Введение
Корни квадратные собственных значений самосопряжённого оператора.
В математике, в частности в функциональном анализе, сингулярные значения компактного оператора, действующего между пространствами Гильберта и , являются корнями квадратными (неотрицательными) собственных значений самосопряжённого оператора (где обозначает сопряжённый оператор). Сингулярные значения – это неотрицательные действительные числа, обычно перечисленные в убывающем порядке (σ1(T), σ2(T), …). Наибольшее сингулярное значение σ1(T) равно операторной норме T (см. теорему Мин-Макс). Если T действует на евклидово пространство , существует простая геометрическая интерпретация для сингулярных значений: рассмотрим образ единичной сферы под действием T; это эллипсоид, и длины его полуосей являются сингулярными значениями T (на рисунке приведен пример в ). Сингулярные значения являются абсолютными значениями собственных значений нормальной матрицы A, поскольку к ней можно применить спектральную теорему для получения унитарной диагонализации A, то есть Поэтому, <math display="inline">\sqrt{A^* A} = \sqrt{U \Lambda^* \Lambda U^*} = U \left
In mathematics, in particular functional analysis, the singular values of a compact operator acting between Hilbert spaces and , are the square roots of the (necessarily non negative) eigenvalues of the self adjoint operator (where denotes the adjoint of ). The singular values are non negative real numbers, usually listed in decreasing order (σ1(T), σ2(T), ). The largest singular value σ1(T) is equal to the operator norm of T (see Min max theorem). If T acts on Euclidean space , there is a simple geometric interpretation for the singular values: Consider the image by of the unit sphere; this is an ellipsoid, and the lengths of its semi axes are the singular values of (the figure provides an example in ). The singular values are the absolute values of the eigenvalues of a normal matrix A, because the spectral theorem can be applied to obtain unitary diagonalization of as Therefore, <math display="inline">\sqrt{A^* A} = \sqrt{U \Lambda^* \Lambda U^*} = U \left
Большинство изучаемых норм операторов в гильбертовом пространстве определяются с использованием сингулярных значений. Например, норма Ky Fan k – это сумма первых k сингулярных значений, норма следа – это сумма всех сингулярных значений, а норма Шаттена – это p-й корень из суммы p-х степеней сингулярных значений. Следует отметить, что каждая норма определена только для особого класса операторов, поэтому сингулярные значения могут быть полезны для классификации различных операторов. В конечномерном случае матрицу всегда можно разложить в виде , где и – унитарные матрицы, а – прямоугольная диагональная матрица с сингулярными значениями на диагонали. Это сингулярное разложение.
Неравенства относительно единичных значений
См. также.
История
Эта концепция была введена Эрхардом Шмидтом в 1907 году. Шмидт называл сингулярные значения "eigenvalues" в то время. Название "сингулярное значение" впервые упомянул Смитхис в 1937 году. В 1957 году Аллахвердиев доказал следующую характеристику n-го сингулярного числа: эта формулировка позволила расширить понятие сингулярных значений до операторов в пространстве Банаха. Следует отметить, что существует более общее понятие s-чисел, которое также включает ширину Гельфанд и Колмогорова.
This formulation made it possible to extend the notion of singular values to operators in Banach space. Note that there is a more general concept of s numbers, which also includes Gelfand and Kolmogorov width.