Введение
Коллективное название 6 математических функций
В математике гиперболические функции являются аналогами обычных тригонометрических функций, но определяются с использованием гиперболы, а не окружности. Так же, как точки (cos t, sin t) образуют окружность с радиусом единицы, точки (cosh t, sinh t) образуют правую половину единичной гиперболы. Также, подобно тому, как производные sin(t) и cos(t) равны соответственно cos(t) и –sin(t), производные sinh(t) и cosh(t) равны соответственно cosh(t) и +sinh(t). Гиперболические функции встречаются в вычислениях углов и расстояний в гиперболической геометрии. Они также встречаются в решениях многих линейных дифференциальных уравнений (таких как уравнение, определяющее цепную линию), кубических уравнений и уравнения Лапласа в декартовых координатах. Уравнения Лапласа важны во многих областях физики, включая электромагнитную теорию, теплопередачу, гидродинамику и специальную теорию относительности. Основные гиперболические функции:
гиперболический синус "sinh" (произносится /ˈsɪŋ/, /ˈsɪnʧ/, /ˈʃaɪn/),
гиперболический косинус "cosh" (произносится /ˈkɒʃ/, /ˈkoʊʃ/),
от которых выводятся:
гиперболический тангенс "tanh" (произносится /ˈtæŋ/, /ˈtænʧ/, /ˈθæn/),
гиперболический котангенс "coth" (произносится /ˈkɒθ/, /ˈkoʊθ/),
гиперболический секанс "sech" (произносится /ˈsɛʧ/, /ˈʃɛk/),
гиперболический косеканс "csch" или "cosech" (произносится /ˈkoʊsɛʧ/, /ˈkoʊʃɛk/)
обратный гиперболический косинус "arcosh" (также обозначается "cosh^(−1)", "acosh" или иногда "arccosh")
обратный гиперболический тангенс "artanh" (также обозначается "tanh^(−1)", "atanh" или иногда "arctanh")
обратный гиперболический котангенс "arcoth" (также обозначается "coth^(−1)", "acoth" или иногда "arccoth")
обратный гиперболический секанс "arsech" (также обозначается "sech^(−1)", "asech" или иногда "arcsech")
обратный гиперболический косеканс "arcsch" (также обозначается "arcosech", "csch^(−1)", "cosech^(−1)","acsch", "acosech", или иногда "arccsch" или "arccosech")
hyperbolic sine "sinh" ('/s//ɪ//ŋ//, /'/s//ɪ//n//tʃ//, /'/ʃ//aɪ//n/),
hyperbolic cosine "cosh" ('/k//ɒ//ʃ//, /'/k//oʊ//ʃ/),
from which are derived:
hyperbolic tangent "tanh" ('/t//æ//ŋ//, /'/t//æ//n//tʃ//, /'/θ//æ//n/),
hyperbolic cotangent "coth" ('/k//ɒ//θ//, /'/k//oʊ//θ/),
hyperbolic secant "sech" ('/s//ɛ//tʃ//, /'/ʃ//ɛ//k/),
hyperbolic cosecant "csch" or "cosech" ('/k//oʊ//s//ɛ//tʃ//, /'/k//oʊ//ʃ//ɛ//k/
area hyperbolic cosine "arcosh" (also denoted "cosh^(−1)", "acosh" or sometimes "arccosh")
area hyperbolic tangent "artanh" (also denoted "tanh^(−1)", "atanh" or sometimes "arctanh")
area hyperbolic cotangent "arcoth" (also denoted "coth^(−1)", "acoth" or sometimes "arccoth")
area hyperbolic secant "arsech" (also denoted "sech^(−1)", "asech" or sometimes "arcsech")
area hyperbolic cosecant "arcsch" (also denoted "arcosech", "csch^(−1)", "cosech^(−1)","acsch", "acosech", or sometimes "arccsch" or "arccosech")
Гиперболические функции принимают действительный аргумент, называемый гиперболическим углом. Величина гиперболического угла равна удвоенной площади соответствующего гиперболического сектора. Гиперболические функции могут быть определены через катеты прямоугольного треугольника, охватывающего этот сектор. В комплексном анализе гиперболические функции возникают при применении обычных функций синуса и косинуса к мнимому углу. Гиперболический синус и гиперболический косинус являются целыми функциями. Следовательно, остальные гиперболические функции мероморфны во всей комплексной плоскости. Согласно теореме Линдемана — Вейерштрасса, гиперболические функции имеют трансцендентное значение для любого ненулевого алгебраического значения аргумента. Гиперболические функции были введены в 1760-х годах независимо друг от друга Винченцо Риккати и Иоганном Генрихом Ламбертом. Риккати использовал Sc. и Cc. (sinus/cosinus circulare) для обозначения круговых функций и Sh. и Ch. (sinus/cosinus hyperbolico) для обозначения гиперболических функций. Ламберт принял эти названия, но изменил сокращения на современные. Сокращения sh, ch, th, cth также используются в настоящее время, в зависимости от личных предпочтений.
Определения
Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.
Гиперболическая тангенс
Гиперболический тангенс является (единственным) решением дифференциального уравнения 1 = f′ = 1 − f² , при этом f(0) = 0.
Полезные отношения
Гиперболические функции удовлетворяют множеству тождеств, все из которых по форме аналогичны тригонометрическим тождествам. Фактически, правило Осборна…
Сравнение с циркулярными функциями
Гиперболические функции представляют собой расширение тригонометрии за пределы круговых функций. Оба типа зависят от аргумента – кругового или гиперболического угла. Поскольку площадь кругового сектора с радиусом r и углом u (в радианах) равна r²u/2, она будет равна u, когда… На диаграмме такой круг касается гиперболы xy = 1 в точке (1, 1). Желтый сектор отображает площадь и величину угла. Аналогично, желтая и красная области вместе отображают гиперболический сектор, площадь которого соответствует величине гиперболического угла. Катеты двух прямоугольных треугольников с гипотенузой, лежащей на луче, определяющем углы, имеют длину, равную произведению круговых и гиперболических функций. Гиперболический угол является инвариантной мерой относительно сжимающего преобразования, подобно тому, как круговой угол инвариантен относительно вращения. Функция Гудерманна устанавливает прямую связь между круговыми и гиперболическими функциями, не использующую комплексные числа. График функции a cosh(x/a) представляет собой цепную линию – кривую, образуемую однородной гибкой цепью, свободно подвешенной между двумя фиксированными точками под действием однородной гравитации.