Теорема равнобедренного треугольника: мост ослов и её история.

Введение

Утверждение о том, что углы, лежащие напротив равных сторон в равнобедренном треугольнике, равны между собой.

В геометрии теорема о том, что углы, лежащие напротив равных сторон равнобедренного треугольника, равны между собой, известна как *pons asinorum* (произносится как /ˈpɒnz æsɪˈnɔːrəm/), что в переводе с латыни означает «мост ослов», или, более описательно, теорема о равнобедренном треугольнике. Эта теорема представлена как предложение 5 в первой книге «Начал» Евклида. Обратное утверждение также верно: если два угла треугольника равны, то стороны, лежащие напротив этих углов, также равны. *Pons asinorum* также используется метафорически для обозначения задачи или вызова, служащего проверкой критического мышления, поскольку «мост ослов» способен отделять тех, кто способен рассуждать, от тех, кто не способен. Первое известное использование в этом значении датируется 1645 годом.

Этимология

Существует два распространенных объяснения названия "pons asinorum", самое простое из которых состоит в том, что используемая диаграмма напоминает настоящий мост. Однако более популярное объяснение заключается в том, что это первое настоящее испытание интеллекта читателя в "Началах" Евклида и служит "мостом" к более сложным теоремам, следующим далее. Другим средневековым названием теоремы об равнобедренном треугольнике было Elefuga, которое, по словам Роджера Бэкона, происходит от греческого слова "elegia" – "скорбь", и латинского "fuga" – "бегство", то есть "бегство несчастных". Хотя эта этимология сомнительна, она находит отклик в использовании Чосером выражения "flemyng of wreches" для обозначения этой теоремы. Название "pons asinorum" иногда применялось и к теореме Пифагора. Гаусс, по слухам, однажды предположил, что понимание тождества Эйлера может играть схожую роль, служа своеобразным критерием, определяющим, способен ли человек стать первоклассным математиком.

Евклид и Прокл

Формулировка Евклида теоремы о pons asinorum включает в себя второе заключение, что если равные стороны треугольника продолжить ниже основания, то углы между продолжениями и основанием также будут равны. Доказательство Евклида предполагает проведение вспомогательных линий к этим продолжениям. Однако, как отмечает комментатор Евклида Прокл, Евклид никогда не использует это второе заключение, и его доказательство можно несколько упростить, проведя вспомогательные линии к сторонам треугольника, а остальная часть доказательства будет идти примерно тем же путем. Существует множество предположений и споров о том, почему Евклид добавил второе заключение к теореме, учитывая, что это усложняет доказательство. Одно из правдоподобных объяснений, предложенное Проклом, заключается в том, что второе заключение может быть использовано при возможных возражениях к доказательствам более поздних предложений, где Евклид не рассматривает все случаи. Доказательство в значительной степени опирается на то, что сегодня называется признаком равенства треугольников по стороне, углу и стороне (СУС), который является предыдущим положением в «Началах», утверждающим, что если у двух треугольников две пары соответствующих сторон и заключенные между ними углы соответственно равны, то треугольники равны. Вариация доказательства Евклида, предложенная Проклом, выглядит следующим образом: Пусть \triangle ABC – равнобедренный треугольник с равными сторонами AB \cong AC. Выберем произвольную точку D на стороне AB, а затем построим точку E на AC так, чтобы отрезки AD \cong AE были равны. Проведем вспомогательные отрезки BE, DC и DE. По признаку СУС, треугольники \triangle BAE \cong \triangle CAD. Следовательно, \angle ABE \cong \angle ACD, \angle ADC \cong \angle AEB и BE \cong CD. Вычитая равные отрезки, получим BD \cong CE. Это создает еще одну пару равных треугольников, \triangle DBE \cong \triangle ECD, снова по признаку СУС. Следовательно, \angle BDE \cong \angle CED и \angle BED \cong \angle CDE. Вычитая равные углы, получим \angle BDC \cong \angle CEB. Наконец, \triangle BDC \cong \triangle CEB по третьему применению признака СУС. Следовательно, \angle CBD \cong \angle BCE, что и требовалось доказать.

Euclid's statement of the pons asinorum includes a second conclusion that if the equal sides of the triangle are extended below the base, then the angles between the extensions and the base are also equal. Euclid's proof involves drawing auxiliary lines to these extensions. But, as Euclid's commentator Proclus points out, Euclid never uses the second conclusion and his proof can be simplified somewhat by drawing the auxiliary lines to the sides of the triangle instead, the rest of the proof proceeding in more or less the same way. There has been much speculation and debate as to why Euclid added the second conclusion to the theorem, given that it makes the proof more complicated. One plausible explanation, given by Proclus, is that the second conclusion can be used in possible objections to the proofs of later propositions where Euclid does not cover every case. The proof relies heavily on what is today called side angle side (SAS), the previous proposition in the Elements, which says that given two triangles for which two pairs of corresponding sides and their included angles are respectively congruent, then the triangles are congruent. Proclus' variation of Euclid's proof proceeds as follows: Let \triangle ABC be an isosceles triangle with congruent sides AB \cong AC. Pick an arbitrary point D along side AB and then construct point E on AC to make congruent segments AD \cong AE. Draw auxiliary line segments BE, DC, and DE. By side angle side, the triangles \triangle BAE \cong \triangle CAD. Therefore \angle ABE \cong \angle ACD, \angle ADC \cong \angle AEB, and BE \cong CD. By subtracting congruent line segments, BD \cong CE. This sets up another pair of congruent triangles, \triangle DBE \cong \triangle ECD, again by side angle side. Therefore \angle BDE \cong \angle CED and \angle BED \cong \angle CDE. By subtracting congruent angles, \angle BDC \cong \angle CEB. Finally \triangle BDC \cong \triangle CEB by a third application of side angle side. Therefore \angle CBD \cong \angle BCE, which was to be proved.

Паппус

Прокл приводит гораздо более короткое доказательство, приписываемое Паппу Александрийскому. Оно не только проще, но и не требует никакого дополнительного построения. Метод доказательства заключается в применении признака равенства треугольников по стороне, углу и стороне к треугольнику и его зеркальному отражению. Более современные авторы, подражая методу доказательства, представленному для предыдущего утверждения, описывают это как поднятие треугольника, переворачивание его и совмещение с самим собой. Доказательство следующее: пусть ABC – равнобедренный треугольник, где AB и AC – равные стороны. Рассмотрим треугольники ABC и ACB, при этом треугольник ACB рассматривается как второй треугольник с вершинами A, C и B, соответствующими вершинам A, B и C исходного треугольника. Поскольку AB = AC и AC = AB, а угол BAC общий, то по признаку равенства треугольников по стороне, углу и стороне, треугольники ABC и ACB равны. В частности, .

Другие

Стандартный учебный метод заключается в построении биссектрисы угла при вершине A. Это проще доказательства Евклида, но Евклид не приводит построение биссектрисы угла до предложения 9. Следовательно, порядок изложения предложений Евклида пришлось бы изменить, чтобы избежать возможности круговых рассуждений. Доказательство строится следующим образом: как и ранее, пусть треугольник будет ABC, где AB = AC. Построим биссектрису угла и продолжим её до пересечения с BC в точке X. AB = AC и AX равен самому себе. Кроме того, , следовательно, по признаку равенства треугольников по стороне, углу и стороне, треугольник BAX и треугольник CAX равны. Отсюда следует, что углы при вершинах B и C равны. Лежандр использует аналогичную конструкцию в "Элементах геометрии", но берёт X за середину BC. Доказательство аналогично, но вместо признака по стороне, углу и стороне необходимо использовать признак по трём сторонам, а этот признак Евклид приводит в "Элементах" позже. В 1876 году, будучи членом Конгресса США, будущий президент Джеймс Гарфилд разработал доказательство с использованием трапеции, которое было опубликовано в журнале New England Journal of Education. Историк математики Уильям Данэм писал, что работа Гарфилда с трапецией была «действительно очень изящным доказательством». Согласно журналу, Гарфилд пришёл к этому доказательству «в ходе математических развлечений и обсуждений с другими членами Конгресса».

В внутренних помещениях для изделий

Теорема об равнобедренном треугольнике справедлива в пространствах с внутренним произведением над действительными или комплексными числами. В таких пространствах, для векторов x, y и z, теорема утверждает, что если и , то

Поскольку и , где θ – угол между двумя векторами, заключение этой формы теоремы для пространств с внутренним произведением эквивалентно утверждению о равенстве углов.

Миф о искусственном интеллекте

В математическом фольклоре существует устойчивое утверждение о том, что программа искусственного интеллекта обнаружила оригинальное и более изящное доказательство этой теоремы. Фактически, Марвин Мински рассказывает, что он заново открыл доказательство Паппуса (о котором он ранее не знал), смоделировав работу механического доказателя теорем.