Кіріспе

Математикада, әсіресе сақиналар теориясында, R сақинасының Якобсон радикалы – R сақинасындағы барлық қарапайым оң R модульдерін жоятын элементтерден тұратын идеал. "Оң" деген сөзді "сол" деп ауыстырса, дәл сол идеал шығады, сондықтан бұл түсінік сол-оң симметриялы. Сақинаның Якобсон радикалы көбінесе J(R) немесе rad(R) арқылы белгіленеді; бұл мақалада J(R) белгілеуіне басымдық беріледі, себебі ол сақинаның басқа радикалдарымен шатасудың алдын алады. Якобсон радикалы Натан Якобсонның есімімен аталады, ол оны кез келген сақиналар үшін алғаш зерттеген. Сақинаның Якобсон радикалының көптеген ішкі сипаттамалары бар, соның ішінде бұл түсінікті бірліксіз сақиналарға сәтті кеңейтетін бірнеше анықтамалар да бар. Модульдің радикалы Якобсон радикалының анықтамасын модульдерді қоса кеңейтеді. Якобсон радикалы Накаяма леммасы сияқты көптеген сақина және модуль теориялық нәтижелерде маңызды рөл атқарады.

Анықтамалар

Якобсон радикалының бірнеше эквивалентті анықтамалары мен сипаттамалары бар, бірақ сақинаның коммутативті болуына немесе болмауына байланысты анықтамаларды қарастыру пайдалы.

Коммутативтік жағдай

Коммутативтік жағдайда, R коммутативтік сақинаның Якобсон түбірі барлық максималдық идеалдардың қиылысы ретінде анықталады. Егер Specm R R-дегі барлық максималдық идеалдар жиыны ретінде белгіленсе, онда бұл анықтаманы бірқатар қарапайым жағдайларда, мысалы, бірегей максималдық идеалға ие жергілікті сақиналар (R, ), Артиний сақиналары және олардың көбейтінділері үшін нақты есептеулерде қолдануға болады. Нақты есептеулер мысалдар бөлімінде қарастырылған.

Коммутативті емес/жалпы жағдай

R бірлігі бар жалпы сақина үшін Джейкобсон түбірі J(R) – барлық элементтердің идеалы ретінде анықталады r ∈ R, егер кез келген қарапайым R модулі M үшін 1 = rM = 0 болса. Яғни,

Бұл коммутативтік сақина R үшін коммутативтік жағдайдағы анықтамамен сәйкес келеді, себебі коммутативтік сақинадағы қарапайым модульдер R / түрінде болады, мұнда – R сақинасының максималды идеалы. R сақинасындағы R / аннигиляторлары – дәл идеалының элементтері, яғни 1 = AnnR(R / ) = .

Мотивация

Якобсон радикалын түсіну бірнеше жағдайға байланысты: атап айтқанда, оның қолданылуы және одан туындайтын геометриялық интерпретациялар, сондай-ақ оның алгебралық интерпретациялары.

Коммутативтік мысалдар

Z бүтін сандар сақинасы үшін оның Якобсон түбірі нөлдік идеал, сондықтан 1=J(Z) = (0), өйткені ол әрбір идеалдың алғашқы саннан (p) пайда болған қиылысы арқылы беріледі. 1=(p1) ∩ (p2) = (p1 ⋅ p2), және біз барлық максималдық идеалдар арасында 0-ден басқа ортақ элементтері жоқ шексіз қиылысуды алғанымыз үшін, бізде есептеу бар. Жергілікті сақина (R, ) үшін Якобсон түбірі жай ғана 1=J(R) = . Бұл Накаяма леммасын қолдануда қолданылуы үшін маңызды жағдай. Атап айтқанда, егер бізде схема немесе алгебралық сан X бойынша E → X алгебралық векторлық бунделі болса және біз p ∈ X нүктесі үшін E|p негізін бекітсек, онда бұл негіз p-ның U аймағындағы барлық қималар үшін E генераторларының жиынтығына көтеріледі. Егер k - өріс болса және 1 = R = k[[X1, ..., Xn]] - формальды қуат қатарларының сақинасы болса, онда J(R) тұрақты мүшесі нөлге тең қуат қатарларынан тұрады, яғни (X1, ..., Xn) идеалындағы қуат қатарлары. Артиний сақиналарының жағдайында, мысалы C[t1, t2]/(t14, t12t22, t29), Якобсон түбірі (t1, t2) болып табылады. Алдыңғы мысалды 1=R = C[t2, t3, ...]/(t22, t33, ...) сақинасына кеңейтіп, 1=J(R) = (t2, t3, ...) деп беруге болады. Z/12Z сақинасының Якобсон түбірі 6Z/12Z, бұл 2Z/12Z және 3Z/12Z максималдық идеалдардың қиылысы. C[t] ⊗C C[x1, x2]x12+x22−1 сақинасын қарастырайық, мұндағы екіншісі C[x1, x2]-нің негізгі идеал 1= = (x12 + x22 − 1) арқылы локализациясы. Содан кейін, Якобсон түбірі тривиальды, өйткені максималдық идеалдар (t − z) ⊗ (x12 + x22 − 1) түріндегі элементпен z ∈ C үшін туындайды.

Коммутативті емес мысалдар

J(R) болып табылатын сақиналар жартылай примитивті сақиналар немесе кейде "Жейкобсон жартылай қарапайым сақиналар" деп аталады. Кез келген өрістің, кез келген фон Нейманның тұрақты сақинасының және кез келген сол немесе оң жақ примитивті сақинаның Якобсон түбірі бос сақина болып табылады. Егер K өріс болса және R - K-ға кіретін барлық жоғарғы үшбұрышты n × n матрицалардың сақинасы болса, онда J(R) негізгі диагоналінде нөлдері бар барлық жоғарғы үшбұрышты матрицалардан тұрады. Ациклді, шекті күрек Γ және K өрісімен бастаңыз және күрек алгебрасы KΓ-ны қарастырыңыз (Quiver мақаласында сипатталған). Бұл сақинаның Якобсон радикалын Γ-дегі ұзындығы ≥ 1 барлық жолдар жасайды. C* алгебраның Якобсон түбірі бос сақина болып табылады. Бұл Гельфанд-Наймарк теоремасынан және C* алгебра үшін гильберт кеңістігіндегі топологиялық тұрғыдан ирредуктивті * өрнеу алгебралық тұрғыдан ирредуктивті, сондықтан оның ядросы таза алгебралық мағынадағы примитивті идеал болып табылады (C* алгебраның спектрін қараңыз).

Қасиеттері

Егер R бірлікке ие және тривиальды сақина болмаса, Якобсон түбірі әрқашан R-ден өзгеше болады, өйткені бірлікпен сақиналар әрқашан максималды оң идеалға ие. Дегенмен, сақиналар теориясындағы кейбір маңызды теоремалар мен болжамдар 1=J(R) = R жағдайын қарастырады. "Егер R нөлдік сақина болса (яғни оның әрбір элементі нильпотентті болса), онда R[x] полиномдық сақинасы өзінің Якобсон түбіріне тең бе?" деген сұрақ ашық Кёте болжамымен эквивалентті. Кез келген I идеалы J(R)-де қамтылған болса, 1=J(R / I) = J(R) / I. Атап айтқанда, R / J(R) сақинасының Якобсон түбірі нөлге тең. Якобсон түбірі нөлге тең сақиналар жартылай примитивті сақиналар деп аталады. Сақина, егер және тек қана ол Артиниялық болса және оның Якобсон түбірі нөл болса, жартылай қарапайым болады. Егер f : R → S - сюръективті сақина гомоморфизмі болса, онда f(J(R)) ⊆ J(S). Егер R бірлікке ие сақина болса және M - 1=J(R)M = M шартымен шекті түрде туындаған сол R модулі болса, онда 1=M = 0 (Накаяма леммасы). J(R) барлық орталық нильпотентті элементтерді қамтиды, бірақ 0-ден басқа идемпотентті элементтерді қамтымайды. J(R) R-дің барлық нөлдік идеалдарын қамтиды. Егер R сол немесе оң Артиниялық болса, онда J(R) нильпотентті идеал болады. Бұл шындығында күшейтілуі мүмкін: Егер R оң R модулі үшін композициялық қатар болса (мұндай қатар R оң Артиниялық болса, әрине бар, ал R сол Артиниялық болса, сол жақ композициялық қатар бар), онда 1=(J(R))k = 0. Дегенмен, жалпы жағдайда Якобсон түбірі сақинаның тек нильпотентті элементтерінен тұруы міндетті емес. Егер R коммутативті және белгілі бір өріс немесе Z үстіндегі алгебра ретінде шекті түрде туындаған болса, онда J(R) R-дің нил радикалына тең. (Бірлікке ие) сақинаның Якобсон түбірі оның ең үлкен артық оң (эквивалентті, сол) идеалы болып табылады.