Кіріспе
Дифференциалдық геометриядағы формулалар
In differential geometry, the Frenet–Serret formulas describe the kinematic properties of a particle moving along a differentiable curve in three dimensional Euclidean space , or the geometric properties of the curve itself irrespective of any motion. More specifically, the formulas describe the derivatives of the so called tangent, normal, and binormal unit vectors in terms of each other. The formulas are named after the two French mathematicians who independently discovered them: Jean Frédéric Frenet, in his thesis of 1847, and Joseph Alfred Serret, in 1851. Vector notation and linear algebra currently used to write these formulas were not yet available at the time of their discovery. The tangent, normal, and binormal unit vectors, often called T, N, and B, or collectively the Frenet–Serret frame or TNB frame, together form an orthonormal basis spanning and are defined as follows:
T is the unit vector tangent to the curve, pointing in the direction of motion. N is the normal unit vector, the derivative of T with respect to the arclength parameter of the curve, divided by its length. B is the binormal unit vector, the cross product of T and N.
The Frenet–Serret formulas are:
where d/ds is the derivative with respect to arclength, κ is the curvature, and τ is the torsion of the curve. The two scalars κ and τ effectively define the curvature and torsion of a space curve. The associated collection, T, N, B, κ, and τ, is called the Frenet–Serret apparatus. Intuitively, curvature measures the failure of a curve to be a straight line, while torsion measures the failure of a curve to be planar.
Дифференциалдық геометрияда Френе–Серре формулалары үш өлшемді Евклид кеңістігінде дифференциалданатын қисық сызық бойымен қозғалатын бөлшектің кинематикалық қасиеттерін немесе қозғалысқа қарамастан қисықтың геометриялық қасиеттерін сипаттайды. Нақтырақ айтқанда, формулалар тангенстік, нормальдық және бинормальдық бірлік векторларының бір-біріне қатысты туындыларын сипаттайды. Формулалар оларды тәуелсіз түрде ашқан екі француз математигінің есімімен аталған: Жан Фредерик Френе, 1847 жылғы диссертациясында, және Жозеф Альфред Серре, 1851 жылы. Осы формулаларды жазу үшін қазір қолданылатын векторлық жазба және сызықтық алгебра олар ашылған кезде әлі қол жетімді болмаған. Тангенттік, нормальдық және бинормальдық бірлік векторлары, көбінесе T, N және B деп аталады, немесе бірлесіп Френе–Серре тізбегі немесе TNB тізбегі деп аталады, бірге ортонормальды базаны құрайды және келесідей анықталады: T – қисыққа тангенстік, қозғалыс бағытына қарай бағытталған бірлік вектор. N – нормальдық бірлік векторы, қисықтың доға ұзындығы параметріне қатысты T-ның туындысы, оның ұзындығына бөлінген. B – бинормальдық бірлік векторы, T және N-нің векторлық көбейтіндісі.
In differential geometry, the Frenet–Serret formulas describe the kinematic properties of a particle moving along a differentiable curve in three dimensional Euclidean space , or the geometric properties of the curve itself irrespective of any motion. More specifically, the formulas describe the derivatives of the so called tangent, normal, and binormal unit vectors in terms of each other. The formulas are named after the two French mathematicians who independently discovered them: Jean Frédéric Frenet, in his thesis of 1847, and Joseph Alfred Serret, in 1851. Vector notation and linear algebra currently used to write these formulas were not yet available at the time of their discovery. The tangent, normal, and binormal unit vectors, often called T, N, and B, or collectively the Frenet–Serret frame or TNB frame, together form an orthonormal basis spanning and are defined as follows:
T is the unit vector tangent to the curve, pointing in the direction of motion. N is the normal unit vector, the derivative of T with respect to the arclength parameter of the curve, divided by its length. B is the binormal unit vector, the cross product of T and N.
The Frenet–Serret formulas are:
where d/ds is the derivative with respect to arclength, κ is the curvature, and τ is the torsion of the curve. The two scalars κ and τ effectively define the curvature and torsion of a space curve. The associated collection, T, N, B, κ, and τ, is called the Frenet–Serret apparatus. Intuitively, curvature measures the failure of a curve to be a straight line, while torsion measures the failure of a curve to be planar.
Френе–Серре формулалары:
In differential geometry, the Frenet–Serret formulas describe the kinematic properties of a particle moving along a differentiable curve in three dimensional Euclidean space , or the geometric properties of the curve itself irrespective of any motion. More specifically, the formulas describe the derivatives of the so called tangent, normal, and binormal unit vectors in terms of each other. The formulas are named after the two French mathematicians who independently discovered them: Jean Frédéric Frenet, in his thesis of 1847, and Joseph Alfred Serret, in 1851. Vector notation and linear algebra currently used to write these formulas were not yet available at the time of their discovery. The tangent, normal, and binormal unit vectors, often called T, N, and B, or collectively the Frenet–Serret frame or TNB frame, together form an orthonormal basis spanning and are defined as follows:
T is the unit vector tangent to the curve, pointing in the direction of motion. N is the normal unit vector, the derivative of T with respect to the arclength parameter of the curve, divided by its length. B is the binormal unit vector, the cross product of T and N.
The Frenet–Serret formulas are:
where d/ds is the derivative with respect to arclength, κ is the curvature, and τ is the torsion of the curve. The two scalars κ and τ effectively define the curvature and torsion of a space curve. The associated collection, T, N, B, κ, and τ, is called the Frenet–Serret apparatus. Intuitively, curvature measures the failure of a curve to be a straight line, while torsion measures the failure of a curve to be planar.
мұнда d/ds – доға ұзындығына қатысты туынды, κ – қисықтық, ал τ – қисықтың бұрылысы. Екі скалярлық шама κ және τ кеңістіктегі қисықтың қисықтығы мен бұрылысын анықтайды. Т, N, B, κ және τ жиынтығы Френе–Серре аппараты деп аталады. Интуитивті түрде, қисықтық қисықтың тура сызық болмауын өлшейді, ал бұрылыс қисықтың жазық болмауын өлшейді.
In differential geometry, the Frenet–Serret formulas describe the kinematic properties of a particle moving along a differentiable curve in three dimensional Euclidean space , or the geometric properties of the curve itself irrespective of any motion. More specifically, the formulas describe the derivatives of the so called tangent, normal, and binormal unit vectors in terms of each other. The formulas are named after the two French mathematicians who independently discovered them: Jean Frédéric Frenet, in his thesis of 1847, and Joseph Alfred Serret, in 1851. Vector notation and linear algebra currently used to write these formulas were not yet available at the time of their discovery. The tangent, normal, and binormal unit vectors, often called T, N, and B, or collectively the Frenet–Serret frame or TNB frame, together form an orthonormal basis spanning and are defined as follows:
T is the unit vector tangent to the curve, pointing in the direction of motion. N is the normal unit vector, the derivative of T with respect to the arclength parameter of the curve, divided by its length. B is the binormal unit vector, the cross product of T and N.
The Frenet–Serret formulas are:
where d/ds is the derivative with respect to arclength, κ is the curvature, and τ is the torsion of the curve. The two scalars κ and τ effectively define the curvature and torsion of a space curve. The associated collection, T, N, B, κ, and τ, is called the Frenet–Serret apparatus. Intuitively, curvature measures the failure of a curve to be a straight line, while torsion measures the failure of a curve to be planar.
Кесте кинематикасы
Френе-Серрет фреймінің тангенсі T, нормалі N және бинормалі B жиынтығы 3 кеңістіктің ортонормальдік негізін құрайды. Сызықтың әрбір нүктесінде ол анықтамалық немесе тікбұрышты координаттар жүйесін анықтайды (суретті қараңыз). Френе-Серрет формулалары кинематикалық тұрғыдан түсіндіріледі. Бір байқаушы уақыт өте сызық бойымен қозғалып, әр нүктедегі бекітілген фреймді өз координаттар жүйесі ретінде пайдаланады делік. Френе-Серрет формулаларына сәйкес, байқаушы сызық бойымен қозғалғанда бұл координаттар жүйесі үздірсіз айналып отырады. Сондықтан, бұл координаттар жүйесі әрқашан инерциялық емес. Байқаушының координаттар жүйесінің бұрыштық импульсі фреймнің Дарбукс векторына пропорционалды. Конкреттірек айтсақ, байқаушы (инерциялық) айналдырғыш (немесе гироскопты) сызық бойымен бірге алып жүреді делік. Егер айналдырғыштың осі сызыққа жанасатын болса, онда ол байқаушының инерциялық емес координаттар жүйесіне қатысты τ бұрыштық жылдамдығымен өз осінің айналысын көрсетеді. Ал егер айналдырғыштың осі бинормаль бағытында болса, онда ол κ бұрыштық жылдамдығымен айналады. Бұл қисықтық оң тұрақты және бұрылыс нөлге тең болған жағдайда оңай көрінеді. Байқаушы онда біркелкі дөңгелек қозғалыста болады. Егер айналдырғыш бинормаль бағытында болса, онда бұрыштық импульстің сақталу заңына сәйкес, ол дөңгелек қозғалыстың кері бағытында айналуы керек. Қисықтық нөлге жақындағанда, байқаушының нормалі тангенс векторына қатысты прецессия жасайды, сондай-ақ айналдырғыш та осы прецессияның кері бағытында айналады. Жалпы жағдай төменде көрсетілген. Қосымша иллюстрациялар Wikimedia-да қолжетімді.
Қолданбалар
Фреймнің кинематикасы ғылымда көптеген қолданыстарға ие. Өмір ғылымдарында, әсіресе микробтық қозғалыс модельдерінде, Френет-Серрет фреймінің қарастырылуы тұтқыр ортада қозғалатын организмнің бағытын өзгерту механизмін түсіндіру үшін қолданылған. Физикада Френет-Серрет фреймі траекторияға табиғи координаттар жүйесін тағайындау мүмкін болмаған немесе қиын болған жағдайларда пайдалы. Мұндай жағдай, мысалы, салыстырмалылық теориясында жиі кездеседі. Осы контексте Френет-Серрет фреймдері гравитациялық құдық ішіндегі гироскоптың прецессиясын модельдеу үшін қолданылған.
Графикалық суреттер
Френет негізінің жылжымалы үлгісі (көк түсті T, жасыл түсті N, күлгін түсті B) Вивиани қисығы бойынша. Торус түйіні мысалында тангенс векторы T, нормальдық вектор N және бинормальдық вектор B, сонымен қатар қисықтық κ(s) және бұрылу τ(s) көрсетілген. Бұрылу функциясының жоғарғы нүктелерінде Frenet-Serret жүйесінің (T,N,B) тангенс векторы айналасында айналуы анық көрінеді. Қисықтықтың кинематикалық маңызы жазық қисықтармен (тұрақты бұрылуы нөлге тең) ең жақсы түсіндіріледі. Жазық қисықтардың қисықтығы туралы бетке қараңыз.
Таспалар мен түтіктер
Frenet–Serret аппараты қисыққа ортақтастырылған белгілі бір оңтайлы ленталар мен түтіктерді анықтауға мүмкіндік береді. Бұлар материалтану және серпімділік теориясы, сондай-ақ компьютерлік графика салаларында қолданылады. C қисығы бойымен Frenet лентасы – қисық бойымен нормаль бірлігімен жасалған [−N,N] кесіндісін жылжыту арқылы құрылатын бет. Бұл бет кейде C қисығының тербелістік жазықтықтарының E қабығы болып табылатын жанама дамумен шатастырылады. Мүмкін, себебі Frenet лентасы мен E-нің C бойымен ұқсас қасиеттері бар. Атап айтқанда, E қабығының екі жағының жанама жазықтықтары, осы жақтар қиылысатын C қисығының ерекше нүктесіне жақын, C қисығының тербелістік жазықтықтарына жақындайды; ал C қисығы бойымен Frenet лентасының жанама жазықтықтары осы тербелістік жазықтықтармен сәйкес келеді. Frenet лентасы, әдетте, дамытылмайды.
Ерекше жағдайлар
Егер қисықтық әрқашан нөл болса, онда қисық түзу сызық болады. Бұл жағдайда N, B векторлары және бұрылыс жақсы анықталмайды. Егер бұрылыс әрқашан нөл болса, онда қисық бір жазықтықта жатады. Қисықтың қисықтығы нөлден өзгеше, ал бұрылысы нөл болуы мүмкін. Мысалы, z=0 жазықтығындағы R радиусы бар r(t) = (R cos t, R sin t, 0) шеңберінің бұрылысы нөлге тең, ал қисықтығы 1/R-ге тең. Дегенмен, керісіне дұрыс емес. Яғни, бұрылысы нөлден өзгеше болатын тұрақты қисықтың қисықтығы да нөлден өзгеше болуы керек. Бұл, нөлдік қисықтық нөлдік бұрылысқа алып келеді деген фактінің кері тұжырымы. Бұрылма (спираль) тұрақты қисықтыққа және тұрақты бұрылысқа ие.