Введение
Математический объект
В комбинаторике абстрактный симплициальный комплекс (ASC), часто называемый абстрактным комплексом или просто комплексом, — это семейство множеств, замкнутое относительно взятия подмножеств, то есть каждое подмножество множества из этого семейства также принадлежит семейству. Это чисто комбинаторное описание геометрического понятия симплициального комплекса. Например, в двумерном симплициальном комплексе множествами в семействе являются треугольники (множества размера 3), их ребра (множества размера 2) и их вершины (множества размера 1). В контексте матроидов и жадных матроидов абстрактные симплициальные комплексы также называются системами независимости. Абстрактный симплекс можно изучать алгебраически, формируя его кольцо Стэнли — Рейснера; это устанавливает мощную связь между комбинаторикой и коммутативной алгеброй.
Упрощенные карты
При заданных двух абстрактных симплициальных комплексов, Δ и Γ, симплициальное отображение — это функция f, которая сопоставляет вершины Δ вершинам Γ и обладает свойством, что для любой грани X комплекса Δ, образ f(X) является гранью комплекса Γ. Существует категория SCpx, объектами которой являются абстрактные симплициальные комплексы, а морфизмами — симплициальные отображения. Она эквивалентна подходящей категории, определенной с использованием неабстрактных симплициальных комплексов. Более того, категорный подход позволяет уточнить связь между базовым множеством S абстрактного симплициального комплекса Δ и множеством вершин V(Δ) ⊆ S комплекса Δ: для целей определения категории абстрактных симплициальных комплексов, элементы S, не входящие в V(Δ), несущественны. Более точно, SCpx эквивалентна категории, в которой: объект представляет собой множество S, снабженное семейством непустых конечных подмножеств Δ, содержащим все одноэлементные множества и таким, что если X принадлежит Δ и Y ⊆ X — непустое подмножество, то Y также принадлежит Δ; морфизм из (S, Δ) в (T, Γ) — это функция f : S → T, такая, что образ любого элемента из Δ является элементом Γ.
an object is a set S equipped with a collection of non empty finite subsets Δ that contains all singletons and such that if X is in Δ and Y ⊆ X is non empty, then Y also belongs to Δ.
a morphism from (S, Δ) to (T, Γ) is a function f : S → T such that the image of any element of Δ is an element of Γ.
Геометрическая реализация
Мы можем связать с любым абстрактным симплициальным комплексом (ASC) K топологическое пространство, называемое его геометрической реализацией. Существует несколько способов определить его.