Введение
В математике, и в частности в теории колец, радикал Якобсона кольца R — это идеал, состоящий из тех элементов кольца R, которые аннулируют все простые правые R-модули. Оказывается, что замена "правый" на "левый" в определении приводит к тому же идеалу, поэтому понятие обладает лево-правой симметрией. Радикал Якобсона кольца часто обозначается как J(R) или rad(R); в данной статье предпочтение отдается первому обозначению, чтобы избежать путаницы с другими радикалами кольца. Радикал Якобсона назван в честь Натана Якобсона, который впервые исследовал его для произвольных колец. Радикал Якобсона имеет множество внутренних характеристик, включая несколько определений, которые успешно обобщают это понятие на не унитальные кольца. Радикал модуля расширяет определение радикала Якобсона и включает в себя модули. Радикал Якобсона играет важную роль во многих результатах теории колец и модулей, таких как лемма Накаямы.
The Jacobson radical of a ring has numerous internal characterizations, including a few definitions that successfully extend the notion to non unital rings. The radical of a module extends the definition of the Jacobson radical to include modules. The Jacobson radical plays a prominent role in many ring and module theoretic results, such as Nakayama's lemma.
Определения
Существует множество эквивалентных определений и характеризаций радикала Джейкобсона, но полезно рассмотреть определения в зависимости от того, является ли кольцо коммутативным или нет.
Коммутативный случай
В коммутативном случае радикал Якобсона коммутативного кольца R определяется как пересечение всех максимальных идеалов. Если Specm R обозначает множество всех максимальных идеалов в R, то это определение может быть использовано для явных вычислений в ряде простых случаев, таких как локальные кольца (R, ), которые имеют единственный максимальный идеал, артиновы кольца и их произведения. Подробные вычисления приведены в разделе «Примеры».
Некоммутативный/общий случай
Для общего кольца с единицей R, радикал Джейкобсона J(R) определяется как идеал всех элементов r ∈ R, таких что 1 = rM = 0 всякий раз, когда M – простой R-модуль. Это эквивалентно определению в коммутативном случае для коммутативного кольца R, поскольку простые модули над коммутативным кольцом имеют вид R / для некоторого максимального идеала R, а аннигиляторы R / в R являются как раз элементами , то есть 1 = AnnR(R / ) = .
This is equivalent to the definition in the commutative case for a commutative ring R because the simple modules over a commutative ring are of the form R / for some maximal ideal of R, and the annihilators of R / in R are precisely the elements of , i. e. 1=AnnR(R / ) = .
Мотивация
Понимание радикала Джейкобсона опирается на несколько различных аспектов: его применения и вытекающие из них геометрические интерпретации, а также его алгебраическое понимание.
Примеры коммутативных
Для кольца целых чисел Z его радикалом Якобсона является нулевой идеал, так что J(Z) = (0), поскольку он задается пересечением всех идеалов, порожденных простым числом (p). Поскольку J(Z) = (p1) ∩ (p2) = (p1 ⋅ p2), и мы берем бесконечное пересечение без общих элементов, кроме 0, между всеми максимальными идеалами, мы получаем следующее вычисление. Для локального кольца (R, m) радикалом Якобсона является просто J(R) = m. Это важный случай из-за его использования при применении леммы Накаямы. В частности, это означает, что если у нас есть алгебраический векторный пучок E → X над схемой или алгебраическим многообразием X, и мы фиксируем базис E|p для некоторой точки p ∈ X, то этот базис можно расширить до множества образующих для всех сечений E в некоторой окрестности U точки p. Если k – поле и R = k[[X1, ..., Xn]] – кольцо формальных степенных рядов, то J(R) состоит из тех степенных рядов, у которых постоянный член равен нулю, то есть степенных рядов в идеале (X1, ..., Xn). В случае артиновых колец, таких как C[t1, t2]/(t1⁴, t1²t2², t2⁴), радикал Якобсона равен (t1, t2). Предыдущий пример можно расширить на кольцо R = C[t2, t3, ...]/(t2², t3³,...), что дает J(R) = (t2, t3, ...). Радикал Якобсона кольца Z/12Z равен 6Z/12Z, который является пересечением максимальных идеалов 2Z/12Z и 3Z/12Z. Рассмотрим кольцо C[t] ⊗C C[x1, x2]_(x1² + x2² − 1), где подчеркивание обозначает локализацию C[x1, x2] по простому идеалу (x1² + x2² − 1). Тогда радикал Якобсона тривиален, поскольку максимальные идеалы порождаются элементом вида (t − z) ⊗ (x1² + x2² − 1) для z ∈ C.
If k is a field and 1=R = k[[X1, , Xn]] is a ring of formal power series, then J(R) consists of those power series whose constant term is zero, i. e. the power series in the ideal (X1, , Xn). In the case of an Artinian rings, such as C[t1, t2]/(t14, t12t22, t29), the Jacobson radical is (t1, t2). The previous example could be extended to the ring 1=R = C[t2, t3, ]/(t22, t33, ), giving 1=J(R) = (t2, t3, ). The Jacobson radical of the ring Z/12Z is 6Z/12Z, which is the intersection of the maximal ideals 2Z/12Z and 3Z/12Z. Consider the ring C[t] ⊗C C[x1, x2]x12+x22−1, where the second is the localization of C[x1, x2] by the prime ideal 1= = (x12 + x22 − 1). Then, the Jacobson radical is trivial because the maximal ideals are generated by an element of the form (t − z) ⊗ (x12 + x22 − 1) for z ∈ C.
Некоммутативные примеры
Кольца, для которых J(R) равно нулю, называются полупримитивными кольцами, или иногда "полупростыми кольцами Джейкобсона". Радикал Якобсона любого поля, любого регулярного кольца фон Неймана и любого левого или правого примитивного кольца равен нулю. Радикал Якобсона кольца целых чисел равен нулю. Если K – поле, а R – кольцо всех верхних треугольных матриц n x n с элементами из K, то J(R) состоит из всех верхних треугольных матриц с нулями на главной диагонали. Начнем с конечного ациклического графа Γ и поля K и рассмотрим алгебру графа KΓ (как описано в статье "Графы"). Радикал Якобсона этого кольца порождается всеми путями в Γ длиной ≥ 1. Радикал Якобсона C*-алгебры равен нулю. Это следует из теоремы Гельфанда — Наймарка и того факта, что для C*-алгебры топологически неприводимое *-представление на гильбертовом пространстве алгебраически неприводимо, так что его ядро является примитивным идеалом в чисто алгебраическом смысле (см. Спектр C*-алгебры).
Свойства
Если R – унитальное кольцо, не являющееся тривиальным, то радикал Джейкобсона всегда отличается от R, поскольку кольца с единицей всегда имеют максимальные правые идеалы. Однако некоторые важные теоремы и гипотезы в теории колец рассматривают случай, когда J(R) = R. Например, вопрос "Если R – нильпотентное кольцо (то есть каждый его элемент нильпотентен), то равен ли многочленное кольцо R[x] своему радикалу Джейкобсона?" эквивалентен открытой гипотезе Кёте. Для любого идеала I, содержащегося в J(R), выполняется J(R / I) = J(R) / I. В частности, радикал Джейкобсона кольца R / J(R) равен нулю. Кольца с нулевым радикалом Джейкобсона называются полупримитивными кольцами. Кольцо является полупростым тогда и только тогда, когда оно артинианское и его радикал Джейкобсона равен нулю. Если f : R → S – сюръективный гомоморфизм колец, то f(J(R)) ⊆ J(S). Если R – кольцо с единицей, а M – конечно порожденный левый R-модуль, такой что J(R)M = M, то M = 0 (лемма Накаямы). J(R) содержит все центральные нильпотентные элементы, но не содержит идемпотентных элементов, кроме 0. J(R) содержит каждый нильпотентный идеал R. Если R – левое или правое артинианское кольцо, то J(R) – нильпотентный идеал. Более того, если существует ряд композиции для правого R-модуля R (такой ряд гарантированно существует, если R – правое артинианское кольцо, и аналогичный левый ряд композиции существует, если R – левое артинианское кольцо), то (J(R))^k = 0. Однако следует отметить, что в общем случае радикал Джейкобсона не обязательно состоит только из нильпотентных элементов кольца. Если R – коммутативное и конечно порожденное как алгебра над полем или Z, то J(R) равен нильрадикалу R. Радикал Джейкобсона (унитального) кольца является его наибольшим избыточным правым (эквивалентно, левым) идеалом.
The Jacobson radical of a (unital) ring is its largest superfluous right (equivalently, left) ideal.