Кіріспе

Математикалық объект

Комбинаторикада абстрактілі қарапайым кешен (ASC), көбінесе абстрактілі кешен немесе жай ғана кешен деп аталады, – бұл кіші жиынды алу бойынша жабық жиындар жиынтығы, яғни жиынтықтағы кез келген жиынның кіші жиыны да сол жиынтықта болады. Бұл симплициалдық кешеннің геометриялық ұғымының таза комбинаторлық сипаттамасы. Мысалы, 2 өлшемді симплициалдық кешенде жиынтықтағы жиындар үшбұрыштар (3 элементтен тұратын жиындар), олардың қабырғалары (2 элементтен тұратын жиындар) және олардың төбелері (1 элементтен тұратын жиындар) болып табылады. Матроидтар және ашкөз матриоидтар контекстінде абстрактілі қарапайым кешендер тәуелсіздік жүйелері деп те аталады. Абстрактілі симплекс оның Стенли-Райснер сақинасын құру арқылы алгебралық тұрғыдан зерттелуі мүмкін; бұл комбинаторика мен коммутативтік алгебра арасындағы берік байланысты орнатады.

Қарапайым карталар

Δ және Γ екі абстрактілік симплициалдық кешендер берілгенде, симплициалдық бейнелеу – бұл Δ кешенінің төбелерін Γ кешенінің төбелеріне бейнелейтін f функциясы, және кез келген Δ кешенінің X жағы үшін, f(X) бейнесі Γ кешенінің жағы болады. SCpx санаты бар, онда абстрактілік симплициалдық кешендер нысандар, ал симплициалдық бейнелеулер – морфизмдер болып табылады. Бұл абстрактілік емес симплициалдық кешендерді пайдалана отырып анықталған сәйкес санатқа эквивалентті. Сонымен қатар, категориялық тұрғыдан қарағанда, абстрактілік симплициалдық кешеннің S негізгі жиыны мен Δ кешенінің V(Δ) төбелік жиыны арасындағы байланысты күшейтуге болады: абстрактілік симплициалдық кешендер санатын анықтау үшін V(Δ) жиынына кірмейтін S жиынының элементтері маңызсыз. Нақтырақ айтқанда, SCpx санаты мына санатқа эквивалентті: нысан – бұл барлық жеке элементтерді қамтитын бос емес шекті ішкі жиындардың Δ жиынымен жабдықталған S жиыны, және егер X жиыны Δ-ға жатса және Y жиыны X-тың бос емес ішкі жиыны болса, онда Y жиыны да Δ-ға жатады. (S, Δ) жиынынан (T, Γ) жиынына дейінгі морфизм – бұл f: S → T функциясы, онда Δ жиынының кез келген элементінің бейнесі Γ жиынының элементі болады.

Геометриялық іске асыру

Біз кез келген абстрактілі қарапайым кешенге (ASC) K оның геометриялық іске асырылуы деп аталатын топологиялық кеңістікті қосуға болады. Оны анықтаудың бірнеше тәсілі бар.