Гиперкубтан проекцияланған дөңгелек полиэдр

Кіріспе

Гиперкубтан проекцияланған дөңес көпбұрыш геометрияда зонаэдрон – орталық симметриялы, әрбір жағы орталық симметриялы көпбұрыш (зоногон) болатын дөңес көпбұрыш. Кез келген зонаэдронды үш өлшемді кеңістіктегі түзу кесінділерінің жиынтығының Минковский қосындысы ретінде немесе гиперкубтың үш өлшемді проекциясы ретінде де сипаттауға болады. Зонаэдронды алғаш рет орыс кристаллографы Е. С. Федоров анықтап, зерттеген. Жалпы алғанда, кез келген өлшемде түзу кесінділерінің Минковский қосындысы зонотоп деп аталатын политопты құрайды.

Бұл аймақтағы бөліктердің кеңістігі

Зонагедраны зерттеудің бастапқы себебі – кез келген тордың Вороной диаграммасы, ұяшықтары зонагедра болатын дөңгелек біртекті ұялы құрылымды құрайды. Осылай түзілген кез келген зонагедрон үш өлшемді кеңістікті мозаикалай алады және оны негізгі параллелоэдрон деп атайды. Әрбір негізгі параллелоэдрон комбинаторлық тұрғыдан бес түрдің бірімен эквивалентті: ромбоэдр (кубты қоса алғанда), алтыбұрышты призма, қиықталған октаэдр, ромбты додекаэдр және ромбты алтыбұрышты додекаэдр.

Минковский сомаларынан алынған зона

Бұл үш өлшемді векторлардың жиынтығы болсын. Әрбір вектормен біз бір сызық сегментін байланыстыра аламыз. Минковский қосындысы зонагедронды құрайды, ал бастапқы нүктесі бар барлық зонагедралар осы түрде болады. Зонагедронды құраған векторлар оның генераторлары деп аталады. Бұл сипаттама зонагедраның анықтамасын жоғары өлшемдерге кеңейтуге мүмкіндік береді, нәтижесінде зонатоптар пайда болады. Зонагедронның әрбір қабырғасы кем дегенде бір генераторға параллель және оның ұзындығы өзіне параллель генераторлар ұзындықтарының қосындысына тең. Сондықтан, параллель векторлар жұбы жоқ генераторлар жиынтығын таңдап, барлық векторлардың ұзындығын тең етіп белгілеу арқылы, кез келген комбинаторлық типтегі зонагедронның теңқабырғалы түрін құруға болады. Жоғары дәрежеде симметриялы векторлар жиынтығын таңдау арқылы, осыған ұқсас симметрияға ие зонагедраларды құруға болады. Мысалы, шардың экваторы бойымен бір-бірінен тең арақашықтықта орналасқан генераторлар, шардың полюстері арқылы өтетін тағы бір генераторлар жұбымен бірге, тұрақты көпбұрыштардың үстіндегі призма пішіндес зонагедраларды құрайды: куб, алтыбұрышты призма, сегізбұрышты призма, онбұрышты призма, он екібұрышты призма және т.б. Октаэдрдің қабырғаларына параллель генераторлар кесілген октаэдрді, ал кубтың ұзын диагональдарына параллель генераторлар ромбтық додекаэдрді құрайды. Кез келген екі зонагедронның Минковский қосындысы – бұл екі берілген зонагедронның генераторларының бірігінен пайда болған тағы бір зонагедрон. Осылайша, куб пен кесілген октаэдрдің Минковский қосындысы кесілген кубоктаэдрді, ал куб пен ромбтық додекаэдрдің Минковский қосындысы кесілген ромбтық додекаэдрді құрайды. Бұл зонагедралардың екеуі де жай (әр төбесінде үш жақ кездеседі), сондай-ақ куб, кесілген октаэдр және ромбтық додекаэдрдің Минковский қосындысынан құралған кесілген кішкентай ромбикубоктаэдр да осыған ие. Зонагедралар мен орналасулар арасындағы сәйкестіктен және Сильвестр-Галлай теоремасынан (өзінің проективті қос түрінде), кез келген орналасуда тек екі түзудің қиылысатынын дәлелдейтін теоремадан, әрбір зонагедронның кем дегенде бір жұп қарама-қарсы параллелограмм жақтары бар екендігі көрінеді. (Бұл мақсатта квадраттар, тіктөртбұрыштар және ромбтар параллелограммдардың ерекше жағдайлары ретінде қарастырылады.) Керісінше, әрбір зонагедронның кем дегенде алты параллелограмм жағы бар, ал әрбір зонагедронның параллелограмм жақтарының саны оның генераторларының санына пропорционалды.

Let be a collection of three dimensional vectors. With each vector we may associate a line segment The Minkowski sum forms a zonohedron, and all zonohedra that contain the origin have this form. The vectors from which the zonohedron is formed are called its generators. This characterization allows the definition of zonohedra to be generalized to higher dimensions, giving zonotopes. Each edge in a zonohedron is parallel to at least one of the generators, and has length equal to the sum of the lengths of the generators to which it is parallel. Therefore, by choosing a set of generators with no parallel pairs of vectors, and by setting all vector lengths equal, we may form an equilateral version of any combinatorial type of zonohedron. By choosing sets of vectors with high degrees of symmetry, we can form in this way, zonohedra with at least as much symmetry. For instance, generators equally spaced around the equator of a sphere, together with another pair of generators through the poles of the sphere, form zonohedra in the form of prism over regular gons: the cube, hexagonal prism, octagonal prism, decagonal prism, dodecagonal prism, etc. Generators parallel to the edges of an octahedron form a truncated octahedron, and generators parallel to the long diagonals of a cube form a rhombic dodecahedron. The Minkowski sum of any two zonohedra is another zonohedron, generated by the union of the generators of the two given zonohedra. Thus, the Minkowski sum of a cube and a truncated octahedron forms the truncated cuboctahedron, while the Minkowski sum of the cube and the rhombic dodecahedron forms the truncated rhombic dodecahedron. Both of these zonohedra are simple (three faces meet at each vertex), as is the truncated small rhombicuboctahedron formed from the Minkowski sum of the cube, truncated octahedron, and rhombic dodecahedron. It follows from the correspondence between zonohedra and arrangements, and from the Sylvester–Gallai theorem which (in its projective dual form) proves the existence of crossings of only two lines in any arrangement, that every zonohedron has at least one pair of opposite parallelogram faces. (Squares, rectangles, and rhombuses count for this purpose as special cases of parallelograms.) More strongly, every zonohedron has at least six parallelogram faces, and every zonohedron has a number of parallelogram faces that is linear in its number of generators.

Зонахедраның дисекциясы

Кез келген көпбұрыштың бірдей көлемдегі кез келген басқа көпбұрышқа жіктелуі жалпы жағдайда мүмкін емес (Хилберттің үшінші мәселесін қараңыз), бірақ екі тең көлемді кез келген аймақтарды бір-біріне жіктеуге болады.

Аймақтық суландыру

Зонахедрификация – Джордж В. Харт полиэдрден зонахедрон жасау процесі ретінде анықтаған нәрсе. Алдымен, кез келген бастапқы полиэдрдің төбелері полиэдрдің ортасынан векторлар ретінде қарастырылады. Бұл векторлар зонахедронды құрайды, оны бастапқы полиэдрдің зонахедрификациясы деп атаймыз. Егер бастапқы полиэдр орталық симметрияға ие болса, қарама-қарсы нүктелер бір бағытты анықтайды, сондықтан зонахедронның аймақтарының саны бастапқы полиэдрдің төбелерінің санының жартысына тең. Бастапқы полиэдрдің кез келген екі төбесі үшін зонахедрификацияның екі қарама-қарсы жазықтығы болады, олардың әрқайсысының екі қабырғасы төбе векторларына параллель. + Мысалдар Симметрия Диэдрал Октаэдр Икосаэдр 8 төбе V4.4.6 6 төбе {3,4} 8 төбе {4,3} 12 төбе 3.4.3.4 14 төбе V3.4.3.4 12 төбе {3,5} 20 төбе {5,3} 30 төбе 3.5.3.5 32 төбе V3.5.3.5 Зоногедрон 4 зона 4.4.6 3 зона {4,3} 4 зона Ромб. 12 6 зона 4.6.6 7 зона Ш. куб 6 зона Ромб. 30 10 зона Ромб. 90 15 зона 4.6.10 16 зона Ромб. 90

Зонотоптар

Кез келген өлшемдегі сызық сегменттерінің Минковский қосындысы зонотоп деп аталатын политоп түрін құрайды. Балама ретінде, векторлармен туындаған зонотоп мына арқылы беріледі: егер , онда зонотоп (мүмкін дегенерацияланған) параллелотоп болып табылады. Кез келген зонотоптың жақтары бір өлшемге төмен зонотоптар болып табылады; мысалы, зоноэдрдың беттері зоногондар болып келеді. Төрт өлшемді зонотоптардың мысалдарына тессеракт (d өзара перпендикуляр, тең ұзындығы бар сызық сегменттерінің Минковский қосындысы), 5 жасушалы омнитрункация және 24 жасушалы қиылысы жатады. Кез келген пермутоэдр – зонотоп.

Зонотоптар мен матроидтар

Векторлар жиынынан анықталған зонотопты бекітіңіз және оның бағаналары сол векторлар болатын матрицасын қарастырыңыз. Содан кейін, матрицаның бағаналарындағы векторлық матроид, зонотоп туралы көптеген ақпаратты кодтайды, яғни зонотоптың көптеген қасиеттері таза комбинаторлық сипатқа ие. Мысалы, зонотоптың қарама-қарсы жақтарының жұптары оның коциркуиттерімен табиғи түрде индекстеледі, ал егер біз матрица арқылы берілген бағдарланған матроидты қарастырсақ, онда зонотоптың жақтары мен оның ковекторлары арасында биекция аламыз, бұл зонотоптың жақтар торлары мен ковекторлар арасындағы антиизоморфизмге дейін жалғасады. Атап айтқанда, егер екі матрица проективті түрлендіру арқылы ерекшеленсе, олардың сәйкес зонотоптары комбинаторлық түрде эквивалентті болады. Бұл мәлімдеменің керісі дұрыс емес: кесінді – зонотоп және ол екі матрицадан да жасалады, бірақ олардың сәйкес матрицалары және проективті түрлендіру арқылы ерекшеленбейді.

Тақташалар

Зотоптың плиткалық қасиеттері оған байланысты бағдарланған матроидпен тығыз байланысты. Біріншіден, кеңістікті кесу қасиетін қарастырайық. Егер векторлардың бір жиыны болса, онда барлық трансляттардың бірігуі кеңістікке тең болады және кез келген екі транслят әрқайсысының (бос болуы мүмкін) жағымен қиылысады, онда зонотоп плиткалайды деп айтылады. Мұндай зонотоп кеңістікті плиткалайтын зонотоп деп аталады. МакМалленге сәйкес, кеңістікті плиткалайтын зонотоптардың келесі жіктемесі бар: векторлар кеңістікті плиткалайды, егер және ғана егер сәйкес бағдарланған матроид тұрақты болса. Осылайша, кеңістікті плиткалайтын зонотоп болудың геометриялық сипаттамасы генерациялайтын векторлардың комбинаторлық құрылымына ғана байланысты. Зотоппен байланысты тағы бір плиткалау түрі – зоналық плиткалау. Зотоптар жиыны, егер ол тірекпен полиэдрлік кешен болса, яғни жиынтықтағы барлық зонотоптардың бірігуі кеңістікке тең болса және кез келген екі зонотоп ортақ (бос болуы мүмкін) жағымен қиылысса, онда зоналық плиткалау деп аталады. Осы беттегі зоногедралардың көптеген суреттерін үш өлшемді нысандардың жазық бейнелеулеріне қарағанда, жай ғана жазық нысандар ретінде қарастыру арқылы 2 өлшемді зонотоптың зоналық плиткалауы ретінде қарастыруға болады. Боне-Дресс теоремасы бойынша, зонотоптың зоналық плиткалаулары мен оған байланысты бағдарланған матроидтың бір элементтік көтерілімдері арасында биекция бар.

Көлем

Зонахедралар және жалпы n өлшемді зонатоптар олардың көлемін есептеуге арналған қарапайым аналитикалық формулаға ие болуымен ерекшеленеді. Егер зонатоп векторлар жиынымен құрылған болса, онда оның n өлшемді көлемі мына формуламен беріледі:

Бұл формуладағы детерминант мағыналы, себебі (жоғарыда айтылғандай) егер жиынның саны қоршаған кеңістіктің өлшеміне тең болса, онда зонатоп параллелотоп болады. Егер жиын бос болса, онда бұл формула зонатоптың көлемі нөлге тең екенін көрсетеді.