Геометрия тарихының даму жолы

Кіріспе

Геометрияның тарихи дамуы

Геометрия (грекше γεωμετρία; geo – "жер", metron – "өлшем") кеңістіктік қатынастарды зерттейтін білім саласы ретінде пайда болды. Геометрия – қазіргі заманға дейінгі математиканың екі саласының бірі, екіншісі – сандарды зерттеу (арифметика). Классикалық геометрия циркуль мен сызғыш арқылы жүргізілетін конструкцияларға бағытталған. Геометрияны математикалық дәлдік пен аксиоматикалық әдіс енгізген Евклид революциялық түрде өзгертті, бұл әдіс бүгінге дейін қолданылуда. Оның "Элементтер" атты еңбегі барлық уақыттағы ең ықпалды оқулық деп есептеледі және ол 20 ғасырдың ортасына дейін Батыста білімді адамдардың барлығына мәлім болды. Қазіргі заманда геометриялық ұғымдар жоғары деңгейде абстракцияға және күрделілікке жеткізілді, есептеулер мен абстрактілі алгебра әдістеріне талданды, сондықтан осы саланың көптеген қазіргі тармақтары ерте геометрияның тікелей ұрпақтары ретінде танылмайды. (Математика салалары мен алгебралық геометрияға қараңыз.)

Ерте геометрия

Геометрияның ең ерте жазбада қалған бастауларын ежелгі Инд өркениеті (Хараппа математикасына қараңыз) және ежелгі Вавилон (Вавилон математикасына қараңыз) сияқты ерте халықтарға дейін табуға болады, бұл шамамен б.з.д. 3000 жылға дейін соққан. Алғашқы геометрия – ұзындық, бұрыш, аудан және көлем туралы тәжірибелік жолмен ашылған принциптердің жиынтығы еді, олар геодезия, құрылыс, астрономия және түрлі қолөнер салаларындағы нақты қажеттіліктерді қанағаттандыру үшін дамытылды. Олардың арасында күрделі принциптер де кездеседі, ал қазіргі математик үшін оларды есептеу және алгебра қолданбастан шығару қиын болуы мүмкін. Мысалы, египеттіктер мен вавилондықтар Пифагордан 1500 жыл бұрын Пифагор теоремасының нұсқаларын білген, ал б.з.д. 800 жыл шамасындағы Үндістанның Сульба сутраларында теореманың алғашқы тұжырымдары келтірілген; египеттіктерде тікбұрышты пирамиданың қиық бөлігінің көлемін есептеу үшін дұрыс формула болған.

Вавилон геометриясы

Бабылдықтар аудандар мен көлемдерді өлшеудің жалпы ережелерін білген болуы мүмкін. Олар шеңбердің ұзындығын диаметрінің үш есесі деп өлшеген, ал ауданын шеңбер ұзындығының квадратының он екіден бір бөлігі деп есептеген, π саны 3 ретінде бағаланғанда бұл дұрыс болатын. Цилиндрдің көлемі негізі мен биіктігінің көбейтіндісі ретінде алынған, бірақ конус немесе төртбұрышты пирамиданың қиық бөлігінің көлемі биіктігі мен негіздерінің қосындысының жартысының көбейтіндісі ретінде дұрыс емес есептелген. Пифагор теоремасы да бабылдықтарға белгілі болған. Сонымен қатар, жақында табылған тақташада π саны 3 пен 1/8 ретінде қолданылған. Бабылдықтар "Вавилондық миля" деп аталатын қашықтықты өлшеу бірлігін де білген, ол бүгінгі шамамен жеті мильге тең болған. Бұл қашықтық өлшемі кейіннен Күннің қозғалысын өлшеу үшін қолданылатын уақыт милясына айналдырылып, уақытты білдірген. Жақындағы жаңа жаңалықтарға сәйкес, ежелгі бабылдықтар еуропалықтардан шамамен 1400 жыл бұрын астрономиялық геометрияны ашқан болуы мүмкін.

Ведалық Үндістан геометриясы

Үнді Веда дәуірінде геометрия дәстүрі болған, көбінесе күрделі құрбандық алтарьларын салуда көрініс тапқан. Бұл тақырыпқа арналған ертедегі үнді мәтіндері (б.з.д. I мыңжылдық) – «Сатапатха Брахмана» және «Шулба Сутралары». «Шулба Сутраларында» Пифагор теоремасы туралы әлемдегі ең ерте ауызша түсінік бар, бірақ ол ежелгі вавилондықтарға белгілі болған. «Тіктөртбұрыштың (шаршының) диагональ арқаны (акшаяя раджжу) екі қабырғасының (паршвамани) және көлденең (тирянмани) <арқандар> бөліп шығарады». Оларда Пифагор үштіктерінің тізімі бар, олар Диофанти теңдеулерінің ерекше жағдайлары болып табылады. Сондай-ақ, оларда шеңберді шаршылау және «шаршыны айналдыру» туралы мәлімдемелер бар (біз білетініміздей, бұл жуықтама). Баудхаяна Сулба Сутрасы, ең танымал және ең көне Сулба Сутрасы (б.з.д. VIII немесе VII ғасыр) қарапайым Пифагор үштіктерінің мысалдары келтіреді, мысалы: , , , , және квадраттың қабырғалары үшін Пифагор теоремасының тұжырымы: «Шаршының диагоналі бойынша созылған арқан бастапқы шаршының екі еселенген ауданына тең ауданды құрайды». «15 Пифагор үштігінен тұрады, оның ішінде (13500, 12709, 18541) – бұл түпкілікті үштік, бұл, әсіресе, бұл тақырыпта терең түсінік болғанын көрсетеді». Месопотамияда б.з.д. 1850 жылы осыған ұқсас жазбалар табылды. «Бұл тақташалар Сулба Сутраларынан бірнеше ғасыр бұрын жазылғандықтан, кейбір үштіктердің контекстін ескере отырып, Үндістанда да осындай түсінік болған деп күтуге болады». Дани былай дейді: «Сулба Сутраларының басты мақсаты алтарьлардың құрылысын және олардағы геометриялық принциптерді сипаттау болғандықтан, Пифагор үштіктерінің тақырыбы, егер ол жақсы түсінілген болса да, Сулба Сутраларында көрсетілмеген болуы мүмкін. Сулба Сутраларындағы үштіктердің пайда болуы архитектураға немесе басқа ұқсас қолданбалы салаға арналған кітапта кездесетін математикамен салыстыруға болады және ол сол кездегі тақырып бойынша жалпы білімге тікелей сәйкес келмейді. Өкінішке орай, сол замандағы басқа да көздер табылмағандықтан, бұл мәселені қанағаттанарлықтай шешу мүмкін емес». Оның математикаға қатысты көзқарастары үлкен әсер етті. Сондықтан математиктер геометрияда тек циркуль мен сызғыш қолдану керек деген пікірін қабылдады, себебі өлшеу құралдары – белгіленген сызғыш немесе транспортир, шебердің құралдары болғандықтан, ғалымға лайық емес. Бұл қағида циркуль мен сызғышпен салуға қатысты терең зерттеулерге және үш классикалық мәселеге әкелді: бұл құралдарды бұрышты үш бөлікке бөлу үшін, берілген кубтың көлемін екі есе арттыру үшін және берілген шеңберге тең ауданды шаршы салу үшін. Бұл салулардың мүмкін еместігін дәлелдеу, ақыры 19 ғасырда қол жеткізілді, және нақты сандар жүйесінің терең құрылымына қатысты маңызды принциптерге әкелді. Аристотель (б.з.д. 384 – 322), Платонның ең ұлы шәкірті, дедуктивті дәлелдеуде қолданылатын ойлау әдістері туралы трактат жазды (логиканы қараңыз), ол 19 ғасырға дейін айтарлықтай жақсарылмады.

The Indian Vedic period had a tradition of geometry, mostly expressed in the construction of elaborate altars. Early Indian texts (1st millennium BC) on this topic include the Satapatha Brahmana and the Śulba Sūtras. According to , the Śulba Sūtras contain "the earliest extant verbal expression of the Pythagorean Theorem in the world, although it had already been known to the Old Babylonians." The diagonal rope (akṣṇayā rajju) of an oblong (rectangle) produces both which the flank (pārśvamāni) and the horizontal (tiryaṇmānī) <ropes> produce separately." They contain lists of Pythagorean triples, which are particular cases of Diophantine equations. They also contain statements (that with hindsight we know to be approximate) about squaring the circle and "circling the square." The Baudhayana Sulba Sutra, the best known and oldest of the Sulba Sutras (dated to the 8th or 7th century BC) contains examples of simple Pythagorean triples, such as: , , , , and as well as a statement of the Pythagorean theorem for the sides of a square: "The rope which is stretched across the diagonal of a square produces an area double the size of the original square." "contains fifteen Pythagorean triples with quite large entries, including (13500, 12709, 18541) which is a primitive triple, indicating, in particular, that there was sophisticated understanding on the topic" in Mesopotamia in 1850 BC. "Since these tablets predate the Sulbasutras period by several centuries, taking into account the contextual appearance of some of the triples, it is reasonable to expect that similar understanding would have been there in India." Dani goes on to say:

<blockquote> "As the main objective of the Sulvasutras was to describe the constructions of altars and the geometric principles involved in them, the subject of Pythagorean triples, even if it had been well understood may still not have featured in the Sulvasutras. The occurrence of the triples in the Sulvasutras is comparable to mathematics that one may encounter in an introductory book on architecture or another similar applied area, and
would not correspond directly to the overall knowledge on the topic at that time. Since, unfortunately, no other contemporaneous sources have been found it may never be possible to settle this issue satisfactorily." Though he was not a mathematician himself, his views on mathematics had great influence. Mathematicians thus accepted his belief that geometry should use no tools but compass and straightedge – never measuring instruments such as a marked ruler or a protractor, because these were a workman's tools, not worthy of a scholar. This dictum led to a deep study of possible compass and straightedge constructions, and three classic construction problems: how to use these tools to trisect an angle, to construct a cube twice the volume of a given cube, and to construct a square equal in area to a given circle. The proofs of the impossibility of these constructions, finally achieved in the 19th century, led to important principles regarding the deep structure of the real number system. Aristotle (384 322 BC), Plato's greatest pupil, wrote a treatise on methods of reasoning used in deductive proofs (see Logic) which was not substantially improved upon until the 19th century.

Евклид

Евклид (б.з.д. 325 – 265), Александриялық, Платон құрған Академияның студенті болған, «Геометрия элементтері» деп аталатын 13 кітаптан (тараулардан) тұратын трактат жазды, онда ол геометрияны идеалдық аксиомалық формада ұсынды, бұл Евклид геометриясы деп белгілі болды. Бұл трактат грек математиктерінің сол кезде геометрия туралы білгендерінің толық жинағы емес; Евклидтің өзі геометрия бойынша тағы сегіз кітап жазған. Басқа деректерге сәйкес, Евклидтің геометрия бойынша алғашқы оқулығы емес, бірақ ол басқаларынан әлдеқайда артық болғандықтан, олар қолданыстан шығып, жоғалып кеткен. Оны Александрия университетіне Мысыр патшасы Птолемей I әкелді. «Элементтер» терминдердің анықтамаларымен, геометрияның негізгі принциптерімен (аксиомалар немесе постулаттар деп аталады) және жалпы сандық принциптермен (жалпы түсініктер деп аталады) басталады, олардан геометрияның барлық қалған бөлігі логикалық түрде туындайды. Төменде оның бес аксиомасы берілген, ағылшын тілінде оқуды жеңілдету үшін сәл өңделген. Кез келген екі нүктені түзу сызықпен қосуға болады. Кез келген шекті түзу сызықты түзу сызық бойымен ұзартуға болады. Кез келген орталықтан және радиустан шеңбер салуға болады. Барлық тік бұрыштар бір-біріне тең. Егер жазықтықтағы екі түзу сызықты басқа түзу сызық (қиғаш сызық деп аталады) кесіп өтетін болса, және екі сызық пен қиғаш сызықтың бір жағындағы ішкі бұрыштардың қосындысы екі тік бұрыштан кем болса, онда сол жағындағы екі түзу сызық ұзартылғанда қиылысады (бұл параллельдік постулаты деп те аталады). Қазір алгебра деп түсінілетін ұғымдар Евклидтің геометриялық алгебра деп аталатын әдісі арқылы геометриялық түрде көрсетілген.

Архимед

Архимед (б.з.д. 287 – 212 жж.), Сицилиядағы Сиракуза қаласы грек қала-мемлекеті болған кезде, эллиндік дәуірдің ең белгілі математиктерінің бірі болды. Ол гидростатикалық принципті (Архимед принципі деп аталады) қалыптастыруымен және геометрия саласындағы еңбектерімен, соның ішінде «Шеңберді өлшеу» және «Конустар мен сфералар туралы» еңбектерімен танымал. Оның «Суда жүзу туралы денелер» еңбегі гидростатика бойынша алғашқы белгілі еңбек болып табылады, және Архимед осы саланың негізін қалаушы ретінде танылады. Оның еңбектерінің Ренессанс кезеңінде жасалған аудармалары, соның ішінде ежелгі түсіндірмелері, 17 ғасырдың көрнекті математиктері, атап айтқанда Рене Декарт және Пьер де Ферма еңбектеріне зор әсер етті.

Архимедтен кейін

Архимедтен кейін эллиндік математика құлдырауға бет бұрды. Тағы да бірнеше шағын ғалымдар пайда болды, бірақ геометрияның алтын ғасыры аяқталды. Прокл (410-485 жж.), Евклидтің бірінші кітабына түсініктеме жазған, эллиндік геометрияның соңғы маңызды өкілдерінің бірі болды. Ол білікті геометр болғанмен, одан да маңыздысы, ол өзінен бұрынғы еңбектерге тамаша түсіндірмелер жасады. Осы еңбектердің көп бөлігі қазіргі заманға жеткен жоқ, және біз оларды тек оның түсіндірмелері арқылы білеміз. Грек қала-мемлекеттерін басып алған Рим Республикасы мен Империясы ұтымды инженерлерді тәрбиеледі, бірақ есімдері тарихқа енген математиктер болған жоқ. Александрияның Ұлы кітапханасы кейіннен өртенді. Тарихшылар арасында Александрия кітапханасы бірнеше құрылымдық зардаптарға ұшыраған деген пікір қалыптасуда, бірақ 4 ғасырдың соңында Александрияның язычничество храмдарының қирауы ең ауыр және соңғысы болған болуы мүмкін. Осы қирауға қатысты дәлелдер ең нақты және сенімді. Цезарьдің басып кіруі портоға жақын қоймада 40,000-70,000-ға жуық папирус шоғырларының жоғалуына себеп болған болуы мүмкін (Лучано Канфораның пікірінше, бұл кітапхана экспорт үшін жасаған көшірмелер болған), бірақ бұл кітапхананың немесе мұражайдың өзіне әсер етпегені мүмкін, себебі олардың кейінірек те болғанына жеткілікті дәлелдер бар. Азамат соғыстары, жаңа папирустарды сатып алуға және оларды сақтауға жұмсалатын қаржының азаюы, сондай-ақ діни емес салаға деген қызығушылықтың төмендеуі кітапханадағы материалдық қордың азаюына ықпал еткен болуы мүмкін, әсіресе 4 ғасырда. Серапеум 391 жылы Теофилмен қиратылған, ал мұражай мен кітапхана да осы науқанның құрбаны болған болуы мүмкін.

Классикалық үнді геометриясы

Бахшали қолжазбасында бірнеше геометриялық мәселелер бар (соның ішінде дұрыс емес қатты денелердің көлемі туралы мәселелер). Бахшали қолжазбасы "нөлді білдіретін нүктемен децималдық позициялық жүйені" қолданады. Ариабхатаның "Ариабхатия" (499) еңбегі аудандар мен көлемдерді есептеуді қамтиды. Брахмагупта 628 жылы өзінің астрономиялық еңбегі "Брахмасфутасиддхантаны" жазды. 66 санскрит шумағынан тұратын 12-тарау екі бөлімге бөлінді: "негізгі амалдар" (куб түбірін табу, бөлшектер, қатынас және пропорция, айырбас саудасы сияқты) және "қолданбалы математика" (қоспалар, математикалық тізбектер, жазық пішіндер, кірпіш қалау, ағаш кесу және астық жинау сияқты). Соңғы бөлімде ол циклдық төртбұрыштың диагональдары туралы әйгілі теоремасын тұжырымдады:

Парамешвара Намбудири циклдық төртбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы үшін алғашқы формуланы берген математик болды. Бұл формула кейде 350 жылдан кейін Люйльеге [1782] жатқызылады. Циклдық төртбұрыштың қабырғалары a, b, c және d болғанда, сырттай сызылған шеңбердің R радиусы:

Қытай геометриясы

Қытайда геометрияға қатысты алғашқы нақты еңбек (немесе ең көнесі) Мо Цзин, ерте философ Мозидің Мохист каноны болды (б.з.д. 470-390 жж.). Бұл кітапты оның ізбасарлары оның өлімінен кейін шамамен б.з.д. 330 жылы жазған. Евклидтің бірінші және үшінші анықтамалары мен Платонның «сызықтың басталуы» сияқты, Мо Цзин «нүкте сызықтың соңында немесе басында, бала туғанда басы ұсынылғандай болуы мүмкін. (Оның көрінбейтініне қатысты) оған теңдес ештеңе жоқ» деді. Демокриттің атомшыларына ұқсас, Мо Цзин нүктенің ең кішкентай бірлік екенін және оны екіге бөлуге болмайтынын, себебі «ешнәрсені» екіге бөлу мүмкін емес деп мәлімдеді. Бұл қағидалармен бірге кеңістік және шектелген кеңістік туралы да айтылған. Сондай-ақ, қалыңдығы жоқ жазықтықтар бір-біріне тие алмайтындықтан, үйіле алмайтындығы туралы факті де сипатталған. Кітапта шеңбердің, диаметрдің және радиустың анықтамалары, сонымен қатар көлемнің анықтамасы берілген. Қытайдағы Хан әулеті (б.з.д. 202 – б.з. 220 жж.) кезеңінде математика қайтадан гүлденді. Геометриялық прогрессияларды ұсынған ең көне қытайлық математикалық мәтіндердің бірі – Батыс Хан дәуірінде б.з.д. 186 жылы жазылған «Суань шу шу» еңбегі. Математик, өнертапқыш және астроном Чжан Хенг (78-139 жж.) математикалық мәселелерді шешу үшін геометриялық формулаларды қолданды. Пи (π) үшін жуық шамалар «Чжоу Ли» еңбегінде (б.з.д. 2 ғасырда құрастырылған) келтірілгенімен, пи үшін дәлірек формула жасауға бірінші болып тырысқан Чжан Хенг болды. Чжан Хенг пи-нің шамасын 730/232 (шамамен 3,1466) деп есептеген, бірақ шардың көлемін табу үшін 10-ның квадрат түбірін (шамамен 3,162) пайдаланып, пи-дің басқа формуласын қолданды. Цу Чонцзи (429-500 жж.) пи шамасының дәлдігін 3,1415926 және 3,1415927 аралығына дейін жетілдірді, 355⁄113 (密率, Милю, егжей-тегжейлі шамалау) және 22⁄7 (约率, Юэлю, жуық шамалау) басқа да маңызды шамалаулар болды. Француз математигі Франсискус Виетаның (1540-1603) пи формуласы, кейінгі еңбектермен салыстырғанда, Цудың шамалаулары арасында орташа мәнді құрады.

The first definitive work (or at least oldest existent) on geometry in China was the Mo Jing, the Mohist canon of the early philosopher Mozi (470 390 BC). It was compiled years after his death by his followers around the year 330 BC. Much like Euclid's first and third definitions and Plato's 'beginning of a line', the Mo Jing stated that "a point may stand at the end (of a line) or at its beginning like a head presentation in childbirth. (As to its invisibility) there is nothing similar to it." Similar to the atomists of Democritus, the Mo Jing stated that a point is the smallest unit, and cannot be cut in half, since 'nothing' cannot be halved. along with principles of space and bounded space. It also described the fact that planes without the quality of thickness cannot be piled up since they cannot mutually touch. The book provided definitions for circumference, diameter, and radius, along with the definition of volume. The Han Dynasty (202 BC 220 AD) period of China witnessed a new flourishing of mathematics. One of the oldest Chinese mathematical texts to present geometric progressions was the Suàn shù shū of 186 BC, during the Western Han era. The mathematician, inventor, and astronomer Zhang Heng (78 139 AD) used geometrical formulas to solve mathematical problems. Although rough estimates for pi (π) were given in the Zhou Li (compiled in the 2nd century BC), it was Zhang Heng who was the first to make a concerted effort at creating a more accurate formula for pi. Zhang Heng approximated pi as 730/232 (or approx 3.1466), although he used another formula of pi in finding a spherical volume, using the square root of 10 (or approx 3.162) instead. Zu Chongzhi (429 500 AD) improved the accuracy of the approximation of pi to between 3.1415926 and 3.1415927, with 355⁄113 (密率, Milü, detailed approximation) and 22⁄7 (约率, Yuelü, rough approximation) being the other notable approximation. In comparison to later works, the formula for pi given by the French mathematician Franciscus Vieta (1540 1603) fell halfway between Zu's approximations.

Қайта өрлеу дәуірі

Грек классикасының ортағасырлық Еуропаға 9-10 ғасырлардағы "Исламның алтын ғасыры" арқылы таралуы 10 ғасырда басталды және 12 ғасырдағы латын тіліндегі аудармаларда толыққанды аяқталды. Птолемейдің "Альмагестінің" бір көшірмесін Генрих Аристипп (1162 ж. қайтыс болған) Сицилияға әкелді, бұл императордың король Уильям I-ге (1154–1166 жылдары билеген) жасаған сыйы болды. Салернодағы анонимді студент Сицилияға сапар шегіп, Птолемейдің "Альмагестін" және Евклидтің бірнеше еңбектерін грек тілінен латын тіліне аударды. Сицилиялықтар көбінесе грек тілінен тікелей аударғанмен, грек мәтіндері қолжетімді болмаған жағдайда араб тілінен аударды. Палермолық Эвгений (1202 ж. қайтыс болған) Птолемейдің "Оптикасын" латын тіліне аударды, бұл жұмыста үш тілдің білімін пайдаланды. Евклидтің "Геометрия элементтерінде" кездесетін геометрияның қатаң дедуктивті әдістері қайтадан оқытылды, ал Евклид (евклидтік геометрия) және Хаям (алгебралық геометрия) стильдеріндегі геометрияның одан әрі дамуы жалғасты, нәтижесінде көптеген жаңа теоремалар мен тұжырымдар пайда болды, олардың көпшілігі терең және әдемі болды. Перспективаны бейнелеудегі жетістіктер 14-15 ғасырлардағы Ренессанс өнерінде көрінді, бұл ежелгі дәуірдегі жетістіктерден асып түсті. Кватроченто Ренессанс сәулетінде сәулеттік тәртіп ұғымдары зерттелді және ережелер жасалды. Бұған мысал ретінде Флоренциядағы Филиппо Брунеллескидің (1377–1446) Сан-Лоренцо базиликасын келтіруге болады. 1413 жылы Филиппо Брунеллески әртүрлі флоренциялық ғимараттардың контурларын айнаға бейнелеу арқылы қазіргі суретшілер қолданатын геометриялық перспектива әдісін көрсетті. Ұзақ өтпей Флоренция мен Италиядағы дерлік барлық суретшілер өз суреттерінде геометриялық перспективаны қолданды, оның ішінде Мазолино да Паникале және Донателло есімдері ерекше аталады. Мелоццо да Форли алғаш рет жоғарыдан төменге қарай қысқарту (римдік, Лоретодағы, Форлидегі және басқа да жерлерде) техникасын қолданды және осы үшін танымал болды. Перспектива тереңдікті көрсетудің ғана емес, картинаны құрастырудың жаңа тәсілі болды. Суреттер бірнеше суреттің қосындысы емес, біртұтас көрініс көрсете бастады. Флоренцияда перспективалық суреттердің жылдам таралуынан көрініп тұрғандай, Брунеллески перспективаның математикалық негізін түсінген (онымен бірге математик Тосканеллидің көмегімен), бірақ оны жарияламады. Он жылдардан кейін оның досы Леон Баттиста Альберти Евклид геометриясына негізделген суреттегі қашықтықты көрсетудің дұрыс әдістері туралы трактат жазды. Альберти сонымен қатар Падуа мектебінде және Альхазеннің "Оптикасын" зерттеген Биажио Пелакани да Парманың ықпалымен оптика ғылымын оқыды. Пьеро делла Франческа 1470 жылдары "De Prospectiva Pingendi" еңбегінде "Della Pittura" туралы толыққанды мәлімет берді. Альберти перспективаның жалпы негізін беріп, фигураларды жазықтықта шектеген болса, Делла Франческа оны кеңейтіп, сурет жазықтығының кез келген аймағындағы қатты денелерді қамтыды. Делла Франческа математикалық ұғымдарды түсіндіру үшін суреттелген фигураларды қолдануды енгізді, бұл оның трактатын Альбертидікінен түсінуді жеңілдетті. Делла Франческа Платондық қатты денелерді перспективада дәл бейнелеген алғашқы суретші болды. Перспектива біраз уақытқа дейін Флоренцияның иелігінде болды. Ян ван Эйк сияқты суретшілер, Лондонның "Арнольфини портретіндегі" сияқты суреттердегі конвергентті сызықтар үшін дәйекті құрылымды құра алмады, себебі Италиядағы теориялық жаңалықтардан хабарсыз болды. Алайда ол интерьерінде масштабты өзгерту арқылы өте нәзік әсерлерге қол жеткізді. Бірте-бірте, және өнер академияларының қозғалысы арқылы, итальяндық техникалар Еуропаның барлық суретшілерінің біліміне енді, ал кейіннен әлемнің басқа бөліктеріне де тарады. Бұл Ренессанс дәстүрлерінің кульминациясы сәулетші, геометр және оптик Жирар Десаргтың перспектива, оптика және проекциялық геометрия бойынша зерттеулерінде толыққанды синтездік түрін тапты. Леонардо да Винчидің "Витрув адамы" (шамамен 1490 жыл) - екі жағдайдағы адам бейнесі, қолдары мен аяқтары кең жайылып, шеңбер мен шаршыға сызылған. Сурет ежелгі римдік сәулетші Витрувийдің "Де Архитектура" еңбегінің ІІІ кітабында сипатталған идеалдық адам пропорциялары мен геометрия арасындағы байланысқа негізделген.

The transmission of the Greek Classics to medieval Europe via the Arabic literature of the 9th to 10th century "Islamic Golden Age" began in the 10th century and culminated in the Latin translations of the 12th century. A copy of Ptolemy's Almagest was brought back to Sicily by Henry Aristippus (d. 1162), as a gift from the Emperor to King William I (r. 1154–1166). An anonymous student at Salerno travelled to Sicily and translated the Almagest as well as several works by Euclid from Greek to Latin. Although the Sicilians generally translated directly from the Greek, when Greek texts were not available, they would translate from Arabic. Eugenius of Palermo (d. 1202) translated Ptolemy's Optics into Latin, drawing on his knowledge of all three languages in the task. The rigorous deductive methods of geometry found in Euclid's Elements of Geometry were relearned, and further development of geometry in the styles of both Euclid (Euclidean geometry) and Khayyam (algebraic geometry) continued, resulting in an abundance of new theorems and concepts, many of them very profound and elegant. Advances in the treatment of perspective were made in Renaissance art of the 14th to 15th century which went beyond what had been achieved in antiquity. In Renaissance architecture of the Quattrocento, concepts of architectural order were explored and rules were formulated. A prime example of is the Basilica di San Lorenzo in Florence by Filippo Brunelleschi (1377–1446). In c. 1413 Filippo Brunelleschi demonstrated the geometrical method of perspective, used today by artists, by painting the outlines of various Florentine buildings onto a mirror. Soon after, nearly every artist in Florence and in Italy used geometrical perspective in their paintings, notably Masolino da Panicale and Donatello. Melozzo da Forlì first used the technique of upward foreshortening (in Rome, Loreto, Forlì and others), and was celebrated for that. Not only was perspective a way of showing depth, it was also a new method of composing a painting. Paintings began to show a single, unified scene, rather than a combination of several. As shown by the quick proliferation of accurate perspective paintings in Florence, Brunelleschi likely understood (with help from his friend the mathematician Toscanelli), but did not publish, the mathematics behind perspective. Decades later, his friend Leon Battista Alberti wrote De pictura (1435/1436), a treatise on proper methods of showing distance in painting based on Euclidean geometry. Alberti was also trained in the science of optics through the school of Padua and under the influence of Biagio Pelacani da Parma who studied Alhazen's Optics. Piero della Francesca elaborated on Della Pittura in his De Prospectiva Pingendi in the 1470s. Alberti had limited himself to figures on the ground plane and giving an overall basis for perspective. Della Francesca fleshed it out, explicitly covering solids in any area of the picture plane. Della Francesca also started the now common practice of using illustrated figures to explain the mathematical concepts, making his treatise easier to understand than Alberti's. Della Francesca was also the first to accurately draw the Platonic solids as they would appear in perspective. Perspective remained, for a while, the domain of Florence. Jan van Eyck, among others, was unable to create a consistent structure for the converging lines in paintings, as in London's The Arnolfini Portrait, because he was unaware of the theoretical breakthrough just then occurring in Italy. However he achieved very subtle effects by manipulations of scale in his interiors. Gradually, and partly through the movement of academies of the arts, the Italian techniques became part of the training of artists across Europe, and later other parts of the world. The culmination of these Renaissance traditions finds its ultimate synthesis in the research of the architect, geometer, and optician Girard Desargues on perspective, optics and projective geometry. The Vitruvian Man by Leonardo da Vinci(c. 1490) depicts a man in two superimposed positions with his arms and legs apart and inscribed in a circle and square. The drawing is based on the correlations of ideal human proportions with geometry described by the ancient Roman architect Vitruvius in Book III of his treatise De Architectura.

XVII ғасыр

XVII ғасырдың басында геометрияда екі маңызды жаңалық болды. Бірінші және ең маңыздысы – Рене Декарт (1596–1650) және Пьер де Ферма (1601–1665) жасаған аналитикалық геометрия, яғни координаттар мен теңдеулерге негіделген геометрия. Бұл математикалық анализдің және физиканың нақты сандық ғылымының дамуы үшін қажетті алғышарт болды. Осы кезеңдегі екінші геометриялық жетістік – Жирар Десарг (1591–1661) жүргізген проективтік геометрияның жүйелі зерттеуі. Проективтік геометрия – өлшеусіз геометрияны зерттеу, яғни нүктелердің бір-бірімен қалай сәйкес келетінін зерттеу. Бұл салада б.з. алдындағы грек геометрлері, әсіресе Паппус (шамамен 340 ж.) ерте жұмыстар жасаған. Аталған саланың ең гүлденген кезеңі Жан Виктор Понселе (1788–1867) есімімен байланысты. XVII ғасырдың соңында математикалық анализді Исаак Ньютон (1642–1727) және Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) дерлік бір уақытта тәуелсіз түрде жасады. Бұл қазіргі талдау деп аталатын математиканың жаңа саласының бастауы болды. Геометрияның бір тармағы болмаса да, ол геометрияға қолданылады және бұрын шешілмей келген екі мәселені шешті: қисық сызықтарға жүргізілген жанамаларды табу және осы сызықтармен шектелген аудандарды анықтау. Анализдің әдістері бұл мәселелерді көбінесе қарапайым есептеулерге дейін төңкерді.

Евклидтік емес геометрия

Евклидтің бесінші постулатын, "Параллельдік постулат"ты оның алғашқы төрт постулатынан дәлелдеудің өте көне мәселесі ешқашан ұмытылмаған. Евклидтен кейін көп ұзамай басталған көптеген дәлелдеулер ұсынылды, бірақ кейінірек олардың барлығы кемшіліктері бар екені анықталды, себебі олар алғашқы төрт постулаттан дәлелденбеген кейбір қағидаларды қолданды. Омар Хаям да параллельдік постулатты дәлелдеуде сәтті болмағанмен, оның Евклидтің параллельдер теориясына жасаған сындық ескертпелері және Евклидтік емес геометриядағы фигуралардың қасиеттерін дәлелдеуі, Евклидтік емес геометрияның дамуына үлкен үлес қосты. 1700 жылға қарай, алғашқы төртеуден қандай нәрселерді дәлелдеуге болатыны және бесінші постулатты дәлелдеуге тырысудың қыңыр тұстары қандай екені туралы көп нәрсе ашылды. Сачери, Ламберт және Лежандр 18-шы ғасырда осы мәселе бойынша тамаша жұмыстар жасады, бірақ сәттілікке жете алмады. 19-шы ғасырдың басында Гаусс, Иоганн Боляй және Лобачевский әрқайсысы дербес түрде басқаша тәсіл қолданды. Параллельдік постулатты дәлелдеу мүмкін емес деген күдікке ие болған олар, осы постулат жалған болатын өзіне сәйкес геометрияны жасауға кірісті. Олар мұнда сәттілікке жетіп, алғашқы Евклидтік емес геометрияны құрды. 1854 жылға қарай, Гаустың шәкірті Бернхард Риман, барлық тегіс беттердің ішкі (өздігінен тұйықталған) геометриясын зерттеуде есептеу әдістерін қолданып, басқа Евклидтік емес геометрияны тапты. Риманның осы еңбегі кейін Эйнштейннің салыстырмалылық теориясының негізіне айналды. Евклидтік емес геометрияның Евклидтік геометрия сияқты өзіне сәйкес екенін математикалық тұрғыдан дәлелдеу қалып қойды, және бұл 1868 жылы Белтрами жасады. Осымен Евклидтік емес геометрия, Евклидтік геометриямен тең математикалық негізде орнатылды. Математикалық тұрғыдан әр түрлі геометриялық теориялардың мүмкін екені белгілі болғанмен, "Бұл теориялардың қайсысы біздің физикалық кеңістігіміз үшін дұрыс?" деген сұрақ туды. Математикалық зерттеулер бұл сұраққа математикалық емес, физикалық тәжірибелер арқылы жауап беру керектігін көрсетті, сондай-ақ тәжірибелер неге үлкен (жұлдызаралық, Жерге байланысты емес) қашықтықтарды қамтуы керектігін анықтады. Физикадағы салыстырмалылық теориясының дамуымен бұл сұрақ одан да күрделі болды.

The very old problem of proving Euclid's Fifth Postulate, the "Parallel Postulate", from his first four postulates had never been forgotten. Beginning not long after Euclid, many attempted demonstrations were given, but all were later found to be faulty, through allowing into the reasoning some principle which itself had not been proved from the first four postulates. Though Omar Khayyám was also unsuccessful in proving the parallel postulate, his criticisms of Euclid's theories of parallels and his proof of properties of figures in non Euclidean geometries contributed to the eventual development of non Euclidean geometry. By 1700 a great deal had been discovered about what can be proved from the first four, and what the pitfalls were in attempting to prove the fifth. Saccheri, Lambert, and Legendre each did excellent work on the problem in the 18th century, but still fell short of success. In the early 19th century, Gauss, Johann Bolyai, and Lobachevsky, each independently, took a different approach. Beginning to suspect that it was impossible to prove the Parallel Postulate, they set out to develop a self consistent geometry in which that postulate was false. In this they were successful, thus creating the first non Euclidean geometry. By 1854, Bernhard Riemann, a student of Gauss, had applied methods of calculus in a ground breaking study of the intrinsic (self contained) geometry of all smooth surfaces, and thereby found a different non Euclidean geometry. This work of Riemann later became fundamental for Einstein's theory of relativity. It remained to be proved mathematically that the non Euclidean geometry was just as self consistent as Euclidean geometry, and this was first accomplished by Beltrami in 1868. With this, non Euclidean geometry was established on an equal mathematical footing with Euclidean geometry. While it was now known that different geometric theories were mathematically possible, the question remained, "Which one of these theories is correct for our physical space?" The mathematical work revealed that this question must be answered by physical experimentation, not mathematical reasoning, and uncovered the reason why the experimentation must involve immense (interstellar, not earth bound) distances. With the development of relativity theory in physics, this question became vastly more complicated.

Математикалық қатаңдықты енгізу

Параллельдік постулатқа қатысты барлық жұмыстар геометрге логикалық ойлауын физикалық кеңістікті интуитивті түсінуден бөліп қарастырудың қаншалықты қиын екенін көрсетті, және одан да маңыздысы, мұны жасаудың өте қажеттігін аңғартты. Евклидтің ой-өрісін мұқият қарастыру нәтижесінде, оның логикасындағы кейбір кемшіліктер мен Евклид кейде сүйенген айтылмаған геометриялық қағидалар анықталды. Бұл сын, есептеу және анализдегі конвергенция және үздіксіздік сияқты шексіз процестердің мәніне байланысты туындаған дағдарысқа ұқсас болды. Геометрияда толыққанды және біз салатын суреттерге немесе кеңістік туралы интуициямызға ешқандай тәуелді емес, аксиомалардың жаңа жиынтығы қажет болды. Мұндай аксиомалар, қазір Хилберт аксиомалары деп белгілі, 1894 жылы Дэвид Хилберт өзінің «Геометрияның негіздері» (Grundlagen der Geometrie) диссертациясында ұсынды.

Анализ сайты немесе топология

18 ғасырдың ортасында математикалық ойлаудың белгілі бір қадамдары сан сызығында, екі және үш өлшемде ұқсас идеялар зерттелгенде қайталап келетіні байқалды. Сондықтан, ойлауды көбірек жалпылау үшін және содан кейін нақты жағдайларға қолдану үшін метрикалық кеңістіктің жалпы түсінігі құрылды. Осы есептеу және талдаумен байланысты зерттеу әдісі "анализ сайтус" деп, кейіннен "топология" деп аталды. Бұл саланың маңызды тақырыптары түзулік сияқты қасиеттерден гөрі жалпы фигуралардың қасиеттері, мысалы, байланыстылық және шекаралар болды. Ал ұзындық пен бұрыштың нақты теңдігі, Евклидтік және Евклидтік емес геометрияның негізгі назарында болған. Топология көп ұзамай геометрияның немесе талдаудың саласы емес, жеке және маңызды салаға айналды.

3 өлшемнен артық геометрия

XIX ғасырда Людвиг Шлефли евклидтік кеңістіктің жалпы түсінігін дамытты, евклидтік геометрияны үш өлшемнен асып, кеңейтті. Ол Платон денелерінің жоғары өлшемді барлық аналогтарын ашты, төртінші өлшемде дәл алты тұрақты дөңес политоп, ал жоғарырақ өлшемдерде үш бар екенін анықтады. 1878 жылы Уильям Кингдон Клиффорд Уильям Роуэн Гамильтонның кватерниондарын Герман Грассманның алгебрасымен біріктіре отырып, қазір геометриялық алгебра деп аталатын жаңа тәсілді ұсынды және осы жүйелердің, әсіресе төртінші өлшемдегі геометриялық мәнін ашты. Геометриялық алгебраның амалдары геометриялық нысандарды жаңа орындарға бейнелеу, айналдыру, жылжыту және түрлендіру эффектін береді.

ХХ ғасыр

Алгебралық геометрияның дамуы шекті өрістердегі қисықтар мен беттерді зерттеуді қамтыды, бұл Андре Вейл, Александр Гротендик және Жан-Пьер Серрдің еңбектерімен, сондай-ақ нақты немесе кешенді сандар арқылы көрсетілді. Шекті геометрия, тек шекті сандағы нүктелерді зерттейтін сала, кодтау теориясы және криптографияда қолданыс тапты. Компьютердің пайда болуымен, есептеу геометриясы немесе цифрлық геометрия сияқты жаңа ғылымдар геометриялық алгоритмдермен, геометриялық деректердің дискретті бейнелерімен және осы сияқты мәселелермен айналысады.