Кіріспе
Матрицалардағы математикалық операция – симметриялық топтардың бейнелеуі бойынша Кронекер көбейтіндісі. Математикада Кронекер көбейтіндісі, кейде ⊗ символымен белгіленеді, кез келген өлшемдегі екі матрицаға қолданылатын операция болып табылады, нәтижесінде блок-матрица пайда болады. Бұл тензор көбейтіндісінің (сол символмен белгіленеді) векторлардан матрицаларға түсірілген арнайы жағдайы және стандартты базис таңдау бойынша тензор көбейтіндісінің сызықтық операторының матрицасын береді. Кронекер көбейтіндісін әдеттегі матрица көбейтуден ажырату қажет, себебі ол мүлдем басқа операция. Кронекер көбейтіндісі кейде матрицаның тікелей көбейтіндісі деп те аталады. Кронекер көбейтіндісі неміс математигі Леопольд Кронекердің (1823–1891) есімімен аталады, бірақ оны алғаш анықтап, қолданғанына дәлелдер аз. Кронекер көбейтіндісі 1858 жылы осы матрицалық операцияны сипаттаған Георг Зеффус атымен Зеффус матрицасы және Зеффус көбейтіндісі деп те аталады, бірақ қазіргі уақытта Кронекер көбейтіндісі ең көп қолданылатын термин. Кронекерге емес, Зеффусқа қатысты қателік Керт Хенселге байланысты.
the Kronecker product of representations of symmetric groups
In mathematics, the Kronecker product, sometimes denoted by ⊗, is an operation on two matrices of arbitrary size resulting in a block matrix. It is a specialization of the tensor product (which is denoted by the same symbol) from vectors to matrices and gives the matrix of the tensor product linear map with respect to a standard choice of basis. The Kronecker product is to be distinguished from the usual matrix multiplication, which is an entirely different operation. The Kronecker product is also sometimes called matrix direct product. The Kronecker product is named after the German mathematician Leopold Kronecker (1823–1891), even though there is little evidence that he was the first to define and use it. The Kronecker product has also been called the Zehfuss matrix, and the Zehfuss product, after Georg Zehfuss, who in 1858 described this matrix operation, but Kronecker product is currently the most widely used term. The misattribution to Kronecker rather than Zehfuss was due to Kurt Hensel.
Қолданбалар
Бұл формуланың қолданылу мысалын Ляпунов теңдеуі туралы мақалада қараңыз. Бұл формула матрицалық қалыпты таралымның көпөлшемді қалыпты таралымның ерекше жағдайы екенін көрсетуге де көмектеседі. Бұл формула 2D кескіндерді өңдеу операцияларын матрицалық векторлық түрде бейнелеу үшін де пайдалы. Мысалы, матрицаны Кронекер көбейтіндісі түрінде жіктеуге болады, онда матрицалық көбейтуді жоғарыдағы формула арқылы жылдамдатуға болады. Бұл рекурсивті түрде қолданылуы мүмкін, мысалы, 2 радикстік ЖЖТ (FFT) және жылдам Уолш-Адамар түрлендіруінде қолданылғандай. Белгілі матрицаны екі кіші матрицаның Кронекер көбейтіндісіне бөлу мәселесі "ең жақын Кронекер көбейтіндісі" деп аталады және оны жекеше мәндерді ыдырату (SVD) арқылы нақты шешуге болады. Матрицаны екіден астам матрицаның Кронекер көбейтіндісіне оптималды түрде бөлу қиын мәселе болып табылады және осы мәселе бойынша зерттеулер жалғасуда; кейбір авторлар оны тензорлық ыдырау мәселесі ретінде қарастырады. Кронекер көбейтіндісі ең кіші квадраттар әдісімен бірге қол-көз калибрлеу мәселесіне дәл шешім табу үшін қолданылуы мүмкін.
Тіркелген матрицалық операциялар
Екі байланысты матрицалық операция — Трейси-Сингх және Хатри-Рао көбейтінділері, олар бөлінген матрицалармен жұмыс жасайды. А матрицасын m × n өлшемді, Aij блоктарына, ал В матрицасын p × q өлшемді, Bkl блоктарына бөлейік, онда әрине 1=Σi mi = m, 1=Σj nj = n, 1=Σk pk = p және .