Кіріспе

1 = Теорема: (cos x + i sin x)^n = cos nx + i sin nx
Математикада де Мойвр формуласы (сонымен қатар де Мойвр теоремасы және де Мойвр тождествосы деп те аталады) кез келген нақты сан x және бүтін сан n үшін орындалады.

Мұндағы i – жорамал бірлік. Формула Абрахам де Мойврдің құрметіне аталған, бірақ ол оны өз еңбектерінде нақты айтқан емес. cos x + i sin x өрнегі кейде [[cis (математика)]] деп қысқартылады. Бұл формула маңызды, себебі ол комплекс сандар мен тригонометрияны байланыстырады. Сол жақ бөлігін ашып, x нақты сан деп есептегенде, нақты және жорамал бөліктерін салыстыру арқылы cos nx және sin nx үшін cos x және sin x арқылы пайдалы өрнектерді алуға болады. Формула қазіргі түрінде бүтін емес n дәрежелері үшін жарамсыз. Дегенмен, басқа көрсеткіштер үшін де жарамды осы формуланың жалпылама түрлері бар. Оларды бірліктің n-ші түбірлерін табу үшін қолдануға болады, яғни z комплекс саны үшін, және синус пен косинус функцияларының комплекс сандарға стандартты кеңейтілген түрін пайдаланып, формула x кез келген комплекс сан болғанда да жарамды болады.

Косинус пен синус формулалары жеке-жеке

Күрделі сандардың теңдігі үшін, теңдеудің екі жағының да нақты және жолғақты бөліктерінің тең болуы қажет. Егер x, сондай-ақ cos x және sin x нақты сандар болса, онда осы бөліктердің сәйкестігін биномдық коэффициенттер арқылы жазуға болады. Бұл формуланы 16 ғасыр француз математигі Франсуа Виет берген:

Осы екі теңдеудің әрқайсысындағы соңғы тригонометриялық функция бірге, немесе минус бірге, немесе нөлге тең болады, осылайша әрбір қосындыдағы жазбалардың жартысын жояды. Бұл теңдеулер x-тің кешенді мәндері үшін де жарамды, себебі екі жақ та x-тің толық (яғни, күрделі жазықтықтың барлық аймағында голоморфты) функциялары, ал нақты осьте сәйкес келетін екі мұндай функция міндетті түрде барлық жерде сәйкес келеді. Міне, және үшін осы теңдеулердің нақты мысалдары:

cos nx формуласының оң жағы, іс жүзінде, cos x мәніндегі Tn Чебышев полиномының Tn мәніне тең.

Бүкіл емес күштер үшін қателік және жалпылау

Де Мойвр формуласы бүтін емес дәрежелер үшін қолданылмайды. Жоғарыда келтірілген Де Мойвр формуласының шығарылуы күрделі санның бүтін дәрежесі n-ге көтерілуін қамтиды. Егер күрделі сан бүтін емес дәрежеге көтерілсе, нәтижесі көп мәнді болады (дәрежелік және логарифмдік теңдіктердің бұзылуын қараңыз).

Гиперболалық тригонометрия

Де Мойвр формуласының аналогы гиперболалық тригонометрияға да қатысты. Барлық n бүтін сандар үшін,

Егер n рационал сан болса (бірақ міндетті түрде бүтін сан емес), онда cosh nx + sinh nx шамасы (cosh x + sinh x)^n шамасының мәндерінің бірі болады.

2 × 2 матрицалар

n – бүтін сан болғанда матрицалар үшін осылай болады. Бұл, берілген типтегі матрицалар мен кешенді жазықтық арасындағы изоморфизмнің тікелей салдары.