Кіріспе
Өзін-өзі жалғастыратын оператордың меншікті мәндерінің квадрат түбірі Математикада, әсіресе функционалдық талдауда, Хилберт кеңістіктері мен арасында әрекет ететін компакт оператордың жеке мәндері, өзін-өзі жалғастыратын оператордың (қажетті түрде теріс емес) меншікті мәндерінің квадрат түбірі болып табылады (мұндағы – оператордың жалғастырылған түрі). Жеке мәндер – теріс емес нақты сандар, әдетте кему ретімен тізімделеді (σ1(T), σ2(T), ...). Ең үлкен жеке мән σ1(T) оператордың нормасына тең (Min-max теоремасын қараңыз). Егер T Евклид кеңістігінде әрекет етсе, онда жеке мәндерге қарапайым геометриялық түсіндіру бар: T-ның бірлік сфераның бейнесін қарастырыңыз; бұл эллипсоид, ал оның жартылай осьтерінің ұзындығы – T-ның жеке мәндері (суретте мысал келтірілген). Жеке мәндер – нормальды матрица A-ның меншікті мәндерінің абсолюттік мәндері, себебі спектрлік теореманы қолдану арқылы A-ны бірлік диагональдеуге болады. Сондықтан, <math display="inline">\sqrt{A^* A} = \sqrt{U \Lambda^* \Lambda U^*} = U \left
In mathematics, in particular functional analysis, the singular values of a compact operator acting between Hilbert spaces and , are the square roots of the (necessarily non negative) eigenvalues of the self adjoint operator (where denotes the adjoint of ). The singular values are non negative real numbers, usually listed in decreasing order (σ1(T), σ2(T), ). The largest singular value σ1(T) is equal to the operator norm of T (see Min max theorem). If T acts on Euclidean space , there is a simple geometric interpretation for the singular values: Consider the image by of the unit sphere; this is an ellipsoid, and the lengths of its semi axes are the singular values of (the figure provides an example in ). The singular values are the absolute values of the eigenvalues of a normal matrix A, because the spectral theorem can be applied to obtain unitary diagonalization of as Therefore, <math display="inline">\sqrt{A^* A} = \sqrt{U \Lambda^* \Lambda U^*} = U \left
Гильберт кеңістігіндегі операторлар бойынша зерттелген көптеген нормалар жеке мәндерді пайдалана отырып анықталады. Мысалы, Ky Fan k нормасы – алғашқы k жеке мәннің қосындысы, із нормасы – барлық жеке мәндердің қосындысы, ал Schatten нормасы – жеке мәндердің p-дәрежелі қуаттарының қосындысының p-дәрежелі түбірі. Әрбір норма тек операторлардың белгілі бір класы үшін ғана анықталады, сондықтан жеке мәндер әртүрлі операторларды жіктеуде пайдалы болуы мүмкін. Шектелген өлшемді жағдайда, матрицаны әрқашан мынадай түрде жіктеуге болады: , мұндағы және – бірлік матрицалар, ал – тікбұрышты диагональдық матрица, оның диагоналінде жеке мәндер орналасқан. Бұл – жеке мәннің жіктелуі.
Бірыңғай мәндер бойынша теңсіздіктер
Сондай-ақ қараңыз.
Тарих
Бұл ұғымды 1907 жылы Эрхард Шмидт енгізді. Шмидт сол кезде жеке мәндерді "eigenvalues" деп атаған. "Сингулярлық құндылық" атауын алғаш рет Смит 1937 жылы айтқан. 1957 жылы Аллавердиев n-ші жеке санның келесі сипаттамасын дәлелдеді: Бұл тұжырымдама жеке мәндер ұғымын Банах кеңістігіндегі операторларға кеңейтуге мүмкіндік берді. Атап айтқанда, s сандарының көбірек жалпылама түсінігі бар, оған Гельфанд және Колмогоров ені де кіреді.
This formulation made it possible to extend the notion of singular values to operators in Banach space. Note that there is a more general concept of s numbers, which also includes Gelfand and Kolmogorov width.