Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Санды өзіне көбейту
Product of a number by itself
Математикада квадрат – бұл санды өзіне көбейту нәтижесі. Осы әрекетті білдіру үшін "квадраттау" етістігі қолданылады. Квадраттау – 2 дәрежеге көтерумен бірдей, және 2-ге көтерілумен белгіленеді; мысалы, 3-тің квадраты 3² деп жазылуы мүмкін, бұл 9 саны. Кейбір жағдайларда, мысалы, бағдарламалау тілдерінде немесе қарапайым мәтіндік файлдарда, x² орнына x^2 (карет) немесе x**2 белгілері қолданылуы мүмкін. Квадраттауға сәйкес келетін сын есім – квадраттық. Бүтін санның квадратын квадрат сан немесе толық квадрат деп те атайды. Алгебрада квадраттау операциясы көбінесе көпмүшелерге, басқа өрнектерге немесе сандардан басқа математикалық мәндер жүйелеріндегі мәндерге жалпыланады. Мысалы, x + 1 сызықтық көпмүшенің квадраты (x + 1)² = x² + 2x + 1 болып табылады. Квадраттаудың маңызды қасиеттерінің бірі – сандар үшін де, көптеген басқа математикалық жүйелерде де (барлық x сандары үшін) x-тің квадраты оның қосындысының кері шамасы -x-тің квадратына тең болады. Яғни, квадрат функциясы x² = (-x)² теңдігін қанағаттандырады. Бұл квадрат функциясы жұп функция екенін айту арқылы да түсіндірілуі мүмкін.
In mathematics, a square is the result of multiplying a number by itself. The verb "to square" is used to denote this operation. Squaring is the same as raising to the power 2, and is denoted by a superscript 2; for instance, the square of 3 may be written as 32, which is the number 9. In some cases when superscripts are not available, as for instance in programming languages or plain text files, the notations x^2 (caret) or x**2 may be used in place of x2. The adjective which corresponds to squaring is quadratic. The square of an integer may also be called a square number or a perfect square. In algebra, the operation of squaring is often generalized to polynomials, other expressions, or values in systems of mathematical values other than the numbers. For instance, the square of the linear polynomial x + 1 is the quadratic polynomial 1=(x + 1)^(2) = x^(2) + 2x + 1. One of the important properties of squaring, for numbers as well as in many other mathematical systems, is that (for all numbers x), the square of x is the same as the square of its additive inverse −x. That is, the square function satisfies the identity 1=x^(2) = (−x)^(2). This can also be expressed by saying that the square function is an even function.
Нақты сандар
Квадраттау операциясы нақты функцияны анықтайды, оны квадрат немесе осылай деп атайды. Оның домені – бүтін нақты сызық, ал оның мәндер жиыны – теріс емес нақты сандардың жиыны. Квадрат функциясы оң сандардың ретін сақтайды: үлкен сандардың квадраты үлкен болады. Басқаша айтқанда, квадрат – интервалдағы монотонды функция. Теріс сандарда абсолюттік мәні үлкен сандардың квадраты үлкен болады, сондықтан квадрат – монотонды түрде кемитін функция. Демек, нөл – квадрат функциясының (жалпы) ең кішкентай мәні. x санының квадраты x² x-тен кіші (яғни x² < x) тек қана 0 < x < 1 болғанда ғана, яғни x ашық аралыққа тиесілі болса ғана. Бұл бүтін санның квадраты бастапқы сан x-тен ешқашан кіші болмайтынын білдіреді. Кез келген оң нақты сан – екі санның квадраты, олардың біреуі оң, екіншісі теріс. Нөл – тек өзінің ғана квадраты. Осы себепті квадрат түбір функциясын анықтауға болады, ол теріс емес нақты санға осы санның квадраты бастапқы санға тең болатын теріс емес санды сәйкес қояды. Нақты сандар жүйесінде теріс санның квадрат түбін алуға болмайды, себебі барлық нақты сандардың квадраты теріс емес. Теріс сандар үшін нақты квадрат түбірлердің болмауы нақты сандар жүйесін кешенді сандарға кеңейту үшін пайдаланылады, -1-дің квадрат түбірінің бірі болып табылатын i жорамал бірлігін енгізу арқылы. "Кез келген теріс емес нақты сан квадрат болады" қасиеті нақты жабық өріс түсінігіне жалпыландырылған, яғни реттелген өріс, онда кез келген теріс емес элемент квадрат болып табылады және тақ дәрежелі кез келген полином түбірге ие. Нақты жабық өрістерді нақты сандар өрісінен олардың алгебралық қасиеттері арқылы ажырату мүмкін емес: бірінші реттік логикада (яғни ∀ немесе ∃ кванторларымен өлшенген айнымалылар элементтерді емес, жиындарды білдіретін формуламен) өрнектеуге болатын нақты сандардың кез келген қасиеті кез келген нақты жабық өріс үшін де дұрыс, және керісінше, нақты жабық өріс үшін дұрыс болатын бірінші реттік логиканың кез келген қасиеті нақты сандар үшін де дұрыс.
The squaring operation defines a real function called the or the Its domain is the whole real line, and its image is the set of nonnegative real numbers. The square function preserves the order of positive numbers: larger numbers have larger squares. In other words, the square is a monotonic function on the interval On the negative numbers, numbers with greater absolute value have greater squares, so the square is a monotonically decreasing function on Hence, zero is the (global) minimum of the square function. The square x^(2) of a number x is less than x (that is x^(2) < x) if and only if 0 < x < 1, that is, if x belongs to the open interval This implies that the square of an integer is never less than the original number x. Every positive real number is the square of exactly two numbers, one of which is strictly positive and the other of which is strictly negative. Zero is the square of only one number, itself. For this reason, it is possible to define the square root function, which associates with a non negative real number the non negative number whose square is the original number. No square root can be taken of a negative number within the system of real numbers, because squares of all real numbers are non negative. The lack of real square roots for the negative numbers can be used to expand the real number system to the complex numbers, by postulating the imaginary unit i, which is one of the square roots of −1. The property "every non negative real number is a square" has been generalized to the notion of a real closed field, which is an ordered field such that every non negative element is a square and every polynomial of odd degree has a root. The real closed fields cannot be distinguished from the field of real numbers by their algebraic properties: every property of the real numbers, which may be expressed in first order logic (that is expressed by a formula in which the variables that are quantified by ∀ or ∃ represent elements, not sets), is true for every real closed field, and conversely every property of the first order logic, which is true for a specific real closed field is also true for the real numbers.
Геометрияда
Геометрияда квадрат функциясының бірнеше маңызды қолданылуы бар. Квадрат функциясының атауы оның ауданды анықтаудағы рөлін көрсетеді: ол l ұзындығындағы қабырғалары бар квадраттың ауданы l^(2) тең екенін көрсетеді. Аумақ мөлшерге квадраттық түрде тәуелді: n есе үлкен пішіннің ауданы n^(2) есе артады. Бұл үш өлшемде де, жазықтықта да аумақтар үшін орындалады: мысалы, шардың бетінің ауданы оның радиусының квадратына пропорционалды, бұл физикалық тұрғыдан кері квадрат заңы арқылы көрінеді, ол гравитация сияқты физикалық күштердің күші қашықтыққа қалай өзгеретінін сипаттайды. Квадрат функциясы Пифагор теоремасы және оның жалпыламасы – параллелограмм заңы арқылы қашықтықпен байланысты. Евклидтік қашықтық тегіс функция емес: белгілі бір нүктеден қашықтықтың үш өлшемді графигі конус құрайды, конус ұшында тегіс емес нүкте болады. Дегенмен, қашықтықтың квадраты (d^(2) немесе r^(2) деп белгіленеді), графигі параболоид болатын, тегіс және аналитикалық функция болып табылады. Евклидтік вектордың өзімен-өзінің скалярлық көбейтіндісі оның ұзындығының квадратына тең: 1 = 'v'⋅'v' = v^(2). Бұл ішкі көбейту арқылы сызықтық кеңістіктердегі квадраттық формаларға одан әрі жалпыланады. Механикадағы инерция тензоры – квадраттық форманың мысалы. Ол инерция моментынің мөлшерге (ұзындыққа) квадраттық қатынасын көрсетеді. Пифагор үштіктерінің саны шексіз, яғни үш оң бүтін санның жиыны, онда бірінші екі санның квадраттарының қосындысы үшінші санның квадратына тең. Осы үштіктердің әрқайсысы тікбұрышты үшбұрыштың бүтін санды қабырғаларын береді.
There are several major uses of the square function in geometry. The name of the square function shows its importance in the definition of the area: it comes from the fact that the area of a square with sides of length l is equal to l^(2). The area depends quadratically on the size: the area of a shape n times larger is n^(2) times greater. This holds for areas in three dimensions as well as in the plane: for instance, the surface area of a sphere is proportional to the square of its radius, a fact that is manifested physically by the inverse square law describing how the strength of physical forces such as gravity varies according to distance. The square function is related to distance through the Pythagorean theorem and its generalization, the parallelogram law. Euclidean distance is not a smooth function: the three dimensional graph of distance from a fixed point forms a cone, with a non smooth point at the tip of the cone. However, the square of the distance (denoted d^(2) or r^(2)), which has a paraboloid as its graph, is a smooth and analytic function. The dot product of a Euclidean vector with itself is equal to the square of its length: 1='v'⋅'v' = v^(2). This is further generalised to quadratic forms in linear spaces via the inner product. The inertia tensor in mechanics is an example of a quadratic form. It demonstrates a quadratic relation of the moment of inertia to the size (length). There are infinitely many Pythagorean triples, sets of three positive integers such that the sum of the squares of the first two equals the square of the third. Each of these triples gives the integer sides of a right triangle.
Комплекстік сандар
Комплексті сандарда квадрат функциясы екі рет жабатын қаптама болып табылады, яғни нөлдік емес кез келген комплекс санның дәл екі квадрат түбірі болады. Комплекс санның абсолюттік мәнінің квадраты оның абсолюттік квадраты, модульдің квадраты немесе шаманың квадраты деп аталады. Бұл комплекс санның оның комплекс серігімен көбейтіндісіне тең, және комплекс санның нақты және жолғары бөліктерінің квадраттарының қосындысына дайын. Комплекс санның абсолюттік квадраты әрқашан теріс емес нақты сан болады, яғни комплекс сан нөлге тең болған жағдайда ғана нөлге тең болады. Оны абсолюттік мәннен (квадрат түбірі алынбай) есептеу оңайырақ, және ол тегіс, нақты мәнді функция. Осы екі қасиетінің арқасында абсолюттік квадрат, нақты есептеулерде және математикалық талдау әдістері қолданылғанда (мысалы, оптимизация немесе интегралдау) абсолюттік мәнге қарағанда жиі артықшылыққа ие. Комплекс векторлар үшін, конъюгатты транспозицияны қолдана отырып, нүктелік көбейтіндіні анықтауға болады, бұл квадрат нормаға әкеледі.
On complex numbers, the square function is a twofold cover in the sense that each non zero complex number has exactly two square roots. The square of the absolute value of a complex number is called its absolute square, squared modulus, or squared magnitude. It is the product of the complex number with its complex conjugate, and equals the sum of the squares of the real and imaginary parts of the complex number. The absolute square of a complex number is always a nonnegative real number, that is zero if and only if the complex number is zero. It is easier to compute than the absolute value (no square root), and is a smooth real valued function. Because of these two properties, the absolute square is often preferred to the absolute value for explicit computations and when methods of mathematical analysis are involved (for example optimization or integration). For complex vectors, the dot product can be defined involving the conjugate transpose, leading to the squared norm.
Басқа қолданыстар
Квадраттар алгебрада, жалпы алғанда, математиканың дерлік барлық саласында және физикада да кең таралған, мұнда көптеген өлшем бірліктері квадраттар мен кері квадраттарды пайдаланып анықталады: төменде қараңыз. Шамадан артық анықталған жүйелермен жұмыс істеу үшін ең кіші квадраттар әдісі стандартты тәсіл болып табылады. Квадраттау статистикада және ықтималдықтар теориясында мәндер жиынтығының немесе кездейсоқ шаманың стандартты ауытқуын анықтау үшін қолданылады. Әрбір xi мәнінің жиынның орташа шамасынан ауытқуы – бұл айырмашылық. Бұл ауытқулар квадратқа көтеріледі, содан кейін жаңа сандар жиынтығының орташа шамасы есептеледі (олардың әрқайсысы оң). Бұл орташа шама дисперсия деп аталады, ал оның квадрат түбірі – стандартты ауытқу.
Squares are ubiquitous in algebra, more generally, in almost every branch of mathematics, and also in physics where many units are defined using squares and inverse squares: see below. Least squares is the standard method used with overdetermined systems. Squaring is used in statistics and probability theory in determining the standard deviation of a set of values, or a random variable. The deviation of each value xi from the mean of the set is defined as the difference These deviations are squared, then a mean is taken of the new set of numbers (each of which is positive). This mean is the variance, and its square root is the standard deviation.