Кіріспе
Математикадағы гиперболалық функциялар – тригонометриялық функциялардың аналогтары, бірақ олар шеңбер емес, гипербола арқылы анықталады. Егер (cos t, sin t) нүктелері бірлік радиусты шеңбер құраса, (cosh t, sinh t) нүктелері бірлік гиперболаның оң жартысын құрайды. Сол сияқты, sin(t) және cos(t) функцияларының туындылары сәйкесінше cos(t) және –sin(t) болса, sinh(t) және cosh(t) функцияларының туындылары сәйкесінше cosh(t) және +sinh(t) болады. Гиперболалық функциялар гиперболалық геометриядағы бұрыштар мен қашықтықтарды есептеуде қолданылады. Олар сондай-ақ көптеген сызықты дифференциалдық теңдеулердің (мысалы, катенарды анықтайтын теңдеу), кубтық теңдеулердің және декарт координаталарындағы Лаплас теңдеуінің шешімдерінде кездеседі. Лаплас теңдеуі физиканың көптеген салаларында маңызды, оның ішінде электромагнетизм, жылу алмасу, сұйықтар динамикасы және арнайы салыстырмалылық теориясы. Негізгі гиперболалық функциялар:
гиперболалық синус "sinh" ( /s//ɪ//ŋ//, /'/s//ɪ//n//tʃ//, /'/ʃ//aɪ//n/),
гиперболалық косинус "cosh" ( /k//ɒ//ʃ//, /'/k//oʊ//ʃ/),
ал олардан туындылары:
гиперболалық тангенс "tanh" ( /t//æ//ŋ//, /'/t//æ//n//tʃ//, /'/θ//æ//n/),
гиперболалық котангенс "coth" ( /k//ɒ//θ//, /'/k//oʊ//θ/),
гиперболалық секанс "sech" ( /s//ɛ//tʃ//, /'/ʃ//ɛ//k/),
гиперболалық косеканс "csch" немесе "cosech" ( /k//oʊ//s//ɛ//tʃ//, /'/k//oʊ//ʃ//ɛ//k/)
гиперболалық косинустың обратный функциясы "arcosh" (сондай-ақ "cosh^(−1)", "acosh" немесе кейде "arccosh" деп белгіленеді)
гиперболалық тангенстің обратный функциясы "artanh" (сондай-ақ "tanh^(−1)", "atanh" немесе кейде "arctanh" деп белгіленеді)
гиперболалық котангенстің обратный функциясы "arcoth" (сондай-ақ "coth^(−1)", "acoth" немесе кейде "arccoth" деп белгіленеді)
гиперболалық секанстың обратный функциясы "arsech" (сондай-ақ "sech^(−1)", "asech" немесе кейде "arcsech" деп белгіленеді)
гиперболалық косеканстың обратный функциясы "arcsch" (сондай-ақ "arcosech", "csch^(−1)", "cosech^(−1)","acsch", "acosech", немесе кейде "arccsch" немесе "arccosech" деп белгіленеді)
In mathematics, hyperbolic functions are analogues of the ordinary trigonometric functions, but defined using the hyperbola rather than the circle. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the unit hyperbola. Also, similarly to how the derivatives of sin(t) and cos(t) are cos(t) and –sin(t) respectively, the derivatives of sinh(t) and cosh(t) are cosh(t) and +sinh(t) respectively. Hyperbolic functions occur in the calculations of angles and distances in hyperbolic geometry. They also occur in the solutions of many linear differential equations (such as the equation defining a catenary), cubic equations, and Laplace's equation in Cartesian coordinates. Laplace's equations are important in many areas of physics, including electromagnetic theory, heat transfer, fluid dynamics, and special relativity. The basic hyperbolic functions are:
hyperbolic sine "sinh" ('/s//ɪ//ŋ//, /'/s//ɪ//n//tʃ//, /'/ʃ//aɪ//n/),
hyperbolic cosine "cosh" ('/k//ɒ//ʃ//, /'/k//oʊ//ʃ/),
from which are derived:
hyperbolic tangent "tanh" ('/t//æ//ŋ//, /'/t//æ//n//tʃ//, /'/θ//æ//n/),
hyperbolic cotangent "coth" ('/k//ɒ//θ//, /'/k//oʊ//θ/),
hyperbolic secant "sech" ('/s//ɛ//tʃ//, /'/ʃ//ɛ//k/),
hyperbolic cosecant "csch" or "cosech" ('/k//oʊ//s//ɛ//tʃ//, /'/k//oʊ//ʃ//ɛ//k/
area hyperbolic cosine "arcosh" (also denoted "cosh^(−1)", "acosh" or sometimes "arccosh")
area hyperbolic tangent "artanh" (also denoted "tanh^(−1)", "atanh" or sometimes "arctanh")
area hyperbolic cotangent "arcoth" (also denoted "coth^(−1)", "acoth" or sometimes "arccoth")
area hyperbolic secant "arsech" (also denoted "sech^(−1)", "asech" or sometimes "arcsech")
area hyperbolic cosecant "arcsch" (also denoted "arcosech", "csch^(−1)", "cosech^(−1)","acsch", "acosech", or sometimes "arccsch" or "arccosech")
The hyperbolic functions take a real argument called a hyperbolic angle. The size of a hyperbolic angle is twice the area of its hyperbolic sector. The hyperbolic functions may be defined in terms of the legs of a right triangle covering this sector. In complex analysis, the hyperbolic functions arise when applying the ordinary sine and cosine functions to an imaginary angle. The hyperbolic sine and the hyperbolic cosine are entire functions. As a result, the other hyperbolic functions are meromorphic in the whole complex plane. By Lindemann–Weierstrass theorem, the hyperbolic functions have a transcendental value for every non zero algebraic value of the argument. Hyperbolic functions were introduced in the 1760s independently by Vincenzo Riccati and Johann Heinrich Lambert. Riccati used Sc. and Cc. (sinus/cosinus circulare) to refer to circular functions and Sh. and Ch. (sinus/cosinus hyperbolico) to refer to hyperbolic functions. Lambert adopted the names, but altered the abbreviations to those used today. The abbreviations sh, ch, th, cth are also currently used, depending on personal preference.
Гиперболалық функциялар гиперболалық бұрыш деп аталатын нақты аргументті қабылдайды. Гиперболалық бұрыштың мөлшері оның гиперболалық секторының ауданының екі еселенгеніне тең. Гиперболалық функцияларды осы секторды қамтитын тікбұрышты үшбұрыштың катеттері арқылы анықтауға болады. Күрделі талдауда гиперболалық функциялар, егер жасырын бұрышқа қарапайым синус және косинус функциялары қолданылса, пайда болады. Гиперболалық синус және гиперболалық косинус – толық функциялар. Осының салдарынан, басқа гиперболалық функциялар күрделі жазықтықтың барлық аймағында мероморфты болады. Линдманн-Вейерштрасс теоремасына сәйкес, гиперболалық функциялардың аргументінің нөлдік емес алгебралық мәні үшін трансценденттік мәні болады. Гиперболалық функциялар 1760 жылдары Винченцо Риккати және Иоганн Генрих Ламберт есімді ғалымдармен тәуелсіз түрде енгізілген. Риккати шеңберлік функцияларды белгілеу үшін Sc. және Cc. (sinus/cosinus circulare), ал гиперболалық функцияларды белгілеу үшін Sh. және Ch. (sinus/cosinus hyperbolico) қолданды. Ламберт бұл атауларды қабылдады, бірақ қазіргі таңда қолданылатын түріне сәйкес қысқартуларын өзгертті. sh, ch, th, cth аббревиатуралары да жеке қалауға қарай қолданылады.
In mathematics, hyperbolic functions are analogues of the ordinary trigonometric functions, but defined using the hyperbola rather than the circle. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the unit hyperbola. Also, similarly to how the derivatives of sin(t) and cos(t) are cos(t) and –sin(t) respectively, the derivatives of sinh(t) and cosh(t) are cosh(t) and +sinh(t) respectively. Hyperbolic functions occur in the calculations of angles and distances in hyperbolic geometry. They also occur in the solutions of many linear differential equations (such as the equation defining a catenary), cubic equations, and Laplace's equation in Cartesian coordinates. Laplace's equations are important in many areas of physics, including electromagnetic theory, heat transfer, fluid dynamics, and special relativity. The basic hyperbolic functions are:
hyperbolic sine "sinh" ('/s//ɪ//ŋ//, /'/s//ɪ//n//tʃ//, /'/ʃ//aɪ//n/),
hyperbolic cosine "cosh" ('/k//ɒ//ʃ//, /'/k//oʊ//ʃ/),
from which are derived:
hyperbolic tangent "tanh" ('/t//æ//ŋ//, /'/t//æ//n//tʃ//, /'/θ//æ//n/),
hyperbolic cotangent "coth" ('/k//ɒ//θ//, /'/k//oʊ//θ/),
hyperbolic secant "sech" ('/s//ɛ//tʃ//, /'/ʃ//ɛ//k/),
hyperbolic cosecant "csch" or "cosech" ('/k//oʊ//s//ɛ//tʃ//, /'/k//oʊ//ʃ//ɛ//k/
area hyperbolic cosine "arcosh" (also denoted "cosh^(−1)", "acosh" or sometimes "arccosh")
area hyperbolic tangent "artanh" (also denoted "tanh^(−1)", "atanh" or sometimes "arctanh")
area hyperbolic cotangent "arcoth" (also denoted "coth^(−1)", "acoth" or sometimes "arccoth")
area hyperbolic secant "arsech" (also denoted "sech^(−1)", "asech" or sometimes "arcsech")
area hyperbolic cosecant "arcsch" (also denoted "arcosech", "csch^(−1)", "cosech^(−1)","acsch", "acosech", or sometimes "arccsch" or "arccosech")
The hyperbolic functions take a real argument called a hyperbolic angle. The size of a hyperbolic angle is twice the area of its hyperbolic sector. The hyperbolic functions may be defined in terms of the legs of a right triangle covering this sector. In complex analysis, the hyperbolic functions arise when applying the ordinary sine and cosine functions to an imaginary angle. The hyperbolic sine and the hyperbolic cosine are entire functions. As a result, the other hyperbolic functions are meromorphic in the whole complex plane. By Lindemann–Weierstrass theorem, the hyperbolic functions have a transcendental value for every non zero algebraic value of the argument. Hyperbolic functions were introduced in the 1760s independently by Vincenzo Riccati and Johann Heinrich Lambert. Riccati used Sc. and Cc. (sinus/cosinus circulare) to refer to circular functions and Sh. and Ch. (sinus/cosinus hyperbolico) to refer to hyperbolic functions. Lambert adopted the names, but altered the abbreviations to those used today. The abbreviations sh, ch, th, cth are also currently used, depending on personal preference.
Анықтамалар
Гиперболалық функцияларды анықтаудың әртүрлі баламалы тәсілдері бар.
Гиперболалық тангенс
Гиперболалық тангенс – 1=f′ = 1 − f² дифференциалдық теңдеудің (бірден-бір) шешімі, мұнда f(0) = 0.
Пайдалы қарым-қатынастар
Гиперболалық функциялар көптеген тепе-теңдіктерді орындайды, олардың бәрі де түрі жағынан тригонометриялық тепе-теңдіктерге ұқсас. Озборнның қағидасы
Дөңгелек функциялармен салыстыру
Гиперболалық функциялар тригонометрияны шеңберлік функциялардан асырып, кеңейтеді. Екі түрі де аргументке тәуелді, яғни шеңберлік бұрышқа немесе гиперболалық бұрышқа. Радиусы r және бұрышы u (радиандармен өлшенген) шеңбер секторының ауданы 1/2 * r² * u тең болғандықтан, ол u-ға тең болады, егер диаграммада мұндай шеңбер гипербола xy = 1-ге (1,1) нүктесінде жанасатын болса. Сары сектор аудан мен бұрыш шамасын көрсетеді. Сол сияқты, сары және қызыл аймақтар бірге гиперболалық секторды бейнелейді, оның ауданы гиперболалық бұрыш шамасына сәйкес келеді. Бұрышты анықтайтын сәуледегі гипотенузасы бар екі тікбұрышты үшбұрыштың катеттерінің ұзындығы шеңберлік және гиперболалық функцияларға пропорционал. Гиперболалық бұрыш – сығу түрлендірілісіне қатысты инвариантты шама, дәл сияқты шеңберлік бұрыш айналу кезінде инвариантты болады. Гудерманн функциясы шеңберлік және гиперболалық функциялар арасындағы тікелей байланысты, кешенді сандарды пайдаланбастан қамтамасыз етеді. a cosh(x/a) функциясының графигі – катенария, яғни біртекті серпімді тізбекпен құрылған, біртекті гравитацияда екі бекітілген нүкте арасында еркін ілінген қисық.