Кіріспе
Геометриялық ықтималдықтағы сұрақ. Ықтималдық теориясында Буффонның ине мәселесі – бұл 18 ғасырда Жорж Луи Леклерк, Буффон графы алғаш қойған сұрақ:
In probability theory, Buffon's needle problem is a question first posed in the 18th century by Georges Louis Leclerc, Comte de Buffon:
Suppose we have a floor made of parallel strips of wood, each the same width, and we drop a needle onto the floor. What is the probability that the needle will lie across a line between two strips? Buffon's needle was the earliest problem in geometric probability to be solved; it can be solved using integral geometry. The solution for the sought probability p, in the case where the needle length l is not greater than the width t of the strips, is
This can be used to design a Monte Carlo method for approximating the number , although that was not the original motivation for de Buffon's question.
Параллель ағаш жолақтарынан тұратын, әрқайсысы бірдей ені бар еден бар делік, және біз осы еденге ине тастаймыз. Иненің екі жолақ арасындағы шекарадан өту ықтималдығы қандай? Буффонның инесі геометриялық ықтималдықтағы ең алғаш шешілген мәселе; оны интегралды геометрия қолдану арқылы шешуге болады. Ине ұзындығы l жолақтың ені t-ден аспайтын жағдайда ізделінетін ықтималдық p үшін шешім:
In probability theory, Buffon's needle problem is a question first posed in the 18th century by Georges Louis Leclerc, Comte de Buffon:
Suppose we have a floor made of parallel strips of wood, each the same width, and we drop a needle onto the floor. What is the probability that the needle will lie across a line between two strips? Buffon's needle was the earliest problem in geometric probability to be solved; it can be solved using integral geometry. The solution for the sought probability p, in the case where the needle length l is not greater than the width t of the strips, is
This can be used to design a Monte Carlo method for approximating the number , although that was not the original motivation for de Buffon's question.
Бұл санды жуықтау үшін Монте-Карло әдісін құруға қолданылуы мүмкін, бірақ бұл Буффонның сұрағының бастапқы мақсаты емес.
In probability theory, Buffon's needle problem is a question first posed in the 18th century by Georges Louis Leclerc, Comte de Buffon:
Suppose we have a floor made of parallel strips of wood, each the same width, and we drop a needle onto the floor. What is the probability that the needle will lie across a line between two strips? Buffon's needle was the earliest problem in geometric probability to be solved; it can be solved using integral geometry. The solution for the sought probability p, in the case where the needle length l is not greater than the width t of the strips, is
This can be used to design a Monte Carlo method for approximating the number , although that was not the original motivation for de Buffon's question.
Элементарлы есептеуді қолдану
"Қысқа ине" жағдайы үшін келесі шешім, жоғарыда көрсетілгенге тең болса да, көруге ыңғайлырақ және қайталама интегралдардан сақтануға мүмкіндік береді. Біз P ықтималдығын екі ықтималдықтың көбейтіндісі ретінде есептей аламыз: , мұнда P1 – ине ортасының ине сызықты кесіп өтуі үшін жеткілікті жақын аралықта болу ықтималдығы, ал P2 – ине ортасы жетістікке жеткен жағдайда иненің шын мәнінде сызықты кесіп өту ықтималдығы. Жоғарыдағы бөлімдегі суреттен көрініп тұрғанындай, ине сызықты кесіп өте алады, егер ине ортасы жолақтың екі жағындағы бірліктер аралығында болса. Екі жақтан да қосып, бүкіл ені t-ге бөлсек, мынаны аламыз. Енді ортасы жолақтың жиегіне жеткілікті жақын деп есептейміз және P2 есептейміз. Есептеуді жеңілдету үшін, x және θ осы бөлімдегі суретте көрсетілгендей болсын. Иненің ортасын x нүктесіне орналастырсақ, ине тік осьті кесіп өтеді, егер оның бағыты радианның ішінде 2θ радиан аралығында болса. Бұл суретте x-тен сол жақтағы сұр аймақты көрсетеді. Белгілі бір x үшін θ-ны x функциясы ретінде жазуға болады: Енді x-ті 0-ден 1-ге дейін өзгертіп, интегралдаймыз: Екі нәтижені көбейтіп, жоғарыда көрсетілгендей нәтиже аламыз. "Қысқа ине" жағдайын есептеудің тағы да әдемі әрі қарапайым тәсілі бар. Иненің аймағын шектеген екі сызықтың бірінен ең алыс ұшы, ине сызықты кесіп өтуі үшін осы сызықтан l cos θ (мұнда θ – ине мен көлденең арасындағы бұрыш) көлденең (шектеуші сызықтарға перпендикуляр) қашықтықта орналасуы керек. Иненің ең алыс ұшы осы сызықтан көлденең бағытта аймағында t қашықтыққа жылжуы мүмкін. Иненің ең алыс ұшы сызықтан l cos θ қашықтығынан аспайтын ықтималдығы (яғни ине сызықты кесіп өтеді) аймағында оның қозғала алатын жалпы қашықтығы t-ге қатысты мынадай болады:
Now, we assume that the center is within reach of the edge of the strip, and calculate P2. To simplify the calculation, we can assume that
Let x and θ be as in the illustration in this section. Placing a needle's center at x, the needle will cross the vertical axis if it falls within a range of 2θ radians, out of radians of possible orientations. This represents the gray area to the left of x in the figure. For a fixed x, we can express θ as a function of x: Now we can let x range from 0 to 1, and integrate:
Multiplying both results, we obtain as above. There is an even more elegant and simple method of calculating the "short needle case". The end of the needle farthest away from any one of the two lines bordering its region must be located within a horizontal (perpendicular to the bordering lines) distance of l cos θ (where θ is the angle between the needle and the horizontal) from this line in order for the needle to cross it. The farthest this end of the needle can move away from this line horizontally in its region is t. The probability that the farthest end of the needle is located no more than a distance l cos θ away from the line (and thus that the needle crosses the line) out of the total distance t it can move in its region for is given by
Интегралсыз
Қысқа ине мәселесін ешқандай интеграциясыз да шешуге болады, бұл p формуласын геометриялық факт арқылы түсіндіреді: t диаметрлі шеңбер t қашықтықтағы жолақтарды әрқашан (яғни 1 ықтималдығымен) дәл екі жерде кесіп өтеді. Бұл шешімді 1860 жылы Жозеф Эмиль Барбьер берген, және оны "Буффонның кеспесі" деп те атайды.