Введение
Формулы в дифференциальной геометрии
In differential geometry, the Frenet–Serret formulas describe the kinematic properties of a particle moving along a differentiable curve in three dimensional Euclidean space , or the geometric properties of the curve itself irrespective of any motion. More specifically, the formulas describe the derivatives of the so called tangent, normal, and binormal unit vectors in terms of each other. The formulas are named after the two French mathematicians who independently discovered them: Jean Frédéric Frenet, in his thesis of 1847, and Joseph Alfred Serret, in 1851. Vector notation and linear algebra currently used to write these formulas were not yet available at the time of their discovery. The tangent, normal, and binormal unit vectors, often called T, N, and B, or collectively the Frenet–Serret frame or TNB frame, together form an orthonormal basis spanning and are defined as follows:
T is the unit vector tangent to the curve, pointing in the direction of motion. N is the normal unit vector, the derivative of T with respect to the arclength parameter of the curve, divided by its length. B is the binormal unit vector, the cross product of T and N.
The Frenet–Serret formulas are:
where d/ds is the derivative with respect to arclength, κ is the curvature, and τ is the torsion of the curve. The two scalars κ and τ effectively define the curvature and torsion of a space curve. The associated collection, T, N, B, κ, and τ, is called the Frenet–Serret apparatus. Intuitively, curvature measures the failure of a curve to be a straight line, while torsion measures the failure of a curve to be planar.
В дифференциальной геометрии формулы Френе–Серрета описывают кинематические свойства частицы, движущейся по дифференцируемой кривой в трехмерном евклидовом пространстве, или геометрические свойства самой кривой независимо от какого-либо движения. Более конкретно, формулы описывают производные так называемых тангентного, нормального и бинормального единичных векторов друг относительно друга. Формулы названы в честь двух французских математиков, независимо друг от друга открывших их: Жана Фредерика Френе в его диссертации 1847 года и Жозефа Альфреда Серре в 1851 году. Векторная нотация и линейная алгебра, используемые в настоящее время для записи этих формул, еще не были доступны во время их открытия. Тангенсный, нормальный и бинормальный единичные векторы, часто обозначаемые T, N и B, или вместе – фрейм Френе–Серрета (TNB-фрейм), вместе образуют ортонормальный базис, охватывающий , и определяются следующим образом: T – это единичный вектор, касательный к кривой, указывающий в направлении движения. N – нормальный единичный вектор, производная T по параметру длины дуги кривой, деленная на ее длину. B – бинормальный единичный вектор, векторное произведение T и N.
In differential geometry, the Frenet–Serret formulas describe the kinematic properties of a particle moving along a differentiable curve in three dimensional Euclidean space , or the geometric properties of the curve itself irrespective of any motion. More specifically, the formulas describe the derivatives of the so called tangent, normal, and binormal unit vectors in terms of each other. The formulas are named after the two French mathematicians who independently discovered them: Jean Frédéric Frenet, in his thesis of 1847, and Joseph Alfred Serret, in 1851. Vector notation and linear algebra currently used to write these formulas were not yet available at the time of their discovery. The tangent, normal, and binormal unit vectors, often called T, N, and B, or collectively the Frenet–Serret frame or TNB frame, together form an orthonormal basis spanning and are defined as follows:
T is the unit vector tangent to the curve, pointing in the direction of motion. N is the normal unit vector, the derivative of T with respect to the arclength parameter of the curve, divided by its length. B is the binormal unit vector, the cross product of T and N.
The Frenet–Serret formulas are:
where d/ds is the derivative with respect to arclength, κ is the curvature, and τ is the torsion of the curve. The two scalars κ and τ effectively define the curvature and torsion of a space curve. The associated collection, T, N, B, κ, and τ, is called the Frenet–Serret apparatus. Intuitively, curvature measures the failure of a curve to be a straight line, while torsion measures the failure of a curve to be planar.
Формулы Френе–Серрета:
In differential geometry, the Frenet–Serret formulas describe the kinematic properties of a particle moving along a differentiable curve in three dimensional Euclidean space , or the geometric properties of the curve itself irrespective of any motion. More specifically, the formulas describe the derivatives of the so called tangent, normal, and binormal unit vectors in terms of each other. The formulas are named after the two French mathematicians who independently discovered them: Jean Frédéric Frenet, in his thesis of 1847, and Joseph Alfred Serret, in 1851. Vector notation and linear algebra currently used to write these formulas were not yet available at the time of their discovery. The tangent, normal, and binormal unit vectors, often called T, N, and B, or collectively the Frenet–Serret frame or TNB frame, together form an orthonormal basis spanning and are defined as follows:
T is the unit vector tangent to the curve, pointing in the direction of motion. N is the normal unit vector, the derivative of T with respect to the arclength parameter of the curve, divided by its length. B is the binormal unit vector, the cross product of T and N.
The Frenet–Serret formulas are:
where d/ds is the derivative with respect to arclength, κ is the curvature, and τ is the torsion of the curve. The two scalars κ and τ effectively define the curvature and torsion of a space curve. The associated collection, T, N, B, κ, and τ, is called the Frenet–Serret apparatus. Intuitively, curvature measures the failure of a curve to be a straight line, while torsion measures the failure of a curve to be planar.
где d/ds – производная по длине дуги, κ – кривизна, а τ – кручение кривой. Два скаляра κ и τ эффективно определяют кривизну и кручение пространственной кривой. Совокупность T, N, B, κ и τ называется аппаратом Френе–Серрета. Интуитивно, кривизна измеряет отклонение кривой от прямой, а кручение – отклонение кривой от плоскости.
In differential geometry, the Frenet–Serret formulas describe the kinematic properties of a particle moving along a differentiable curve in three dimensional Euclidean space , or the geometric properties of the curve itself irrespective of any motion. More specifically, the formulas describe the derivatives of the so called tangent, normal, and binormal unit vectors in terms of each other. The formulas are named after the two French mathematicians who independently discovered them: Jean Frédéric Frenet, in his thesis of 1847, and Joseph Alfred Serret, in 1851. Vector notation and linear algebra currently used to write these formulas were not yet available at the time of their discovery. The tangent, normal, and binormal unit vectors, often called T, N, and B, or collectively the Frenet–Serret frame or TNB frame, together form an orthonormal basis spanning and are defined as follows:
T is the unit vector tangent to the curve, pointing in the direction of motion. N is the normal unit vector, the derivative of T with respect to the arclength parameter of the curve, divided by its length. B is the binormal unit vector, the cross product of T and N.
The Frenet–Serret formulas are:
where d/ds is the derivative with respect to arclength, κ is the curvature, and τ is the torsion of the curve. The two scalars κ and τ effectively define the curvature and torsion of a space curve. The associated collection, T, N, B, κ, and τ, is called the Frenet–Serret apparatus. Intuitively, curvature measures the failure of a curve to be a straight line, while torsion measures the failure of a curve to be planar.
Кинематика рамы
Фрейм Френе–Серре, состоящий из касательного вектора T, нормального вектора N и бинормального вектора B, вместе образует ортонормальный базис трехмерного пространства. В каждой точке кривой к ней привязана система отсчета или прямоугольная система координат (см. рисунок). Формулы Френе–Серре допускают кинематическую интерпретацию. Представьте, что наблюдатель движется вдоль кривой, используя прикрепленный фрейм в каждой точке в качестве своей системы координат. Формулы Френе–Серре означают, что эта система координат постоянно вращается при движении наблюдателя вдоль кривой. Следовательно, эта система координат всегда является неинерциальной. Угловой момент системы координат наблюдателя пропорционален вектору Дарбукса фрейма. В частности, предположим, что наблюдатель несет с собой (инерциальный) волчок (или гироскоп) вдоль кривой. Если ось волчка направлена по касательной к кривой, то будет наблюдаться его вращение вокруг своей оси с угловой скоростью τ относительно неинерциальной системы координат наблюдателя. Если же ось волчка направлена по бинормали, то будет наблюдаться вращение с угловой скоростью κ. Это легко представить в случае, когда кривизна является положительной константой, а кручение равно нулю. Тогда наблюдатель находится в равномерном круговом движении. Если ось волчка направлена по бинормали, то, в силу закона сохранения углового момента, он должен вращаться в направлении, противоположном круговому движению. В предельном случае, когда кривизна равна нулю, нормаль наблюдателя прецессирует вокруг касательного вектора, и аналогично волчок будет вращаться в направлении, противоположном этой прецессии. Общий случай показан ниже. Дополнительные иллюстрации можно найти на Викимедиа.
Приложения
Кинематика подвижного триэдра имеет множество применений в науке. В биологических науках, особенно в моделях движения микроорганизмов, рассмотрение триэдра Френе-Серре использовалось для объяснения механизма, посредством которого движущийся организм в вязкой среде изменяет направление своего движения. В физике триэдр Френе-Серре полезен, когда невозможно или неудобно задать естественную систему координат для траектории. Так часто бывает, например, в теории относительности. В этом контексте триэдры Френе-Серре использовались для моделирования прецессии гироскопа в гравитационном поле.
Графические иллюстрации
Пример движущегося базиса Френе (T синим, N зеленым, B фиолетовым) вдоль кривой Вивиани. На примере тора показаны тангенциальный вектор T, нормальный вектор N и бинормальный вектор B, а также кривизна κ(s) и крутка τ(s). На пиках функции крутки отчетливо видна ротация триэдра Френе–Серре (T, N, B) вокруг тангенциального вектора. Кинематический смысл кривизны лучше всего иллюстрируется на плоских кривых (имеющих постоянную крутку, равную нулю). См. страницу о кривизне плоских кривых.
Лента и трубки
Аппарат Френе — Серре позволяет определить определенные оптимальные ленты и трубки, центрированные вокруг кривой. Они находят разнообразное применение в материаловедении и теории упругости, а также в компьютерной графике. Лента Френе вдоль кривой C — это поверхность, образованная скольжением отрезка линии [−N, N], порожденного единичным нормальным вектором вдоль кривой. Эта поверхность иногда путают с разверткой тангенциальной, которая является огибающей E оскулирующих плоскостей C. Это, возможно, связано с тем, что лента Френе и огибающая E демонстрируют схожие свойства вдоль C. В частности, тангенциальные плоскости обеих ветвей огибающей E, вблизи сингулярного множества C, где эти ветви пересекаются, стремятся к оскулирующим плоскостям C; тангенциальные плоскости ленты Френе вдоль C равны этим оскулирующим плоскостям. Лента Френе, как правило, не является развертываемой.
Особые случаи
Если кривизна всегда равна нулю, то кривая будет прямой линией. В этом случае векторы N, B и крутка не определены. Если крутка всегда равна нулю, то кривая будет лежать в плоскости. Кривая может иметь ненулевую кривизну и нулевую крутку. Например, окружность радиуса R, заданная выражением r(t) = (R cos t, R sin t, 0) в плоскости z=0, имеет нулевую крутку и кривизну, равную 1/R. Однако обратное неверно. То есть, правильная кривая с ненулевой круткой должна иметь ненулевую кривизну. Это просто обратное утверждение к тому факту, что нулевая кривизна влечет за собой нулевую крутку. Спираль имеет постоянную кривизну и постоянную крутку.