Введение

Матричная операция, обобщающая возведение в степень скалярных чисел.

В математике матричная экспонента — это матричная функция на квадратных матрицах, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Она используется для решения систем линейных дифференциальных уравнений. В теории групп Ли матричная экспонента задает экспоненциальное отображение между матричной алгеброй Ли и соответствующей группой Ли. Пусть X — матрица размера n×n с действительными или комплексными элементами. Экспонента матрицы X, обозначаемая как e^(X) или exp(X), — это матрица размера n×n, задаваемая степенным рядом

где определяется как единичная матрица того же размера, что и X. Ряд всегда сходится, поэтому экспонента матрицы X определена однозначно. Эквивалентно,

где I — единичная матрица размера n×n. Если X — диагональная матрица размера n×n, то exp(X) также будет диагональной матрицей размера n×n, каждый диагональный элемент которой равен экспоненте соответствующего диагонального элемента матрицы X.

Реальные симметричные матрицы

Экспоненциальная матрица реальной симметричной матрицы положительно определена. Пусть A – реальная симметричная матрица размера n×n, а x – столбец-вектор. Используя элементарные свойства матричной экспоненты и симметричных матриц, получаем:

Поскольку A обратима, равенство выполняется только при x = 0, и у нас есть xᵀAx > 0 для всех ненулевых x. Следовательно, A положительно определена.

Экспоненциал сумм

Для любых действительных чисел (скаляров) x и y мы знаем, что экспоненциальная функция удовлетворяет e^(x+y) = e^(x) e^(y). То же самое верно для коммутирующих матриц. Если матрицы X и Y коммутируют (то есть XY = YX), то,

Однако, для матриц, которые не коммутируют, указанное выше равенство не всегда выполняется.

Нильпотентный случай

Матрица N называется нильпотентной, если N^q = 0 для некоторого целого числа q. В этом случае матричный экспоненциал e^(N) можно вычислить непосредственно из разложения в ряд, так как ряд обрывается после конечного числа членов: поскольку ряд содержит конечное число слагаемых, он представляет собой матричный многочлен, который можно вычислить эффективно.