Введение
Математические ряды
В математике биномиальный ряд является обобщением многочлена, возникающего из биномиальной формулы вида для неотрицательного целого числа В частности, биномиальный ряд представляет собой ряд Маклорена для функции , где и Явно,
где степенной ряд в правой части выражен через (обобщенные) биномиальные коэффициенты.
Следует отметить, что если α является неотрицательным целым числом n, то член и все последующие члены в ряду равны 0, поскольку каждый из них содержит множитель (n − n). Таким образом, в этом случае ряд конечен и дает алгебраическую формулу бинома.
Доказательство
Для доказательства (i) и (v) примените критерий Даламбера и используйте приведенную выше формулу, чтобы показать, что, когда не является неотрицательным целым числом, радиус сходимости равен ровно 1. Часть (ii) следует из формулы, путем сравнения с p-рядом с . Чтобы доказать (iii), сначала используйте формулу для получения, а затем снова используйте (ii) и формулу, чтобы доказать сходимость правой части при заданном . С другой стороны, ряд не сходится, если и , опять же по формуле. Альтернативно, можно заметить, что для всех , следовательно, по формуле, для всех. Это завершает доказательство (iii). Переходя к (iv), используем тождество выше с и вместо , вместе с формулой, чтобы получить. Утверждение (iv) теперь следует из асимптотического поведения последовательности (а именно, последовательность определенно сходится к , если и расходится к , если. Если , то сходится тогда и только тогда, когда последовательность сходится, что, безусловно, верно, если, но неверно, если: в последнем случае последовательность всюду плотна, поскольку расходится, а сходится к нулю).
with To prove (iii), first use formula to obtain
and then use (ii) and formula again to prove convergence of the right hand side when is assumed. On the other hand, the series does not converge if and , again by formula Alternatively, we may observe that for all , Thus, by formula , for all This completes the proof of (iii). Turning to (iv), we use identity above with and in place of , along with formula , to obtain
as Assertion (iv) now follows from the asymptotic behavior of the sequence (Precisely,
certainly converges to if and diverges to if If , then converges if and only if the sequence converges , which is certainly true if but false if : in the latter case the sequence is dense , due to the fact that diverges and converges to zero).
Сумма биномиальных рядов
Обычный аргумент для вычисления суммы биномиального ряда выглядит следующим образом. Дифференцируя почленно биномиальный ряд внутри области сходимости и используя формулу, получаем, что сумма ряда является аналитической функцией, являющейся решением обыкновенного дифференциального уравнения 1 = (1 + x)u'(x) − αu(x) = 0 с начальным условием 1 = u(0) = 1. Единственным решением этой задачи является функция 1 = u(x) = (1 + x)^α. Действительно, умножение на интегрирующий множитель 1 = (1 + x)^(-α-1) дает
Таким образом, функция 1 = (1 + x)^(-α)u(x) является постоянной, и начальное условие сообщает нам, что эта постоянная равна 1. То есть, 1 = u(x) = (1 + x)^α является суммой биномиального ряда для. Это равенство справедливо всякий раз, когда ряд сходится, как следствие теоремы Абеля и непрерывности (1 + x)^α.
The equality extends to whenever the series converges, as a consequence of Abel's theorem and by continuity of (1 + x)^(α).
История
Первые результаты, касающиеся биномиальных рядов для показателей, отличных от положительных целых чисел, были получены сэром Исааком Ньютоном при исследовании площадей, заключенных под определенными кривыми. Джон Уоллис развил эту работу, рассматривая выражения вида 1=y = (1 − x^(2))^(m), где m – дробное число. Он обнаружил, что (в современной записи) последовательные коэффициенты ck при (−x^(2))^(k) можно найти, умножая предыдущий коэффициент на (как и в случае целых показателей), тем самым неявно приводя формулу для этих коэффициентов. Он явно приводит следующие случаи.
Поэтому биномиальный ряд иногда называют биномиальной теоремой Ньютона. Ньютон не приводит доказательств и не дает четкого определения природы ряда. Позднее, в 1826 году, Нильс Хенрик Абель обсудил эту тему в статье, опубликованной в журнале Crelle's Journal, в частности, рассматривая вопросы сходимости.