Введение
Математическая операция над матрицами
произведение Кронекера представлений симметричных групп
В математике произведение Кронекера, иногда обозначаемое как ⊗, — это операция над двумя матрицами произвольного размера, результатом которой является блочная матрица. Это специализация тензорного произведения (обозначаемого тем же символом) от векторов к матрицам, дающая матрицу тензорного произведения линейного отображения относительно стандартного выбора базиса. Произведение Кронекера следует отличать от обычного умножения матриц, которое является совершенно иной операцией. Произведение Кронекера также иногда называют прямым произведением матриц. Произведение Кронекера названо в честь немецкого математика Леопольда Кронекера (1823–1891), хотя мало что свидетельствует о том, что он был первым, кто его определил и использовал. Произведение Кронекера также называют матрицей Зеффуса и произведением Зеффуса в честь Георга Зеффуса, который в 1858 году описал эту матричную операцию, однако в настоящее время наиболее широко используется термин «произведение Кронекера». Неверное приписывание Кронекеру, а не Зеффусу, связано с Куртом Хенселем.
the Kronecker product of representations of symmetric groups
In mathematics, the Kronecker product, sometimes denoted by ⊗, is an operation on two matrices of arbitrary size resulting in a block matrix. It is a specialization of the tensor product (which is denoted by the same symbol) from vectors to matrices and gives the matrix of the tensor product linear map with respect to a standard choice of basis. The Kronecker product is to be distinguished from the usual matrix multiplication, which is an entirely different operation. The Kronecker product is also sometimes called matrix direct product. The Kronecker product is named after the German mathematician Leopold Kronecker (1823–1891), even though there is little evidence that he was the first to define and use it. The Kronecker product has also been called the Zehfuss matrix, and the Zehfuss product, after Georg Zehfuss, who in 1858 described this matrix operation, but Kronecker product is currently the most widely used term. The misattribution to Kronecker rather than Zehfuss was due to Kurt Hensel.
Приложения
Пример применения этой формулы можно найти в статье об уравнении Ляпунова. Эта формула также полезна для демонстрации того, что матричное нормальное распределение является частным случаем многомерного нормального распределения. Она также удобна для представления операций обработки двумерных изображений в матрично-векторном виде. Другой пример – когда матрицу можно разложить на произведение Кронекера, тогда матричное умножение можно выполнить быстрее, используя указанную формулу. Это можно применять рекурсивно, как в быстром преобразовании Фурье с радиксом 2 (FFT) и быстром преобразовании Уолша — Адамара. Задача нахождения произведения Кронекера двух меньших матриц, наиболее близкого к заданной матрице, известна как задача "наиболее близкого произведения Кронекера" и может быть решена точно с помощью сингулярного разложения (SVD). Разложение матрицы на произведение Кронекера более чем двух матриц оптимальным образом – сложная задача, являющаяся предметом текущих исследований; некоторые авторы рассматривают её как задачу разложения тензоров. В сочетании с методом наименьших квадратов, произведение Кронекера может быть использовано для точного решения задачи калибровки "рука-глаз".
Связанные операции матрицы
Две связанные матричные операции — это произведения Трейси — Сингха и Хатри — Рао, которые оперируют с матрицами, разбитыми на блоки. Пусть матрица A размера m × n разбита на блоки Aij размером mi × nj, а матрица B размера p × q — на блоки Bkl, причем, очевидно, 1 = Σi mi = m, 1 = Σj nj = n, 1 = Σk pk = p и .