Введение

Возможная аксиома теории множеств в математике

Аксиома конструктивности — это возможная аксиома теории множеств в математике, утверждающая, что каждое множество конструктивно. Аксиому обычно записывают как V = L. Эта аксиома, впервые исследованная Куртом Гёделем, несовместима с существованием нулевого резца и более сильными аксиомами больших кардиналов (см. список свойств больших кардиналов). Обобщения этой аксиомы изучаются в теории внутренних моделей.

Последствия

Аксиома конструктивности подразумевает аксиому выбора (AC), при условии теории множеств Зермело-Фрэнкеля без аксиомы выбора (ZF). Она также разрешает многие естественные математические вопросы, независимые от теории множеств Зермело-Фрэнкеля с аксиомой выбора (ZFC); например, аксиома конструктивности подразумевает обобщённую гипотезу континуума, отрицание гипотезы Суслина и существование аналитического (фактически, не измеримого) множества действительных чисел, все из которых независимы от ZFC. Аксиома конструктивности подразумевает несуществование больших кардиналов с силой согласованности, большей или равной 0#, что включает некоторые "относительно небольшие" большие кардиналы. Например, никакой кардинал не может быть ω1 Эрдёша в L. Хотя L содержит начальные ординалы этих больших кардиналов (когда они существуют в супермодели L), и они по-прежнему остаются начальными ординалами в L, он исключает вспомогательные структуры (например, меры), наделяющие эти кардиналы их свойствами больших кардиналов. Хотя аксиома конструктивности разрешает многие вопросы теории множеств, она обычно не принимается в качестве аксиомы теории множеств в той же степени, что и аксиомы ZFC. Среди теоретиков множеств реалистического склада, считающих, что аксиома конструктивности либо истинна, либо ложна, большинство полагает, что она ложна. Это отчасти связано с тем, что она кажется излишне "ограничительной", поскольку допускает лишь определённые подмножества данного множества (например, не может существовать), и нет ясных оснований полагать, что это все возможные подмножества. Отчасти это связано с тем, что аксиома противоречит достаточно сильным аксиомам больших кардиналов. Эта точка зрения особенно связана с Кабалой, или "калифорнийской школой", как её называет Сахарон Шела.

В арифметике

Особенно в период с 1950-х по 1970-е годы велись исследования по формулированию аналога аксиомы конструктивности для подсистем арифметики второго порядка. В изучении таких аналогов выделяются несколько результатов: формула Джона Аддисона, утверждающая, что ⇔ , то есть является конструктивным вещественным числом. Существует формула, известная как "аналитическая форма аксиомы конструктивности", которая связана с аксиомой теории множеств V=L. Например, были получены некоторые случаи, когда ⇔ . Принятие аксиомы конструктивности (которая утверждает, что каждое множество конструктивно) также обеспечивает справедливость этих утверждений во вселенной фон Неймана, разрешая множество вопросов в теории множеств и некоторые интересные вопросы в анализе.