Параллельность в геометрии: определение и история

Введение

Отношение, используемое в геометрии – понятие геометрии.

В геометрии параллельные прямые – это компланарные бесконечные прямые, которые не пересекаются ни в одной точке. Параллельные плоскости – это плоскости в одном трехмерном пространстве, которые никогда не пересекаются. Параллельные кривые – это кривые, которые не касаются друг друга и не пересекаются, сохраняя при этом фиксированное минимальное расстояние. В трехмерном евклидовом пространстве прямая и плоскость, не имеющие общих точек, также считаются параллельными. Однако две некопланарные прямые называются скрещивающимися. Отрезки и евклидовы векторы параллельны, если они имеют одинаковое направление (не обязательно одинаковую длину). Параллельные прямые являются предметом пятого постулата Евклида (постулата о параллельных). Параллельность – это прежде всего свойство аффинных геометрий, а евклидова геометрия является частным случаем этого типа геометрии. В некоторых других геометриях, таких как гиперболическая геометрия, линии могут обладать аналогичными свойствами, которые также называют параллельностью.

Символ

Символ параллельности – тот же символ используется для обозначения двоичной функции в электротехнике (параллельный оператор). Он отличается от двойных вертикальных линий U+2016 (‖), которые обозначают норму (например, <math>), а также от логического оператора ИЛИ (||) в нескольких языках программирования.

История

Определение параллельных линий как пары прямых линий в плоскости, которые не пересекаются, приводится как определение 23 в книге I «Начал» Евклида. Другие греки обсуждали альтернативные определения, часто в рамках попытки доказать постулат о параллельных прямых. Прокл приписывает определение параллельных линий как равноудаленных друг от друга Посидонию и приводит цитату Гемина в том же духе. Симплиций также упоминает определение Посидония, а также его модификацию философом Аганисом. Эти реформаторские тексты не остались без критики, и один из их авторов, Чарльз Доджсон (более известный как Льюис Кэрролл), написал пьесу «Евклид и его современные соперники», в которой эти тексты подвергаются резкой критике. Одним из первых учебников, предлагающих реформу, была «Элементарная геометрия» Джеймса Мориса Уилсона, опубликованная в 1868 году. Уилсон основывал свое определение параллельных линий на примитивном понятии направления. По словам Вильгельма Киллинга, эта идея может быть прослежена до Лейбница. Уилсон, не определяя направление, поскольку оно является примитивным понятием, использует этот термин в других определениях, например, в шестом: «Две прямые линии, пересекающиеся друг с другом, имеют разные направления, и разница их направлений — это угол между ними». В определении 15 он вводит параллельные линии следующим образом: «Прямые линии, имеющие одно и то же направление, но не являющиеся частями одной и той же прямой линии, называются параллельными». Август Де Морган рассмотрел этот текст и признал его неудачным, главным образом из-за этого определения и способа, которым Уилсон использовал его для доказательства теорем о параллельных прямых. Доджсон также посвящает значительную часть своей пьесы (Акт II, Сцена VI § 1) осуждению подхода Уилсона к параллельным прямым. Уилсон исключил эту концепцию из третьего и последующих изданий своего учебника. Другие свойства, предложенные другими реформаторами в качестве замены определения параллельных линий, не имели большего успеха. Основная трудность, как отмечал Доджсон, заключалась в том, что для их использования таким образом требовалось добавить в систему дополнительные аксиомы. Определение равноудаленной линии Посидония, изложенное Фрэнсисом Кэтбертсоном в его тексте «Евклидова геометрия» 1874 года, страдает от проблемы, заключающейся в том, что точки, находящиеся на фиксированном заданном расстоянии по одну сторону от прямой линии, должны быть показаны как лежащие на прямой линии. Это нельзя доказать и должно приниматься как данность. Свойство соответственных углов, образованных секущей, использованное В. Д. Кули в его тексте 1860 года «Элементы геометрии», упрощенное и разъясненное, требует доказательства того факта, что если секущая пересекает пару прямых, образуя равные соответственные углы, то все секущие должны делать то же самое. Снова требуется новая аксиома для обоснования этого утверждения.

The definition of parallel lines as a pair of straight lines in a plane which do not meet appears as Definition 23 in Book I of Euclid's Elements. Alternative definitions were discussed by other Greeks, often as part of an attempt to prove the parallel postulate. Proclus attributes a definition of parallel lines as equidistant lines to Posidonius and quotes Geminus in a similar vein. Simplicius also mentions Posidonius' definition as well as its modification by the philosopher Aganis. These reform texts were not without their critics and one of them, Charles Dodgson (a. k. a. Lewis Carroll), wrote a play, Euclid and His Modern Rivals, in which these texts are lambasted. One of the early reform textbooks was James Maurice Wilson's Elementary Geometry of 1868. Wilson based his definition of parallel lines on the primitive notion of direction. According to Wilhelm Killing the idea may be traced back to Leibniz. Wilson, without defining direction since it is a primitive, uses the term in other definitions such as his sixth definition, "Two straight lines that meet one another have different directions, and the difference of their directions is the angle between them." In definition 15 he introduces parallel lines in this way; "Straight lines which have the same direction, but are not parts of the same straight line, are called parallel lines." Augustus De Morgan reviewed this text and declared it a failure, primarily on the basis of this definition and the way Wilson used it to prove things about parallel lines. Dodgson also devotes a large section of his play (Act II, Scene VI § 1) to denouncing Wilson's treatment of parallels. Wilson edited this concept out of the third and higher editions of his text. Other properties, proposed by other reformers, used as replacements for the definition of parallel lines, did not fare much better. The main difficulty, as pointed out by Dodgson, was that to use them in this way required additional axioms to be added to the system. The equidistant line definition of Posidonius, expounded by Francis Cuthbertson in his 1874 text Euclidean Geometry suffers from the problem that the points that are found at a fixed given distance on one side of a straight line must be shown to form a straight line. This can not be proved and must be assumed to be true. The corresponding angles formed by a transversal property, used by W. D. Cooley in his 1860 text, The Elements of Geometry, simplified and explained requires a proof of the fact that if one transversal meets a pair of lines in congruent corresponding angles then all transversals must do so. Again, a new axiom is needed to justify this statement.

Строительство

Три вышеуказанных свойства обуславливают три различных способа построения параллельных линий.

Две линии в трехмерном пространстве

Две линии в одном трехмерном пространстве, которые не пересекаются, не обязаны быть параллельными. Параллельными они называются только в том случае, если лежат в одной плоскости; в противном случае они называются скрещивающимися прямыми. Две различные прямые l и m в трехмерном пространстве параллельны тогда и только тогда, когда расстояние от точки P на прямой m до ближайшей точки на прямой l не зависит от положения точки P на прямой m. Это никогда не выполняется для скрещивающихся прямых.

Линия и плоскость

Линия m и плоскость q в трёхмерном пространстве, не лежащая в этой плоскости прямая, параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются. Эквивалентно, они параллельны, если и только если расстояние от точки P на линии m до ближайшей точки плоскости q не зависит от положения точки P на линии m.

Два самолета .

Подобно тому, как параллельные прямые должны лежать в одной плоскости, параллельные плоскости должны располагаться в одном трехмерном пространстве и не иметь общих точек. Две различные плоскости q и r параллельны тогда и только тогда, когда расстояние от точки P, лежащей в плоскости q, до ближайшей точки в плоскости r не зависит от положения точки P в плоскости q. Это невозможно, если две плоскости не лежат в одном трехмерном пространстве.

В неевклидовой геометрии

В неевклидовой геометрии чаще говорят о геодезических, чем о (прямых) линиях. Геодезическая – это кратчайший путь между двумя точками в заданной геометрии. В физике это можно интерпретировать как траекторию, по которой движется частица, если на неё не действует никакая сила. В неевклидовой геометрии (эллиптической или гиперболической) три вышеупомянутых свойства не эквивалентны, и только второе (линия m лежит в той же плоскости, что и линия l, но не пересекает её) полезно в неевклидовой геометрии, поскольку оно не требует измерений. В общей геометрии эти три свойства определяют три различных типа кривых: равноудалённые кривые, параллельные геодезические и геодезические, имеющие общий перпендикуляр.

Сферическая или эллиптическая геометрия

В сферической геометрии все геодезические являются большими кругами. Большие круги делят сферу на два равных полушария, и все большие круги пересекаются. Таким образом, не существует параллельных геодезических к заданной геодезической, поскольку все геодезические пересекаются. Равноудалённые кривые на сфере называются параллелями широты, аналогично линиям широты на глобусе. Параллели широты можно получить, пересекая сферу плоскостью, параллельной плоскости, проходящей через центр сферы.