Геометрияда параллель түзулер мен жазықтықтар

Кіріспе

Геометрияда қолданылатын қатынас – геометриялық түсінік.

Геометрияда параллель түзулер – бір жазықтықта жатқан, кез келген нүктеде қиылыспайтын шексіз түзулер. Параллель жазықтықтар – үш өлшемді кеңістікте ешқашан қиылыспайтын жазықтықтар. Параллель қисықтар – бір-біріне жанаспайтын немесе қиылыспайтын және тұрақты ең аз қашықтықты сақтайтын қисықтар. Үш өлшемді Евклид кеңістігінде ортақ нүктесі жоқ түзу мен жазықтық та параллель деп есептеледі. Дегенмен, бір жазықтықта жатпайтын екі түзу қиылыспайтын түзулер деп аталады. Сызық кесінділері мен Евклид векторлары бірдей бағытта болса (міндетті түрде бірдей ұзындықта болмаса) параллель болады. Параллель түзулер Евклидтің параллельдік постулатының тақырыбы болып табылады. Параллелизм – негізінен аффиндік геометрияның қасиеті, ал Евклид геометриясы – осы геометрия түрінің ерекше жағдайы. Гиперболалық геометрия сияқты басқа геометрияларда да параллелизм деп аталатын ұқсас қасиеттері бар түзулер кездесуі мүмкін.

Символ

Параллельді символ – Электртехникада екілік функция үшін қолданылатын символ (параллельді оператор). Ол норманы білдіретін қос тік сызық жақшаларынан (U+2016 (‖)) және бірнеше бағдарламалау тілдеріндегі логикалық «немесе» операторынан (||) өзгеше.

Тарих

Паралель түзулердің анықтамасы Евклидтің "Элементтерінің" бірінші кітабындағы 23-ші анықтама ретінде жазықтықтағы екі түзудің қиылыспайтын жұбы ретінде келтіріледі. Басқа грек ғалымдары да осы анықтаманы талқылаған, көбінесе параллельдік постулатты дәлелдеуге тырысқан. Прокл параллель түзулерді тең қашықтықтағы түзулер деп анықтаған Позидонийге жатқызады және Геминус туралы да осыған ұқсас пікір білдіреді. Симплиций Позидонийдің анықтамасын, сондай-ақ философ Аганистің оған енгізген өзгерістерін де еске алады. Бұл реформалық мәтіндер сынсыз болған жоқ, және олардың бірі – Чарльз Доджсон (Льюис Кэрролл) "Евклид және оның заманауи қарсыластары" атты пьеса жазды, онда бұл мәтіндер сыналып бағаланды. Алғашқы реформалық оқулықтардың бірі – Джеймс Морис Уилсонның 1868 жылғы "Элементар геометриясы". Уилсон параллель түзулердің анықтамасын бағыттың бастапқы түсінігіне негіздеді. Вильгельм Киллингтің айтуынша, бұл идея Лейбницке дейін жетеді. Уилсон бағытты бастапқы ұғым ретінде анықтамай, оны басқа анықтамаларда қолданады, мысалы, алтыншы анықтамасында: "Бір-бірімен қиылысатын екі түзудің бағыттары әртүрлі, ал олардың бағыттарының айырмашылығы – олар арасындағы бұрыш". 15-ші анықтамасында ол параллель түзулерді былай анықтайды: "Бір бағыттағы, бірақ бір түзудің бөлігі емес түзулер параллель түзулер деп аталады". Август Де Морган бұл мәтінді қарап шығып, оны, негізінен, осы анықтаманың негізінде және Уилсонның оны параллель түзулер туралы теоремаларды дәлелдеу үшін қолданған тәсіліне байланысты сәтсіз деп жариялады. Доджсон да пьесасының үлкен бөлігін (II акт, VI көрініс § 1) Уилсонның параллельдерге қатысты ұстанымын сынауға арнайды. Уилсон бұл тұжырымды мәтінінің үшінші және одан кейінгі басылымдарынан алып тастады. Басқа реформаторлар ұсынған, параллель түзулердің анықтамасын алмастыруға арналған басқа қасиеттер де көп ұзаққа соқпады. Dodgson атап өткендей, негізгі қиындық – оларды осылай қолдану үшін жүйеге қосымша аксиомалар енгізу қажеттігі болды. Франсис Катберсонның 1874 жылғы "Евклид геометриясы" еңбегінде баяндалған Позидонийдің тең қашықтықтағы түзулер анықтамасы, түзудің бір жағында белгілі бір қашықтықта орналасқан нүктелердің түзу сызық құрайтынын көрсету қажеттігінен туындайтын мәселеге тап болды. Бұл дәлелдеуге келмейді және оның рас екені қабылдануы керек. У. Д. Кулидің 1860 жылғы "Геометрия элементтері" еңбегінде қарапайымдастырылып түсіндірілген көлденеңмен түзілген сәйкес бұрыштар қасиеті, бір көлденең екі түзуді сәйкес бұрыштарда қиып өтсе, барлық көлденеңдер де солай болуы керек деген фактіні дәлелдеуді талап етеді. Бұл тұжырымды негіздеу үшін де жаңа аксиома қажет.

The definition of parallel lines as a pair of straight lines in a plane which do not meet appears as Definition 23 in Book I of Euclid's Elements. Alternative definitions were discussed by other Greeks, often as part of an attempt to prove the parallel postulate. Proclus attributes a definition of parallel lines as equidistant lines to Posidonius and quotes Geminus in a similar vein. Simplicius also mentions Posidonius' definition as well as its modification by the philosopher Aganis. These reform texts were not without their critics and one of them, Charles Dodgson (a. k. a. Lewis Carroll), wrote a play, Euclid and His Modern Rivals, in which these texts are lambasted. One of the early reform textbooks was James Maurice Wilson's Elementary Geometry of 1868. Wilson based his definition of parallel lines on the primitive notion of direction. According to Wilhelm Killing the idea may be traced back to Leibniz. Wilson, without defining direction since it is a primitive, uses the term in other definitions such as his sixth definition, "Two straight lines that meet one another have different directions, and the difference of their directions is the angle between them." In definition 15 he introduces parallel lines in this way; "Straight lines which have the same direction, but are not parts of the same straight line, are called parallel lines." Augustus De Morgan reviewed this text and declared it a failure, primarily on the basis of this definition and the way Wilson used it to prove things about parallel lines. Dodgson also devotes a large section of his play (Act II, Scene VI § 1) to denouncing Wilson's treatment of parallels. Wilson edited this concept out of the third and higher editions of his text. Other properties, proposed by other reformers, used as replacements for the definition of parallel lines, did not fare much better. The main difficulty, as pointed out by Dodgson, was that to use them in this way required additional axioms to be added to the system. The equidistant line definition of Posidonius, expounded by Francis Cuthbertson in his 1874 text Euclidean Geometry suffers from the problem that the points that are found at a fixed given distance on one side of a straight line must be shown to form a straight line. This can not be proved and must be assumed to be true. The corresponding angles formed by a transversal property, used by W. D. Cooley in his 1860 text, The Elements of Geometry, simplified and explained requires a proof of the fact that if one transversal meets a pair of lines in congruent corresponding angles then all transversals must do so. Again, a new axiom is needed to justify this statement.

Құрылыс

Жоғарыда көрсетілген үш қасиет параллель түзулерді салудың үш әртүрлі тәсіліне алып келеді.

Үш өлшемді кеңістіктегі екі сызық

Бір үш өлшемді кеңістікте қиылыспайтын екі түзудің параллель болуы міндетті емес. Егер олар бір жазықтықта жатса, ғана олар параллель деп аталады; әйтпесе, олар қиылыспайтын түзулер деп аталады. Екі әртүрлі түзу l және m үш өлшемді кеңістікте параллель болады, егер және тек қана егер m түзуіндегі P нүктесінен l түзуіндегі ең жақын нүктеге дейінгі арақашықтық P нүктесінің m түзуіндегі орналасуына тәуелді болмаса. Бұл қиылыспайтын түзулер үшін ешқашан орындалмайды.

Сызық пен жазықтық

Үш өлшемді кеңістіктегі m түзуі мен q жазықтығы, егер түзу сол жазықтықта жатпаса, олар қиылыспаса ғана параллель болады. Балама түрінде, егер m түзуіндегі P нүктесінен q жазықтығындағы ең жақын нүктеге дейінгі қашықтық P нүктесінің m түзуіндегі орналасуына тәуелсіз болса, онда олар параллель болады.

Екі ұшақ

Параллель түзулер бір жазықтықта орналасуы керек болғандай, параллель жазықтықтар да бір үш өлшемді кеңістікте орналасуы керек және олардың ортақ нүктелері болмауы тиіс. Екі түрлі жазықтық q және r параллель болады, егер және тек қана егер q жазықтығындағы P нүктесінен r жазықтығындағы ең жақын нүктеге дейінгі қашықтық, P нүктесінің q жазықтығындағы орнына тәуелді болмаса. Егер екі жазықтық бір үш өлшемді кеңістікте болмаса, онда мұндай жағдай ешқашан орын алмайды.

Евклидтік емес геометрияда

Евклидтік емес геометрияда түзу сызықтардан гөрі геодезиялық туралы айту көбірек кездеседі. Геодезиялық – берілген геометриядағы екі нүкте арасындағы ең қысқа жол. Физикада бұл күш әсер етпеген жағдайда бөлшектің қозғалыс жолы ретінде түсіндіріледі. Евклидтік емес геометрияда (эллиптік немесе гиперболалық геометрия) жоғарыда аталған үш Евклидтік қасиет эквивалентті емес, және тек екіншісі ғана (m түзуі l түзуімен бір жазықтықта жатыр, бірақ l түзуін қиып өтпейді) Евклидтік емес геометрияда қолданылады, себебі ол өлшеуді қажет етпейді. Жалпы геометрияда аталған үш қасиет үш түрлі қисықтарды анықтайды: бір-бірінен тең қашықтықтағы қисықтар, параллель геодезиялықтар және ортақ перпендикулярға ие геодезиялықтар.

Сфералық немесе эллипстік геометрия

Сфералық геометрияда барлық геодезиялықтар үлкен шеңберлер болып табылады. Үлкен шеңберлер шарды екі тең жарты шарға бөледі және барлық үлкен шеңберлер бір-бірін кесіп өтеді. Сондықтан, берілген геодезиялыққа параллель геодезиялықтар жоқ, себебі барлық геодезиялықтар кесіседі. Шардағы тең қашықтықтағы қисықтар, глобустағы ендік сызықтарына ұқсас, ендік параллельдері деп аталады. Ендік параллельдерін шардың центрі арқылы өтетін жазықтыққа параллель жазықтықпен қиылысу арқылы жасауға болады.