Кіріспе

Математикадағы жиын теориясының мүмкін аксиомасы – құрастырылатындық аксиомасы. Бұл математикадағы жиын теориясының мүмкін аксиомасы болып табылады, ол кез келген жиынның құрастырылатынын бекітеді. Аксиома әдетте V = L түрінде жазылады. Аксиоманы алғаш рет Курт Гёдель зерттеген, ол нөлдік өткірліктің бар екендігі және күштірек үлкен кардинал аксиомаларымен (үлкен кардинал қасиеттерінің тізімін қараңыз) үйлесімсіз. Осы аксиоманың жалпыламалары ішкі модельдер теориясында зерттеледі.

Салдары

Құрылыстылық аксиомасы таңдау аксиомасы (AC) жоқ Zermelo-Fraenkel жинақ теориясы (ZF) берілгенде, таңдау аксиомасын (AC) білдіреді. Сонымен қатар, ол таңдау аксиомасымен (ZFC) Zermelo-Fraenkel жинақ теориясынан тәуелсіз болатын көптеген табиғи математикалық сұрақтарды шешеді; мысалы, құрылыстылық аксиомасы жалпыланған континуум гипотезасын, Суслин гипотезасының жоқтығын және нақты сандардың аналитикалық (әрине, өлшенбейтін) жиынының бар екенін білдіреді, олардың барлығы ZFC-ден тәуелсіз. Құрылыстылық аксиомасы 0# немесе одан жоғары консистенттік күші бар үлкен кардиналдардың болмауын білдіреді, оның ішінде кейбір "салыстырмалы түрде кіші" үлкен кардиналдар бар. Мысалы, ω1 Эрдёс L-де болуы мүмкін емес. L үлкен кардиналдардың бастапқы ординалдарына ие болса (олар L-дің супермоделінде болғанда), және олар L-де бастапқы ординалдар болып қала берсе де, ол осы кардиналдарға үлкен кардиналдық қасиеттерін беретін қосымша құрылымдарды (мысалы, өлшемдерді) жояды. Құрылыстылық аксиомасы көптеген жинақ теориялық сұрақтарды шешкенімен, ол ZFC аксиомалары сияқты жинақ теориясы үшін аксиома ретінде кеңінен қабылдана бермейді. Реалистік көзқарастағы жинақ теорияшыларының көпшілігі, құрылыстылық аксиомасы дұрыс немесе жалған деп санайды, оның жалған екеніне сенеді. Бұл, бір жағынан, оның қажетсіз "шектеулі" болып көрінуіне байланысты, өйткені ол берілген жиынның тек белгілі бір кіші жиынтарына ғана рұқсат береді (мысалы, болуы мүмкін емес), және олардың барлығы осылар деп сенуге нақты себеп жоқ. Екінші жағынан, бұл аксиома жеткілікті күшті үлкен кардиналдық аксиомалармен қайшы келеді. Бұл көзқарас әсіресе Кабальмен немесе Сахарон Шела айтқандай "Калифорния мектебімен" байланысты.

Арифметикада

Әсіресе 1950-1970 жылдары екінші реттік арифметиканың ішкі жүйелері үшін құрастырылу аксиомасының аналогын формулирлеу бойынша зерттеулер жүргізілді. Мұндай аналогтарды зерттеуде бірнеше нәтиже ерекше көзге түседі:

Джон Аддисонның формуласы, егер және тек қана , яғни – құрастырылатын нақты сан. "Құрастырылу аксиомасының аналитикалық түрі" деп аталатын формула бар, ол жиындық теориядағы V=L аксиомасымен байланысты. Мысалы, жағдайлар қарастырылды, егер . Құрастырылу аксиомасын қабылдасақ (әрбір жиын құрастырыла алады деп тұжырымдайды), бұл ұсыныстар фон Нейман ғаламында да орындалады, жиындық теориядағы көптеген ұсыныстарды және талдаудағы қызықты мәселелерді шешеді.