Введение

Нередуцируемая узловая поверхность

В алгебраической геометрии куммеровская квартичная поверхность, впервые изученная, является нередуцируемой узловой поверхностью 4-й степени в с максимально возможным числом – 16 двойных точек. Любая такая поверхность является куммеровским многообразием якобиана гладкой гиперэллиптической кривой рода 2, то есть частным от якобиана по куммеровской инволюции x ↦ −x. Куммеровская инволюция имеет 16 фиксированных точек: 16 точек кручения 2-го порядка якобиана, которые и являются 16 сингулярными точками квартичной поверхности. Разрешение 16 двойных точек частного (возможно, неалгебраического) тора по куммеровской инволюции дает поверхность K3 с 16 непересекающимися рациональными кривыми; эти поверхности K3 также иногда называют куммеровскими поверхностями. К другим поверхностям, тесно связанным с куммеровскими поверхностями, относятся поверхности Уэддла, волновые поверхности и тетраэдроиды.

Сингулярные квартические поверхности и модель двойной плоскости

Пусть K – квартичная поверхность с обычной двойной точкой p, в окрестности которой K выглядит как квадратичный конус. Любая проективная прямая, проходящая через p, пересекает K в точке p с кратностью два, и, следовательно, пересекает квартику K ещё в двух точках. Отождествляя прямые, проходящие через точку p, с ℙ¹, мы получаем двойное накрытие от взрыва K в точке p на ℙ¹; это двойное накрытие задается отображением q ≠ p → f(q), и любой прямой в касательном конусе к p в K – в саму себя. Локус ветвления двойного накрытия – плоская кривая C степени 6, и все узлы K, отличные от p, отображаются в узлы C.

По формуле рода и степени, максимальное возможное число узлов на секстической кривой достигается, когда кривая является объединением линий, в этом случае у нас 15 узлов. Следовательно, максимальное число узлов на квартике равно 16, и в этом случае все они – простые узлы (чтобы показать, что узел простой, можно спроецировать с другого узла). Квартика, обладающая этими 16 узлами, называется квартикой Куммера, и мы сосредоточимся на ней ниже. Поскольку узел простой, касательный конус к этой точке отображается в конику под действием двойного накрытия. Эта коника фактически касается шести прямых (без доказательства). И наоборот, задав конфигурацию коники и шести прямых, касающихся её в плоскости, можно определить двойное накрытие плоскости, ветвящееся вдоль объединения этих 6 прямых. Это двойное накрытие можно отобразить в ℙ², посредством отображения, сжимающего двойное накрытие специальной коники, и являющегося изоморфизмом в остальных точках (без доказательства).

Уэйл пары

Две точки кручения на абелевом многообразии допускают симплектическую билинейную форму, называемую спариванием Вейля. В случае якобианов кривых рода два, каждая нетривиальная точка кручения 2 однозначно представляется как разность между двумя из шести точек Вейерштрасса кривой. В этом случае спаривание Вейля задается следующим образом: геометрия конфигурации позволяет восстановить множество групповых теоретических инвариантов группы.