Кіріспе
Матрицалық операция, скалярлық сандардың дәрежелеуін жалпылайды. Математикада матрицалық экспонента – бұл квадрат матрицаларға қатысты функция, ол обычайғы экспонента функциясына ұқсас. Ол сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу үшін қолданылады. Ли топтарының теориясында матрицалық экспонента матрицалық Ли алгебрасы мен сәйкес Ли тобы арасындағы экспоненциалдық бейнелеуді береді. X – n×n нақты немесе кешенді матрица болсын. X-тің экспонентасы, e^(X) немесе exp(X) арқылы белгіленеді, келесі қатар ретінде беріледі:
In mathematics, the matrix exponential is a matrix function on square matrices analogous to the ordinary exponential function. It is used to solve systems of linear differential equations. In the theory of Lie groups, the matrix exponential gives the exponential map between a matrix Lie algebra and the corresponding Lie group. Let X be an n×n real or complex matrix. The exponential of X, denoted by e^(X) or exp(X), is the n×n matrix given by the power series
where is defined to be the identity matrix with the same dimensions as The series always converges, so the exponential of X is well defined. Equivalently,
where I is the n×n identity matrix. When X is an n×n diagonal matrix then exp(X) will be an n×n diagonal matrix with each diagonal element equal to the ordinary exponential applied to the corresponding diagonal element of X.
мұнда I – X-пен бірдей өлшемдегі бірлік матрица, сондықтан X-тің экспонентасы дұрыс анықталған. Басқаша айтқанда:
In mathematics, the matrix exponential is a matrix function on square matrices analogous to the ordinary exponential function. It is used to solve systems of linear differential equations. In the theory of Lie groups, the matrix exponential gives the exponential map between a matrix Lie algebra and the corresponding Lie group. Let X be an n×n real or complex matrix. The exponential of X, denoted by e^(X) or exp(X), is the n×n matrix given by the power series
where is defined to be the identity matrix with the same dimensions as The series always converges, so the exponential of X is well defined. Equivalently,
where I is the n×n identity matrix. When X is an n×n diagonal matrix then exp(X) will be an n×n diagonal matrix with each diagonal element equal to the ordinary exponential applied to the corresponding diagonal element of X.
мұнда I – n×n бірлік матрицасы. Егер X – n×n диагональдық матрица болса, онда exp(X) – X-тің сәйкес диагональдық элементтеріне обычайғы экспонента қолданылған n×n диагональдық матрица болады.
In mathematics, the matrix exponential is a matrix function on square matrices analogous to the ordinary exponential function. It is used to solve systems of linear differential equations. In the theory of Lie groups, the matrix exponential gives the exponential map between a matrix Lie algebra and the corresponding Lie group. Let X be an n×n real or complex matrix. The exponential of X, denoted by e^(X) or exp(X), is the n×n matrix given by the power series
where is defined to be the identity matrix with the same dimensions as The series always converges, so the exponential of X is well defined. Equivalently,
where I is the n×n identity matrix. When X is an n×n diagonal matrix then exp(X) will be an n×n diagonal matrix with each diagonal element equal to the ordinary exponential applied to the corresponding diagonal element of X.
Нақты симметриялық матрицалар
Нақты симметриялық матрицаның матрицалық экспонентасы оң мәнді анықталған. n×n нақты симметриялық матрица және бағандық вектор болсын. Матрицалық экспонентаның және симметриялық матрицалардың элементарлық қасиеттерін пайдаланып, мынаны аламыз:
Егер кері матрица болса, теңдік тек жағдайында ғана орындалады, және барлық нөлдік емес үшін болады. Сондықтан оң мәнді анықталған.
Қосындылардың экспоненциалы
Кез келген нақты сандар (скалярлар) x және y үшін экспоненциалдық функция 1=e^(x+y) = e^(x) e^(y) теңдігін қанағаттандырады. Осы қасиет алмасатын матрицалар үшін де сақталады. Егер X және Y матрицалары алмасатын болса (яғни XY = YX), онда,
Дегенмен, алмаспайтын матрицалар үшін жоғарыдағы теңдік міндетті түрде орындалмайды.
Нилпотентті жағдай
N матрицасы, егер N^(q) = 0 болатын кейбір бүтін сан q болса, нильпотентті болып табылады. Бұл жағдайда, матрицалық экспонента e^(N) тікелей қатарлық кеңею арқылы есептелуі мүмкін, себебі қатар шекті сандар санынан кейін тоқтатылады:
Қатарда шекті сандар саны болғандықтан, ол матрицалық полином болып табылады, оны тиімді есептеуге болады.