Квадрат числа: определение и свойства

Введение

Произведение числа на себя

В математике квадрат — это результат умножения числа на себя. Для обозначения этой операции используется глагол "возводить в квадрат". Возведение в квадрат эквивалентно возведению в степень 2 и обозначается индексом 2; например, квадрат числа 3 можно записать как 3², что равно числу 9. В некоторых случаях, когда индексы недоступны, например, в языках программирования или в обычных текстовых файлах, вместо x² могут использоваться обозначения x^2 (знак каретки) или x**2. Прилагательное, соответствующее возведению в квадрат, — квадратный. Квадрат целого числа также может называться полным квадратом. В алгебре операция возведения в квадрат часто обобщается на полиномы, другие выражения или значения в системах математических величин, отличных от чисел. Например, квадрат линейного многочлена x + 1 — это квадратный многочлен (x + 1)² = x² + 2x + 1. Одним из важных свойств возведения в квадрат, как для чисел, так и для многих других математических систем, является то, что (для любого числа x) квадрат числа x равен квадрату его противоположного числа −x. То есть, функция квадрата удовлетворяет тождеству x² = (−x)². Это также можно выразить, говоря, что функция квадрата является чётной функцией.

В реальном выражении

Квадратная операция определяет вещественную функцию, называемую квадратом или второй степенью. Её область определения – вся вещественная прямая, а область значений – множество неотрицательных вещественных чисел. Квадратная функция сохраняет порядок положительных чисел: большему числу соответствует больший квадрат. Иными словами, квадрат является монотонно возрастающей функцией на интервале. На отрицательных числах числа с большим абсолютным значением имеют большие квадраты, поэтому квадрат является монотонно убывающей функцией на. Следовательно, ноль является (глобальным) минимумом квадратной функции. Квадрат x^(2) числа x меньше, чем x (то есть x^(2) < x), тогда и только тогда, когда 0 < x < 1, то есть если x принадлежит открытому интервалу. Это подразумевает, что квадрат целого числа никогда не меньше исходного числа x. Каждое положительное вещественное число является квадратом ровно двух чисел, одно из которых строго положительное, а другое строго отрицательное. Ноль является квадратом только одного числа, самого себя. По этой причине можно определить функцию квадратного корня, которая сопоставляет неотрицательному вещественному числу неотрицательное число, квадрат которого равен исходному числу. Квадратный корень из отрицательного числа не может быть извлечен в системе вещественных чисел, поскольку квадраты всех вещественных чисел неотрицательны. Отсутствие вещественных квадратных корней для отрицательных чисел может быть использовано для расширения системы вещественных чисел до комплексных чисел, путем постулирования мнимой единицы i, которая является одним из квадратных корней числа −1. Свойство "каждое неотрицательное вещественное число является квадратом" обобщено до понятия вещественного замкнутого поля, которое является упорядоченным полем, таким что каждый неотрицательный элемент является квадратом, и каждый многочлен нечетной степени имеет корень. Вещественные замкнутые поля нельзя отличить от поля вещественных чисел по их алгебраическим свойствам: каждое свойство вещественных чисел, которое может быть выражено в логике первого порядка (то есть выражено формулой, в которой переменные, квантифицированные ∀ или ∃, представляют собой элементы, а не множества), верно для каждого вещественного замкнутого поля, и наоборот, каждое свойство логики первого порядка, которое верно для конкретного вещественного замкнутого поля, также верно для вещественных чисел.

The squaring operation defines a real function called the or the Its domain is the whole real line, and its image is the set of nonnegative real numbers. The square function preserves the order of positive numbers: larger numbers have larger squares. In other words, the square is a monotonic function on the interval On the negative numbers, numbers with greater absolute value have greater squares, so the square is a monotonically decreasing function on Hence, zero is the (global) minimum of the square function. The square x^(2) of a number x is less than x (that is x^(2) < x) if and only if 0 < x < 1, that is, if x belongs to the open interval This implies that the square of an integer is never less than the original number x. Every positive real number is the square of exactly two numbers, one of which is strictly positive and the other of which is strictly negative. Zero is the square of only one number, itself. For this reason, it is possible to define the square root function, which associates with a non negative real number the non negative number whose square is the original number. No square root can be taken of a negative number within the system of real numbers, because squares of all real numbers are non negative. The lack of real square roots for the negative numbers can be used to expand the real number system to the complex numbers, by postulating the imaginary unit i, which is one of the square roots of −1. The property "every non negative real number is a square" has been generalized to the notion of a real closed field, which is an ordered field such that every non negative element is a square and every polynomial of odd degree has a root. The real closed fields cannot be distinguished from the field of real numbers by their algebraic properties: every property of the real numbers, which may be expressed in first order logic (that is expressed by a formula in which the variables that are quantified by ∀ or ∃ represent elements, not sets), is true for every real closed field, and conversely every property of the first order logic, which is true for a specific real closed field is also true for the real numbers.

В геометрии

В геометрии существует несколько основных применений функции квадрата. Само название функции указывает на её важность в определении площади: оно происходит из того факта, что площадь квадрата со сторонами длиной l равна l^(2). Площадь зависит квадратично от размера: площадь фигуры, увеличенной в n раз, будет больше в n^(2) раз. Это справедливо для площадей как в трех измерениях, так и в плоскости: например, площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату её радиуса, что физически проявляется в законе обратных квадратов, описывающем изменение силы физических сил, таких как гравитация, с расстоянием. Функция квадрата связана с расстоянием через теорему Пифагора и её обобщение – закон параллелограмма. Евклидово расстояние не является гладкой функцией: трёхмерный график расстояния от фиксированной точки образует конус с негладкой точкой на вершине. Однако квадрат расстояния (обозначаемый d^(2) или r^(2)), график которого представляет собой параболоид, является гладкой и аналитической функцией. Скалярное произведение евклидова вектора на себя равно квадрату его длины: 1 = 'v'⋅'v' = v^(2). Это обобщается на квадратичные формы в линейных пространствах посредством внутреннего произведения. Тензор инерции в механике является примером квадратичной формы, демонстрирующей квадратичную зависимость момента инерции от размера (длины). Существует бесконечно много пифагоровых троек – наборов из трёх положительных целых чисел, для которых сумма квадратов первых двух равна квадрату третьего. Каждая из этих троек задаёт целочисленные стороны прямоугольного треугольника.

В комплексных числах

На комплексных числах функция возведения в квадрат является двулистным накрытием в том смысле, что каждое ненулевое комплексное число имеет ровно два квадратных корня. Квадрат модуля комплексного числа называется его абсолютным квадратом, квадратом модуля или квадратом величины. Он равен произведению комплексного числа на его комплексно сопряжённое и сумме квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа. Абсолютный квадрат комплексного числа всегда является неотрицательным действительным числом, равным нулю тогда и только тогда, когда само комплексное число равно нулю. Его проще вычислять, чем модуль (не требуется извлечение квадратного корня), и это гладкая функция, принимающая действительные значения. Благодаря этим двум свойствам абсолютный квадрат часто предпочтительнее модуля при явных вычислениях и при использовании методов математического анализа (например, оптимизации или интегрирования). Для комплексных векторов скалярное произведение может быть определено с использованием сопряжённой транспонированной матрицы, что приводит к квадрату нормы.

Другие применения

Квадраты повсеместно встречаются в алгебре, и в более общем смысле – почти во всех областях математики, а также в физике, где многие единицы измерения определяются с помощью квадратов и обратных квадратов: см. ниже. Метод наименьших квадратов – стандартный способ решения переопределенных систем уравнений. Возведение в квадрат используется в статистике и теории вероятностей для вычисления стандартного отклонения набора значений или случайной величины. Отклонение каждого значения xi от среднего значения набора определяется как разность. Эти отклонения возводятся в квадрат, после чего вычисляется среднее значение нового набора чисел (каждое из которых положительно). Это среднее значение является дисперсией, а его квадратный корень – стандартным отклонением.