Введение

1 = Теорема: (cos x + i sin x)^n = cos nx + i sin nx
В математике формула де Муавра (также известная как теорема де Муавра и тождество де Муавра) утверждает, что для любого действительного числа x и целого числа n справедливо следующее:

где i — мнимая единица. Формула названа в честь Абрахама де Муавра, хотя он никогда не формулировал её в своих работах. Выражение cos x + i sin x иногда сокращенно записывают как cis(x). Формула важна, поскольку она связывает комплексные числа и тригонометрию. Разложив левую часть в ряд и сравнив действительную и мнимую части, предполагая, что x — действительное число, можно получить полезные выражения для cos nx и sin nx через cos x и sin x. В представленном виде формула неверна для нецелых степеней n. Однако существуют обобщения этой формулы, справедливые для других показателей степени. Их можно использовать для получения явных выражений для n-х корней из единицы, то есть комплексных чисел z, таких, что
При использовании стандартных расширений функций синуса и косинуса на комплексные числа формула остаётся справедливой даже при произвольном комплексном значении x.

Формулы косинуса и синуса по отдельности

Для равенства комплексных чисел необходимо равенство как действительных, так и мнимых частей обеих сторон уравнения. Если x, а следовательно, и cos x и sin x, являются действительными числами, то тождество этих частей можно записать с использованием биномиальных коэффициентов. Эту формулу дал французский математик XVI века Франсуа Виет:

В каждом из этих двух уравнений конечная тригонометрическая функция равна единице, минус единице или нулю, что позволяет исключить половину слагаемых в каждой из сумм. Эти уравнения, на самом деле, справедливы даже для комплексных значений x, поскольку обе стороны являются целыми (то есть голоморфными на всей комплексной плоскости) функциями от x, а две такие функции, совпадающие на действительной оси, обязательно совпадают везде. Приведем конкретные примеры этих уравнений для и :

Правая часть формулы для cos nx фактически является значением Tn(cos x) полинома Чебышева Tn при cos x.

Недостаток для нецелых степеней и обобщение

Формула де Муавра не применима к нецелым степеням. Вывод формулы де Муавра, представленный выше, оперирует комплексным числом, возведенным в целую степень n. Если комплексное число возводится в нецелую степень, результат оказывается многозначным (см. нарушение тождеств для степени и логарифма).

Гиперболическая тригонометрия

Поскольку , аналог формулы де Муавра также применим к гиперболической тригонометрии. Для всех целых чисел n,

если n – рациональное число (но не обязательно целое), то cosh nx + sinh nx будет одним из значений (cosh x + sinh x)^n.

Матрицы 2 × 2

С матрицами, когда n является целым числом. Это прямое следствие изоморфизма между матрицами типа и комплексной плоскостью.