Тең қабырғалы үшбұрыштың теоремасы және оның дәлелі

Кіріспе

Тең қабырғалы үшбұрышқа қарсы жатқан бұрыштардың өзі тең екендігі туралы тұжырым. Геометрияда тең қабырғалы үшбұрышқа қарсы жатқан бұрыштардың тең екендігі туралы теорема "pons asinorum" ('/p//ɒ//n//z// /,/ae//s//ᵻ/'/n//ɔər//ə//m/ PONZ assiNORəm) деп аталады, латын тілінде "аздардың көпірі" немесе тең қабырғалы үшбұрыш теоремасы деп сипатталады. Бұл теорема Евклидтің "Элементтер" еңбегіндегі 1-кітаптың 5-теоремасы ретінде келтірілген. Оның кері тұжырымы да дұрыс: егер үшбұрыштың екі бұрышы тең болса, онда оларға қарсы жатқан қабырғалары да тең болады. "Pons asinorum" сонымен қатар сын ойлау қабілетін сынап бағалайтын мәселе немесе қиындық үшін метафора ретінде қолданылады, себебі "аздардың көпірі" қабілетті және қабілетсіз ойлаушыларды ажырата алады. Бұл мағынада алғаш рет 1645 жылы қолданылған.

Этимология

Pons asinorum атауына екі кең таралған түсінік бар, ең оңайы – қолданылған схема физикалық көпірге ұқсайтындығы. Бірақ, көбірек танымал түсіндірмесі – бұл «Элементтер» жинағында оқырманның интеллектына жасалған алғашқы нақты сынақ екендігі және одан кейінгі қиын теоремаларға «көпір» ретінде қызмет етеді. Орта ғасырларда теңбұрышты үшбұрыш теоремасын атау үшін Elefuga деген тағы бір термин қолданылған, Роджер Бэконның сөзіне сүйенсек, ол грек тілінен алынған elegia – «қасірет» және латын тілінен fuga – «қашу» деген сөздерден құралған, яғни «қасірет көргендердің қашуы». Бұл этимология күмәнді болғанымен, Чосер теореманы атау үшін «флемингтер» деген сөзді қолданғанда оған ұқсас мән берген. Pons asinorum атауы кейде Пифагор теоремасына да қолданылған. Гаусс бірде Эйлердің теңдестігін түсінудің де осыған ұқсас рөл атқара алатынын айтқан, ол адамның бірінші сыныпты математик бола алатынын көрсететін белгі ретінде қарастырылған.

Евклид пен Прокл

Евклидтің «көпір есегі» (pons asinorum) туралы мәлімдемесінде екінші қорытынды бар: егер үшбұрыштың тең қабырғалары негізден төмен созылса, онда созылымдар мен негіз арасындағы бұрыштар да тең болады. Евклидтің дәлелі осы созылымдарға көмекші сызықтар салуды қамтиды. Бірақ, Евклидтің түсіндірушісі Прокл атап өткендей, Евклид екінші қорытындыны ешқашан қолданбайды және оның дәлелін үшбұрыштың қабырғаларына көмекші сызықтар салу арқылы біршама жеңілдетуге болады, ал дәлелдеудің қалған бөлігі шамамен сол жолмен жүреді. Евклидтің теоремаға екінші қорытындыны қосу себебіне қатысты көптеген болжамдар мен пікірталастар болды, себебі ол дәлелді күрделендіреді. Прокл берген бір ықтимал түсіндірме – екінші қорытындыны Евклидтің барлық жағдайларды қамтымайтын кейінгі теоремаларының дәлелдеріне қарсылық ретінде пайдалануға болады. Дәлелдеу қазіргі кезде «қабырға-бұрыш-қабырға» (SAS) деп аталатынға, «Элементтердегі» алдыңғы теоремаға көп сүйенді, ол екі үшбұрыш берілген, олардың екі жұбы сәйкес қабырғалары және арасындағы бұрыштары сәйкес келсе, онда үшбұрыштар сәйкес келеді. Проклдің Евклидтің дәлелінің нұсқасы былай жалғасады: \ABC үшбұрышы AB \cong AC сәйкес қабырғалары бар теңқабырғалы үшбұрыш болсын. AB қабырғасының бойында кездейсоқ D нүктесін таңдап, содан кейін AC-де AD \cong AE сәйкес келетін келесін жасау үшін E нүктесін құрастырыңыз. BE, DC және DE көмекші сызық сегменттерін салыңыз. Қабырға-бұрыш-қабырға бойынша, \BAE \cong \CAD үшбұрыштары сәйкес келеді. Сондықтан \angle ABE \cong \angle ACD, \angle ADC \cong \angle AEB және BE \cong CD. Сәйкес келетін сызық сегменттерін алып тастау арқылы BD \cong CE. Бұл тағы бір сәйкес үшбұрыш жұбын құрайды, \DBE \cong \ECD үшбұрыштары, тағы да қабырға-бұрыш-қабырға бойынша. Сондықтан \angle BDE \cong \angle CED және \angle BED \cong \angle CDE. Сәйкес бұрыштарды алып тастау арқылы \angle BDC \cong \angle CEB. Соңында \BDC \cong \CEB үшбұрыштары үшінші рет қабырға-бұрыш-қабырға қолданылуымен сәйкес келеді. Сондықтан \angle CBD \cong \angle BCE, дәлелдеу керек болған нәрсе.

Euclid's statement of the pons asinorum includes a second conclusion that if the equal sides of the triangle are extended below the base, then the angles between the extensions and the base are also equal. Euclid's proof involves drawing auxiliary lines to these extensions. But, as Euclid's commentator Proclus points out, Euclid never uses the second conclusion and his proof can be simplified somewhat by drawing the auxiliary lines to the sides of the triangle instead, the rest of the proof proceeding in more or less the same way. There has been much speculation and debate as to why Euclid added the second conclusion to the theorem, given that it makes the proof more complicated. One plausible explanation, given by Proclus, is that the second conclusion can be used in possible objections to the proofs of later propositions where Euclid does not cover every case. The proof relies heavily on what is today called side angle side (SAS), the previous proposition in the Elements, which says that given two triangles for which two pairs of corresponding sides and their included angles are respectively congruent, then the triangles are congruent. Proclus' variation of Euclid's proof proceeds as follows: Let \triangle ABC be an isosceles triangle with congruent sides AB \cong AC. Pick an arbitrary point D along side AB and then construct point E on AC to make congruent segments AD \cong AE. Draw auxiliary line segments BE, DC, and DE. By side angle side, the triangles \triangle BAE \cong \triangle CAD. Therefore \angle ABE \cong \angle ACD, \angle ADC \cong \angle AEB, and BE \cong CD. By subtracting congruent line segments, BD \cong CE. This sets up another pair of congruent triangles, \triangle DBE \cong \triangle ECD, again by side angle side. Therefore \angle BDE \cong \angle CED and \angle BED \cong \angle CDE. By subtracting congruent angles, \angle BDC \cong \angle CEB. Finally \triangle BDC \cong \triangle CEB by a third application of side angle side. Therefore \angle CBD \cong \angle BCE, which was to be proved.

Паппус

Прокл Александриялық Паппусқа есіртілген әлдеқайда қысқа дәлел келтіреді. Бұл ғана емес, қарапайым, сонымен қатар қосымша құрылымды қажет етпейді. Дәлелдеу әдісі – үшбұрышқа және оның көшірмесіне қабырға-бұрыш-қабырға теоремасын қолдану. Көбінесе заманауи авторлар бұрынғы теореманың дәлелдеу әдісін үлгі етіп алып, бұл үшбұрышты алып, кері бұрып, өзінің үстіне қою деп сипаттайды. Дәлел келесідей: ABC теңқабырғалы үшбұрыш болсын, мұнда AB және AC тең қабырғалар. ABC және ACB үшбұрыштарын қарастырайық, мұнда ACB екінші үшбұрыш болып саналады, оның төбелері A, C және B сәйкесінше түпнұсқа үшбұрыштағы A, B және C төбелерімен сәйкес келеді. AB = AC және AC = AB, демек қабырға-бұрыш-қабырға теоремасы бойынша ABC және ACB үшбұрыштары тең. Атап айтқанда, .

Басқалар

Стандартты оқулық әдісі – А нүктесінде бұрыштың биссектрисін салу. Бұл Евклидтің дәлеліне қарағанда оңайырақ, бірақ Евклид 9-шы теоремаға дейін бұрыш биссектрисін салуды ұсынбайды. Айналмалы ойлау мүмкіндігін болдырмау үшін Евклидтің теоремаларын ұсыну реті өзгертілуі керек. Дәлелдеу былай жүргізіледі: Бұрынғыдай, үшбұрышты ABC деп есептейік, онда AB = AC. AB = AC және AX өзіне тең. Сонымен қатар, , демек, қабырға-бұрыш-қабырға теоремасын қолданғанда BAX және CAX үшбұрыштары конгруэнтті болады. Осыдан B және C нүктелеріндегі бұрыштар тең екені шығады. Лежандр ұқсас салуды «Éléments de géométrie» еңбегінде қолданады, бірақ X нүктесін BC қабырғасының ортасы деп қабылдайды. Дәлел ұқсас, бірақ қабырға-бұрыш-қабырғаның орнына үш қабырға тең теоремасын қолдану керек, ал Евклид үш қабырға тең теоремасын «Элементтерде» кейінірек береді. 1876 жылы АҚШ Конгресінің мүшесі болған болашақ президент Джеймс А. Гарфилд трапеция арқылы дәлелдеуді жасады, ол «New England Journal of Education» журналында жарияланды. Математика тарихшысы Уильям Данхэм Гарфилдтің трапециялық жұмысының «шын мәнінде өте тапқыр дәлел» екенін жазды. Журналдың мәліметінше, Гарфилд бұл дәлелге «математикалық ойын-сауықтар мен конгресс мүшелерімен болған талқылаулар барысында» келген.

Ішкі өнім кеңістіктерінде

Теңбұрышты үшбұрыштың теоремасы нақты немесе кешенді сандардағы ішкі көбейтінді кеңістіктерінде қолданылады. Мұндай кеңістікте берілген x, y және z векторлары үшін, егер және болса, онда

, мұндағы θ – екі вектор арасындағы бұрыш. Осы ішкі көбейтінді кеңістігі түріндегі теореманың қорытындысы бұрыштардың теңдігі туралы мәлімдемемен эквивалентті.

Жасанды интеллект туралы миф

Математикалық фольклордың берік бөлігі, жасанды интеллект бағдарламасы осы теореманың жаңа және әдемі дәлелін тапты дегенді айтады. Шындығында, Марвин Мински, өзі білмейтін Паппустың дәлелін, механикалық теореманы дәлелдейтін құрылғы қалай жұмыс істейтінін модельдеу арқылы қайта ашқанын айтады.