Қаржылық экономикада рационалды бағалау принципі

Кіріспе

Қаржы экономикасындағы болжам

Рационалды баға белгілеу – қаржы экономикасындағы активтер бағасы, демек активтер бағасын анықтау модельдері, активтің арбитражсыз бағасын көрсетеді, себебі осы бағадан кез келген ауытқу "арбитраж арқылы жойылады". Бұл болжам, әсіресе облигациялар сияқты белгілі бір кіріс әкелетін бағалы қағаздарға баға белгілеуде пайдалы, сондай-ақ туынды құралдардың бағасын анықтауда маңызды рөл атқарады.

Төрелік механизмдер

Арбитраж – екі (немесе одан да көп) нарық арасындағы тепе-теңдіксіздіктен пайда табу амалы. Егер бұл айырмашылықты пайдалануға болады болса (яғни, транзакциялық, сақтау, тасымалдау шығындары, дивидендтер сияқты факторларды ескергеннен кейін), арбитражер екі нарықта бір уақытта сатып алып, сату арқылы тәуекелсіз пайданы "қамтамасыз ете" алады. Жалпы алғанда, арбитраж "бір баға заңының" орындалуын қамтамасыз етеді; сонымен қатар, арбитраж бірдей ақша ағындары бар активтердің бағаларын теңестіреді және белгілі болашақ ақша ағындары бар активтердің бағасын анықтайды.

Табыс қисығын модельдеу

Жоғарыда сипатталған логикаға сәйкес, рационалды баға белгілеу принципі пайыздық мөлшерлемені модельдеуге де жалпылай қолданылады. Мұнда, кірістілік қисықтарының барлығы жеке құралдардың бағаларына қатысты арбитражсыз болуы керек. Егер олай болмаса, қисықтан шығарылған ZCB-лер нарықта тіркелген облигация бағаларынан, мысалы, өзгеше болып шығып, арбитраж мүмкіндігін тудырады. Сондықтан инвестициялық банктер және басқа да нарық жасаушылар "қисықты талдауға" (curve stripping) көп көшкен ақша жұмсайды. Қолданылатын әдістер туралы Bootstrapping (қаржы) және Multi curve framework-ке, ал одан әрі талқылау үшін Model risk-ке жүгініңіз.

Бағалау туындылары

Деривативтер – бір активті екі нарықта – спот нарығында және деривативтер нарығында сатып алуға және сатуға мүмкіндік беретін құрал. Математикалық қаржы екі нарық арасындағы кез келген арақашықтық арбитраж арқылы жойылады деп есептейді. Сондықтан, дұрыс бағаланған дериватив келісімшартында деривативтің бағасы, орындау бағасы (немесе эталондық көрсеткіш) және спот бағасы арбитраж мүмкіндігін болдырмайтын қатынаста болады. Арбитражсыз бағалаудың негізгі теоремасына қараңыз.

Сваптар

Рационалды баға белгілеу своптың бағалау логикасын негіздейді. Мұнда екі қарсы тарап міндеттемелерді "свап" арқылы алмастырады, яғни шартты негізгі сомаға есептелген ақша ағындарын алмастырады, ал своптың құны – болашақ ақша ағындарының екі жиынтығының бір-бірінен алынған қазіргі құны (PV) болып табылады. Арбитражсыз болу үшін своп шартының талаптары бастапқыда осы болашақ ақша ағындарының таза қазіргі құны нөлге тең болуы керек; қараңыз. Сауда жасалғаннан кейін, своптар да рационалды баға белгілеуді қолдану арқылы бағалануы тиіс. Төмендегі мысалдар пайыздық своптарға арналған және олар таза рационалды баға белгілеуді көрсетеді, себебі оларда несиелік тәуекел жоқ, бірақ бұл принцип кез келген түрдегі свопқа қолданылады.

Кейінгі бағалау

Пайыздық своптың өзгермелі аяғы форвардтық ставкалық келісімдер тізбесіне "таратылуы" мүмкін. Мұнда, своптағы төлемдер FRA-мен бірдей болғандықтан, арбитражсыз бағалау жоғарыда айтылғандай қолданылады – яғни, осы аяқтың құны тиісті FRA-лардың құнына тең. Сол сияқты, своптың "тұрақты төлемді қабылдау" аяғын бірдей төлем кестесі бар облигациямен салыстыру арқылы бағалауға болады. (Бұған байланысты, олардың негізгі ақша ағындары бірдей болғандықтан, облигациялық опциялар мен своп опциялары шамалас.) Толығырақ төменде қараңыз.

Опциялар

Жоғарыда айтылғандай, активтің болашақтағы құны белгілі (немесе күтілетін) болған жағдайда, осы құнды активтің бүгінгі рационалды бағасын анықтау үшін пайдалануға болады. Бірақ опциондық келісімшартта орындау негізгі активтің бағасына байланысты, сондықтан төлемді анықтау мүмкін емес. Сондықтан опция бағалау модельдері осы болашақ құнды «бекіту» немесе «шығару» логикасын қамтиды; екі тәсіл де бірдей нәтиже береді. Болашақ ақша ағындарын бекітетін әдістер арбитражсыз бағалауды, ал күтілетін құнды шығаратын әдістер тәуекелге бейтарап бағалауды қабылдайды. Мұны істеу үшін (ең қарапайым, бірақ кеңінен қолданылатын түрінде) екі тәсіл де негізгі активтің мінез-құлқы үшін «биномдық модельді» қолданады, ол тек екі күйге ғана мүмкіндік береді – өсу немесе төмендеу. Егер S – ағымдағы баға болса, келесі кезеңде баға S-қа өсуге немесе S-қа төмендеуге мүмкіндік алады. Мұнда акцияның өсу күйіндегі құны S × u, ал төмендеу күйіндегі құны S × d (мұнда u және d – d < 1 < u және d < 1 + r < u шартымен көбейтушілер; биномдық опциялар моделіне қараңыз). Осы екі күйді ескере отырып, «арбитражсыз» тәсіл екі күйде де бірдей құнға ие болатын позицияны құрайды – бір кезеңдегі ақша ағыны белгілі болады, сондықтан арбитраждық бағалау қолданылады. Тәуекелге бейтарап тәсіл екі соңғы түйіндегі ішкі құннан күтілетін опция құнын шығарады. Бұл логика Блэк-Шоулс формуласынан және биномдық опциялар моделіндегі тор тәсілінен қашық болғанымен, шындығында екі модельдің де негізі болып табылады; Блэк-Шоулс PDE-ге қараңыз. Негізгі активтің бағасының биномдық мінез-құлқы туралы болжам, бүгінгі (бағалау) мен орындау арасындағы уақыт кезеңдерінің саны артқан сайын және әрбір уақыт кезеңіне сәйкес келетін уақыт қысқарған сайын қорғалатын болады. Биномдық опциялар моделі дұрыс кодталған жағдайда, өте көп және қысқа уақыт кезеңдеріне мүмкіндік береді, ал Блэк-Шоулс үздік процесті модельдейді. Төмендегі мысалдарда негізгі актив ретінде акциялар келтірілген, бірақ оны басқа активтерге де қолдануға болады. Сату опциясының құнын төменде көрсетілгендей есептеуге болады немесе сату-сатып алу паритетін пайдаланып, сатып алу опциясының құнынан табуға болады.

As above, where the value of an asset in the future is known (or expected), this value can be used to determine the asset's rational price today. In an option contract, however, exercise is dependent on the price of the underlying, and hence payment is uncertain. Option pricing models therefore include logic that either "locks in" or "infers" this future value; both approaches deliver identical results. Methods that lock in future cash flows assume arbitrage free pricing, and those that infer expected value assume risk neutral valuation. To do this, (in their simplest, though widely used form) both approaches assume a "binomial model" for the behavior of the underlying instrument, which allows for only two states – up or down. If S is the current price, then in the next period the price will either be S up or S down. Here, the value of the share in the up state is S × u, and in the down state is S × d (where u and d are multipliers with d < 1 < u and assuming d < 1+r < u; see the binomial options model). Then, given these two states, the "arbitrage free" approach creates a position that has an identical value in either state – the cash flow in one period is therefore known, and arbitrage pricing is applicable. The risk neutral approach infers expected option value from the intrinsic values at the later two nodes. Although this logic appears far removed from the Black–Scholes formula and the lattice approach in the Binomial options model, it in fact underlies both models; see The Black–Scholes PDE. The assumption of binomial behaviour in the underlying price is defensible as the number of time steps between today (valuation) and exercise increases, and the period per time step is correspondingly short. The Binomial options model allows for a high number of very short time steps (if coded correctly), while Black–Scholes, in fact, models a continuous process. The examples below have shares as the underlying, but may be generalised to other instruments. The value of a put option can be derived as below, or may be found from the value of the call using put–call parity.

Арбитражсыз баға белгілеу

Бұл жерде болашақ төлем "дельта-хедждеу" немесе "көшірме портфель" тәсілі арқылы "бекітіледі". Жоғарыда айтылғандай, бұл төлем содан кейін жеңілдетіледі, ал нәтижесі бүгінгі күнгі опцияның құнын анықтау үшін пайдаланылады.

Тәуекел бейтараптығы болжамы

Жоғарыда айтылғандай, тәуекелге бейтарап формула негізгі активтің күтілетін немесе болжамды кірісіне, сондай-ақ оның шешілген ұдайы өзгергіштігіне (p) қатысты емес. Ол бағалардың нақты ықтималдық таралуына емес, тәуекелге бейтарап өлшемге байланысты. Дегенмен, арбитражсыз бағалау және тәуекелге бейтарап бағалау бірдей нәтижелер береді. Шындығында, "дельта-хедждеу" және "тәуекелге бейтарап бағалау" әртүрлі түрінде жазылған, бірақ бірдей формулаларды қолданатынын көрсетуге болады. Осы теңдестікті ескере отырып, туынды құралдарды бағалауда "тәуекелге бейтараптық" қабылдау қалыпты. Бұл қарым-қатынас арбитражсыз бағалаудың негізгі теоремасы арқылы формалды түрде сипатталады.