 түйін болады. Осылайша, квартикадағы түйіндердің ең көп саны 16-ға тең, және бұл жағдайда олардың барлығы қарапайым түйіндер (басқа түйіннен проекция жасау арқылы қарапайым екенін көрсетуге болады). Осы 16 түйінді құрайтын квартика Куммер квартикасы деп аталады, және біз оларға төменде тоқталып өтеміз. Бұл қарапайым түйін болғандықтан, осы нүктеге жанасатын конус қос жапқыш астындағы коникаға бейнеленеді. Бұл коника шындығында алты түзуге жанасады (дәлелсіз). Керісінше, коника және оған жанасатын алты түзудің конфигурациясы берілгенде, біз осы 6 түзудің бірігімі бойынша тармақталған жазықтықтың қос жапқышын анықтай аламыз. Бұл қос жапқышты арнайы кониканың қос жапқышын төмендету арқылы және басқа жерде изоморфизм болатындай етіп бейнелеуге болады (дәлелсіз).
sending q ≠ p ↦ , and any line in the tangent cone of p in K to itself. The ramification locus of the double cover is a plane curve C of degree 6, and all the nodes of K which are not p map to nodes of C.
By the genus degree formula, the maximal possible number of nodes on a sextic curve is obtained when the curve is a union of lines, in which case we have 15 nodes. Hence the maximal number of nodes on a quartic is 16, and in this case they are all simple nodes (to show that is simple project from another node). A quartic which obtains these 16 nodes is called a Kummer Quartic, and we will concentrate on them below. Since is a simple node, the tangent cone to this point is mapped to a conic under the double cover. This conic is in fact tangent to the six lines (w. o proof). Conversely, given a configuration of a conic and six lines which tangent to it in the plane, we may define the double cover of the plane ramified over the union of these 6 lines. This double cover may be mapped to , under a map which blows down the double cover of the special conic, and is an isomorphism elsewhere (w. o. proof).
Вейл жұптастыруы
Абельдік түрдегі 2 бұралу нүктелері Вейль жұптасуы деп аталатын симплектикалық билинейлік нысанға ие. Екі туқымды қисықтардың Якобиандарының жағдайында, кез келген тривиальды емес 2 бұралу нүктесі қисықтың алты Вейерштрасс нүктесінің екеуінің арасындағы айырмашылық ретінде бірегей түрде өрнектеледі. Осы жағдайда Вейль жұптасуы мынадай түрде беріледі. Конфигурацияның геометриясы арқылы топтың көптеген топтық-теориялық инварианттарын қалпына келтіруге болады.