Введение
Вопрос в геометрической вероятности
В теории вероятностей проблема иглы Буффона — это вопрос, впервые поставленный в XVIII веке Жоржем Луи Леклерком, графом де Буффоном:
Предположим, у нас есть пол, состоящий из параллельных полос дерева одинаковой ширины, и мы бросаем иглу на пол. Какова вероятность того, что игла пересечёт линию между двумя полосами? Проблема иглы Буффона была первой задачей в геометрической вероятности, для которой было найдено решение, и её можно решить с помощью интегральной геометрии. Решение для искомой вероятности p, в случае, когда длина иглы l не превышает ширину t полос, равно
Это можно использовать для разработки метода Монте-Карло для приближённого вычисления числа π, хотя это и не было изначальной целью вопроса, поставленного де Буффоном.
Используя элементарный анализ
Следующее решение для случая "короткой иглы", хотя и эквивалентно вышеуказанному, имеет более наглядный вид и позволяет избежать итерированных интегралов. Мы можем вычислить вероятность P как произведение двух вероятностей: , где P1 – вероятность того, что центр иглы окажется достаточно близко к линии, чтобы игла могла её пересечь, а P2 – вероятность того, что игла действительно пересечёт линию, при условии, что центр находится в пределах досягаемости. Судя по иллюстрации в вышеуказанном разделе, очевидно, что игла может пересечь линию, если центр иглы находится на расстоянии не более единиц от любой из сторон полосы. Прибавляя к обеим сторонам и деля на общую ширину t, получаем. Теперь предположим, что центр находится в пределах досягаемости края полосы, и вычислим P2. Для упрощения вычислений можно считать, что x и θ соответствуют иллюстрации в этом разделе. Если поместить центр иглы в точку x, то игла пересечёт вертикальную ось, если её ориентация попадает в диапазон 2θ радиан из возможных радиан. Это соответствует серой области слева от x на рисунке. Для фиксированного x мы можем выразить θ как функцию от x: теперь мы можем задать x диапазон от 0 до 1 и проинтегрировать: умножая оба результата, получаем, как и ранее. Существует ещё более элегантный и простой способ вычисления вероятности для случая "короткой иглы". Конец иглы, наиболее удалённый от одной из двух ограничивающих полосу линий, должен находиться на горизонтальном (перпендикулярном к ограничивающим линиям) расстоянии не более l cos θ (где θ – угол между иглой и горизонталью) от этой линии, чтобы игла могла её пересечь. Максимальное расстояние, на которое этот конец иглы может отойти от этой линии в пределах полосы, равно t. Вероятность того, что наиболее удалённый конец иглы находится на расстоянии не более l cos θ от линии (и, следовательно, игла пересекает линию) из общего расстояния t, на которое она может перемещаться в пределах полосы, равна.
Now, we assume that the center is within reach of the edge of the strip, and calculate P2. To simplify the calculation, we can assume that
Let x and θ be as in the illustration in this section. Placing a needle's center at x, the needle will cross the vertical axis if it falls within a range of 2θ radians, out of radians of possible orientations. This represents the gray area to the left of x in the figure. For a fixed x, we can express θ as a function of x: Now we can let x range from 0 to 1, and integrate:
Multiplying both results, we obtain as above. There is an even more elegant and simple method of calculating the "short needle case". The end of the needle farthest away from any one of the two lines bordering its region must be located within a horizontal (perpendicular to the bordering lines) distance of l cos θ (where θ is the angle between the needle and the horizontal) from this line in order for the needle to cross it. The farthest this end of the needle can move away from this line horizontally in its region is t. The probability that the farthest end of the needle is located no more than a distance l cos θ away from the line (and thus that the needle crosses the line) out of the total distance t it can move in its region for is given by
Без интегралов
Проблема короткой иглы также может быть решена без использования интегрирования, основываясь на геометрическом факте, что круг диаметром t всегда (то есть с вероятностью 1) будет пересекать расстояние t полос ровно в двух точках. Это решение было предложено Жозефом Эмилем Барбье в 1860 году и также известно как "лапша Буффона".