Кіріспе
Математикалық қатарлар
Математикада, биномдық қатар – бұл биномдық формула өрнегінен, мысалы, үшін алынған полиномның жалпылауы, мұнда – теріс емес бүтін сан. Нақтырақ айтқанда, биномдық қатар – бұл функциясы үшін Маклорин қатары, мұндағы және . Ашық түрде келтіргенде:
мұндағы оң жағындағы қуат қатары (жалпыланған) биномдық коэффициенттер арқылы өрнектеледі.
Егер α – теріс емес бүтін сан болса, онда қатардағы және одан кейінгі барлық мүшелер 0-ге тең болады, себебі олардың әрқайсысында (n − n) көбейткіші бар. Осылайша, бұл жағдайда қатар шекті болып табылады және алгебралық биномдық формула береді.
Дәлел
(i) және (v) тұжырымдамаларын дәлелдеу үшін қатынас тестін қолданып, жоғарыдағы формула арқылы егер сандар оң сан немесе бүтін сан болмаса, радиус конвергенциясының дәл 1 екенін көрсетіңіз. (ii) бөлігі формуладан туындайды, p қатарымен салыстыру арқылы. (iii) тұжырымдамасын дәлелдеу үшін, ең алдымен формула қолданып мынаны алуға болады:
with To prove (iii), first use formula to obtain
and then use (ii) and formula again to prove convergence of the right hand side when is assumed. On the other hand, the series does not converge if and , again by formula Alternatively, we may observe that for all , Thus, by formula , for all This completes the proof of (iii). Turning to (iv), we use identity above with and in place of , along with formula , to obtain
as Assertion (iv) now follows from the asymptotic behavior of the sequence (Precisely,
certainly converges to if and diverges to if If , then converges if and only if the sequence converges , which is certainly true if but false if : in the latter case the sequence is dense , due to the fact that diverges and converges to zero).
және содан кейін (ii) мен формуласын қайтадан қолданып, егер деп есептесек, оң жақ бөлігінің конвергенциясын дәлелдеңіз. Екінші жағынан, егер және болса, тізбек формула бойынша конвергентті емес. Басқаша айтқанда, барлық үшін , демек, формула бойынша барлық үшін . Бұл (iii) тұжырымдамасын толықтырады. (iv) тұжырымдамасына келсек, , және оның орнына қолданып, жоғарыдағы сәйкестікті пайдаланамыз, сондай-ақ формула қолданамыз:
with To prove (iii), first use formula to obtain
and then use (ii) and formula again to prove convergence of the right hand side when is assumed. On the other hand, the series does not converge if and , again by formula Alternatively, we may observe that for all , Thus, by formula , for all This completes the proof of (iii). Turning to (iv), we use identity above with and in place of , along with formula , to obtain
as Assertion (iv) now follows from the asymptotic behavior of the sequence (Precisely,
certainly converges to if and diverges to if If , then converges if and only if the sequence converges , which is certainly true if but false if : in the latter case the sequence is dense , due to the fact that diverges and converges to zero).
Осылайша, (iv) тұжырымдамасы тізбектің асимптотикалық қасиеттерінен туындайды. (Нақтырақ айтқанда, егер және болса, тізбек сөзсіз конвергент болады, ал егер болса, тізбек дивергент болады. Егер болса, тізбек тек қана егер тізбек конвергент болса ғана конвергент болады, бұл сөзсіз егер болса, бірақ егер болса, онда тізбек тығыз болады, себебі тізбек дивергент, ал тізбек нөлге конвергент болады).
with To prove (iii), first use formula to obtain
and then use (ii) and formula again to prove convergence of the right hand side when is assumed. On the other hand, the series does not converge if and , again by formula Alternatively, we may observe that for all , Thus, by formula , for all This completes the proof of (iii). Turning to (iv), we use identity above with and in place of , along with formula , to obtain
as Assertion (iv) now follows from the asymptotic behavior of the sequence (Precisely,
certainly converges to if and diverges to if If , then converges if and only if the sequence converges , which is certainly true if but false if : in the latter case the sequence is dense , due to the fact that diverges and converges to zero).
Биномдық тізбектің қосындысы
Биномиалдық тізбектің қосындысын есептеудегі дәстүрлі аргумент мынадай: конвергенция шеңбері ішіндегі биномиалдық тізбекті мүшелеп дифференциалдап және формуланы қолдану арқылы, тізбектің қосындысы 1=(1 + x)u′(x) − αu(x) = 0 қарапайым дифференциалдық теңдеуін, 1=u(0) = 1 бастапқы шартымен шешетін аналитикалық функция болып табылады. Бұл мәселенің жалғыз шешімі 1=u(x) = (1 + x)^α функциясы. Шындығында, интегралдаушы факторға көбейту 1= (1 + x)^(-α-1) береді, сондықтан 1= (1 + x)^(-α)u(x) тұрақты шама болып табылады, ал бастапқы шарт оның 1-ге тең екенін көрсетеді. Яғни, 1=u(x) = (1 + x)^α биномиалдық тізбектің қосындысы болып табылады. Бұл теңдік Абель теоремасының салдарынан және (1 + x)^α функциясының үздіксіздігінен қатарлар түйіскенде де сақталады.
so the function 1= (1 + x)^(−α)u(x) is a constant, which the initial condition tells us is 1. That is, 1=u(x) = (1 + x)^(α) is the sum of the binomial series for
The equality extends to whenever the series converges, as a consequence of Abel's theorem and by continuity of (1 + x)^(α).
Тарих
Оң бүтін сан емес экспоненттер үшін биномиалдық қатарларға қатысты алғашқы нәтижелерді сэр Исаак Ньютон белгілі бір қисықтар астындағы аудандарды зерттеу барысында келтірді. Джон Уоллис бұл жұмысты 1=y = (1 − x^(2))^(m) түріндегі өрнектерді қарастыру арқылы дамытты, мұнда m – бөлшек сан. Ол (қазіргі заманғы терминдермен айтқанда) (−x^(2))^(k) коэффициенттерінің тізбегін алдыңғы коэффициентті (бүтін сан экспоненттеріндегідей) көбейту арқылы табуға болатынын анықтады, осылайша осы коэффициенттерге формула берді. Ол келесі мысалдарды нақты көрсетеді. Сондықтан биномдық қатар кейде Ньютонның биномдық теоремасы деп аталады. Ньютон ешқандай дәлел келтірмейді және қатардың мәнін нақты айтпайды. Кейін, 1826 жылы Нильс Хенрик Абель бұл мәселені Crelle's Journal журналында жарияланған мақаласында талқылады, әсіресе қатардың жуықталу (конвергенция) мәселелерін қарастырды.
The binomial series is therefore sometimes referred to as Newton's binomial theorem. Newton gives no proof and is not explicit about the nature of the series. Later, on 1826 Niels Henrik Abel discussed the subject in a paper published on Crelle's Journal, treating notably questions of convergence.