Введение

Выпуклый полиэдр, проецируемый из гиперкуба. В геометрии зоноэдр — это выпуклый полиэдр, обладающий центральной симметрией, каждая грань которого является центрально симметричным многоугольником (зоногоном). Любой зоноэдр можно также описать как сумму Минковского множества отрезков прямой в трехмерном пространстве или как трехмерную проекцию гиперкуба. Зоноэдры были первоначально определены и исследованы Э. С. Фёдоровым, русским кристаллографом. В более общем смысле, в любом измерении сумма Минковского отрезков прямой образует политоп, известный как зонотоп.

Зона , в которой находится пространство для плитки

Первоначальная мотивация для изучения зоноэдров заключается в том, что диаграмма Вороного любой решетки образует выпуклый однородный сотовидный узор, в котором ячейки являются зоноэдрами. Любой зоноэдр, образованный таким образом, может заполнять трехмерное пространство и называется первичным параллелоэдром. Каждый первичный параллелоэдр комбинаторно эквивалентен одному из пяти типов: ромбоэдру (включая куб), гексагональной призме, усеченному октаэдру, ромбическому додекаэдру и ромбогексагональному додекаэдру.

Зоногедра из сумм Минковского

Пусть – коллекция трехмерных векторов. С каждым вектором мы можем связать отрезок прямой. Сумма Минковского образует зоноэдр, и все зоноэдры, содержащие начало координат, имеют такую форму. Векторы, из которых образован зоноэдр, называются его образующими. Эта характеристика позволяет обобщить определение зоноэдра на более высокие размерности, получая зонотопы. Каждое ребро зоноэдра параллельно по крайней мере одному из образующих и имеет длину, равную сумме длин образующих, которым оно параллельно. Следовательно, выбирая набор образующих без параллельных пар векторов и устанавливая все длины векторов равными, мы можем сформировать равностороннюю версию любого комбинаторного типа зоноэдра. Выбирая наборы векторов с высокой степенью симметрии, мы можем таким образом формировать зоноэдры с по крайней мере такой же степенью симметрии. Например, образующие, равномерно расположенные вокруг экватора сферы, вместе с другой парой образующих, проходящих через полюса сферы, образуют зоноэдры в форме призмы над правильными -угольниками: куб, гексагональная призма, октагональная призма, декагональная призма, додекагональная призма и т.д. Образующие, параллельные ребрам октаэдра, образуют усеченный октаэдр, а образующие, параллельные длинным диагоналям куба, образуют ромбический додекаэдр. Сумма Минковского любых двух зоноэдров является другим зоноэдром, порожденным объединением образующих двух заданных зоноэдров. Таким образом, сумма Минковского куба и усеченного октаэдра образует усеченный кубоктаэдр, а сумма Минковского куба и ромбического додекаэдра образует усеченный ромбический додекаэдр. Оба этих зоноэдра просты (три грани сходятся в каждой вершине), как и усеченный малый ромбикубоктаэдр, образованный суммой Минковского куба, усеченного октаэдра и ромбического додекаэдра. Из соответствия между зоноэдрами и расположениями, а также из теоремы Сильвестра — Галлая, которая (в своей проективной двойственной форме) доказывает существование пересечений только двух прямых в любом расположении, следует, что каждый зоноэдр имеет по крайней мере одну пару противоположных параллелограммных граней. (Квадраты, прямоугольники и ромбы рассматриваются для этой цели как частные случаи параллелограммов.) Более того, каждый зоноэдр имеет по крайней мере шесть параллелограммных граней, и количество параллелограммных граней каждого зоноэдра линейно зависит от количества его образующих.

Дисекция зоногедра

Хотя обычно неверно, что любой многогранник можно разбить на любой другой многогранник того же объема (см. третью проблему Гильберта), известно, что любые два зоноэдры равного объема могут быть разбиты один на другой.

Зона гидрификации

Зоногедрификация — это процесс, определённый Джорджем У. Хартом для создания зоноэдра из другого многогранника. Сначала вершины любого исходного многогранника рассматриваются как векторы, исходящие из центра многогранника. Эти векторы формируют зоноэдр, который мы называем зоногедрификацией исходного многогранника. Если исходный многогранник обладает центральной симметрией, противоположные точки определяют одно и то же направление, поэтому число зон в зоноэдре равно половине числа вершин исходного многогранника. Для любых двух вершин исходного многогранника существуют две противоположные плоскости зоногедрификации, каждая из которых имеет два ребра, параллельных векторам вершин. + ПримерыСимметрияДиэдральнаяОктаэдрическаяИкосаэдрическаяИсходный8 вершинV4.4.66 вершин{3,4}8 вершин{4,3}12 вершин3.4.3.414 вершинV3.4.3.412 вершин{3,5}20 вершин{5,3}30 вершин3.5.3.532 вершинV3.5.3.5Зоноэдр4 зоны4.4.63 зоны{4,3}4 зоныРомб.126 зоны4.6.67 зоныЧетырёхугольный куб6 зонРомб.3010 зонРомб.9015 зон4.6.1016 зонРомб.90

Зонотопы

Сумма Минковского отрезков в любом измерении образует тип политопа, называемый зонотопом. Эквивалентно, зонотоп, порожденный векторами, задается выражением . Отметим, что в частном случае, когда , зонотоп является (возможно, вырожденным) параллелотопом. Грани любого зонотопа сами являются зонотопами на одно измерение меньше; например, грани зоноэдров являются зоногонами. Примеры четырехмерных зонотопов включают тессеракт (суммы Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков одинаковой длины), всевозможную 5-ячейку и усеченную 24-ячейку. Любой пермутоэдр является зонотопом.

Зонотопы и матроиды

Зафиксируйте зонотоп, определенный набором векторов, и пусть `A` — матрица, столбцами которой являются эти векторы. Тогда векторный матроид на столбцах `A` кодирует большое количество информации о зонотопе, то есть многие свойства зонотопа носят чисто комбинаторный характер. Например, пары противоположных граней зонотопа естественно индексируются коциркуитами матроида, а если рассмотреть ориентированный матроид, представленный матрицей `A`, то мы получим биекцию между гранями зонотопа и знаковыми коциркуитами, которая расширяется до антиизоморфизма позитивного порядка между решеткой граней зонотопа и ковекторами, упорядоченными по поточечному расширению. В частности, если `A` и `B` — две матрицы, отличающиеся проективным преобразованием, то соответствующие им зонотопы комбинаторно эквивалентны. Обратное утверждение неверно: отрезок является зонотопом и может быть сгенерирован как матрицей `A`, так и матрицей `B`, при этом матрицы `A` и `B` не отличаются проективным преобразованием.

Площадки

Свойства замощения зонотопа также тесно связаны с ориентированным матроидом, ассоциированным с ним. Сначала рассмотрим свойство пространственного замощения. Зонотоп называется замощающим пространство, если существует набор векторов, такой что объединение всех сдвигов равно пространству, и любые два сдвига пересекаются в (возможно, пустой) грани. Такой зонотоп называется зонотопом пространственного замощения. Следующая классификация зонотопов пространственного замощения принадлежит Мак-Маллену: зонотоп, порожденный векторами, замощает пространство тогда и только тогда, когда соответствующий ориентированный матроид является регулярным. Таким образом, кажущееся геометрическое условие пространственного замощения зонотопа на самом деле зависит только от комбинаторной структуры порождающих векторов. Другим семейством замощений, связанных с зонотопом, являются зонотопные замощения. Коллекция зонотопов является зонотопным замощением, если она представляет собой полиэдральный комплекс с носителем, то есть если объединение всех зонотопов в коллекции равно пространству, и любые два пересекаются в общей (возможно, пустой) грани. Многие изображения зоноэдров на этой странице можно рассматривать как зонотопные замощения двухмерного зонотопа, просто рассматривая их как плоские объекты (в отличие от планарных представлений трехмерных объектов). Теорема Бона — Дресс утверждает, что существует биекция между зонотопными замощениями зонотопа и одноэлементными подъемами ориентированного матроида, ассоциированного с ним.

Объем

Зонахедра и n-мерные зонотопы в целом примечательны тем, что для их объема существует простая аналитическая формула. Пусть – зонотоп, порожденный набором векторов . Тогда n-мерный объем задается как

Детерминант в этой формуле имеет смысл, поскольку (как отмечалось выше) когда множество имеет кардинальность, равную размерности окружающего пространства, зонотоп является параллелоэдромом. Следует отметить, что при , эта формула просто утверждает, что объем зонотопа равен нулю.