Кезендік функцияларды синусоидаларға жіктеу

Кіріспе

Периодтық функцияларды қарапайым синусоидтық нысандардың қосындысына жіктеу. Фурье қатары (/f//ʊr//i//eɪ//, // //i//ər/) – тригонометриялық функциялардың қосындысы түрінде берілген периодтық функцияның кеңеюі. Фурье қатары тригонометриялық қатардың мысалы болып табылады, бірақ барлық тригонометриялық қатарлар Фурье қатары емес. Функцияны синус және косинус қосындысы ретінде өрнектеу арқылы, функцияға қатысты көптеген мәселелерді талдау оңайырақ болады, себебі тригонометриялық функциялар жақсы зерттелген. Мысалы, Жозеф Фурье алғаш рет Фурье қатарын жылу теңдеуіне шешім табу үшін қолданды. Бұл мүмкіндік тригонометриялық функциялардың туындылары қарапайым заңдылықтарға бағынатындықтан туындайды. Фурье қатарын кездейсоқ функцияларды жуықтау үшін қолдануға болмайды, өйткені көптеген функциялардың Фурье қатарында шексіз көп мүше болады және қатарлар әрқашан да жинақталмайды. Жақсы қасиеттері бар функциялар, мысалы, тегіс функциялар, бастапқы функцияға жақындайтын Фурье қатарына ие. Фурье қатарының коэффициенттері функцияның тригонометриялық функцияларға көбейтілген интегралдары арқылы анықталады, олар Фурье қатарының жиі кездесетін түрлерінде сипатталған. Фурье қатарының жинақтылығын зерттеу, ішінара қосындылардың мінез-құлқына назар аударуды білдіреді, яғни қатардан көбірек мүшелер қосылғанда қосындының қалай өзгеретінін зерттеуді. Төмендегі суреттер төртбұрышты толқынның құрамдас бөліктері үшін ішінара Фурье қатарының кейбір нәтижелерін көрсетеді. Фурье қатары Фурье түрлендіруімен тығыз байланысты, оны периодты емес функциялар үшін жиілік ақпаратын табу үшін қолдануға болады. Периодтық функцияларды шеңбердегі функциялармен сәйкестендіруге болады, сондықтан Фурье қатары шеңбердегі Фурье талдауының нысаны болып табылады, әдетте немесе деп белгіленеді. Фурье түрлендіруі де Фурье талдауының бір бөлігі болып табылады, бірақ ол функциялар үшін анықталған. Фурье заманынан бері Фурье қатарының ұғымын анықтау және түсінудің көптеген әртүрлі тәсілдері ашылды, олардың барлығы бір-бірімен үйлесімді, бірақ олардың әрқайсысы тақырыптың әртүрлі аспектілерін көрсетеді. Күшті және элегантты тәсілдердің кейбіреулері Фурье заманында қол жетімді болмаған математикалық идеялар мен құралдарға негізделген. Фурье бастапқыда нақты аргументтердің нақты мәнді функциялары үшін Фурье қатарын анықтады және жіктеуде синус және косинус функцияларын қолданды. Көптеген басқа Фурьемен байланысты түрлендірулер анықталды, оның бастапқы идеясын көптеген қолдануларға кеңейтіп, математиканың Фурье анализі деп аталатын саланың пайда болуына әкелді.

Decomposition of periodic functions into sums of simpler sinusoidal forms

A Fourier series ('/f//ʊr//i//eɪ//, // //i//ər/) is an expansion of a periodic function into a sum of trigonometric functions. The Fourier series is an example of a trigonometric series, but not all trigonometric series are Fourier series. By expressing a function as a sum of sines and cosines, many problems involving the function become easier to analyze because trigonometric functions are well understood. For example, Fourier series were first used by Joseph Fourier to find solutions to the heat equation. This application is possible because the derivatives of trigonometric functions fall into simple patterns. Fourier series cannot be used to approximate arbitrary functions, because most functions have infinitely many terms in their Fourier series, and the series do not always converge. Well behaved functions, for example smooth functions, have Fourier series that converge to the original function. The coefficients of the Fourier series are determined by integrals of the function multiplied by trigonometric functions, described in Common forms of the Fourier series below. The study of the convergence of Fourier series focus on the behaviors of the partial sums, which means studying the behavior of the sum as more and more terms from the series are summed. The figures below illustrate some partial Fourier series results for the components of a square wave. Fourier series are closely related to the Fourier transform, which can be used to find the frequency information for functions that are not periodic. Periodic functions can be identified with functions on a circle, for this reason Fourier series are the subject of Fourier analysis on a circle, usually denoted as or The Fourier transform is also part of Fourier analysis, but is defined for functions on
Since Fourier's time, many different approaches to defining and understanding the concept of Fourier series have been discovered, all of which are consistent with one another, but each of which emphasizes different aspects of the topic. Some of the more powerful and elegant approaches are based on mathematical ideas and tools that were not available in Fourier's time. Fourier originally defined the Fourier series for real valued functions of real arguments, and used the sine and cosine functions in the decomposition. Many other Fourier related transforms have since been defined, extending his initial idea to many applications and birthing an area of mathematics called Fourier analysis.

Алыстыру

Коэффициенттер және және жиілігі синусоид пен арасындағы кросс-корреляция арқылы түсіндірілуі және шығарылуы мүмкін. Кез келген жиілік және талдау аралығы үшін кросс-корреляция функциясы:

негізінен, үлгісі бар сәйкес сүзгі болып табылады. -ның максимумы – функциядағы жиіліктің амплитудасының өлшемі, ал максимумдағы мәні осы жиіліктің фазасын анықтайды. 2-сурет – мысал, онда квадрат толқын (көрсетілмеген), ал жиілік – гармоника. Бұл сондай-ақ, бүкіл функцияны іздеудің орнына тек екі үлгіден максимумды алудың мысалы. -ты -мен біріктіру:

-ның туындысы максималды корреляция фазасында нөлге тең. Сондықтан, және есептеу максималды корреляция фазасын құрайды. Ал компоненттің амплитудасы:

Ынтымақтастық

Фурье тізбектерінің кез келген периодты функцияны (Дирихле шартын қанағаттандыратын) дұрыс бейнелейтінінің дәлелі қарастырылады. Инженерлік қолданбаларда Фурье тізбектерінің, секірісті үзілістерден басқа, әдетте жақындасатыны қабылданады, себебі инженерлік саласында кездесетін функциялар басқа ғылым салаларындағы функцияларға қарағанда жақсы қасиеттерге ие. Атап айтқанда, егер функция үздіксіз болса және оның туындысы (барлық жерде болуы міндетті емес) квадратқа интегралданатын болса, онда функцияның Фурье тізбегі абсолютті және біркелкі түрде жақындасады. Егер функция белгілі бір аралықта квадратқа интегралданатын болса, онда Фурье тізбегі функцияға дерлік барлық жерде жақындасады. Фурье коэффициенттерін жалпы функциялар немесе таралымдар үшін анықтауға болады, мұндай жағдайда нүктелік жақындасу көбінесе сәтсіз аяқталады, ал нормадағы немесе нашар жақындасу зерттеледі.

Тарих

Фурье тізбектері тригонометриялық тізбектерді зерттеуге маңызды үлес қосқан Жан-Батист Жозеф Фурье (1768–1830) құрметіне аталған, Леонард Эйлер, Жан ле Ронд д’Алембер және Даниэль Бернуллидің алдын ала зерттеулерінен кейін. Фурье серияны металл тақтадағы жылу теңдеуін шешу үшін енгізді, алғашқы нәтижелерін 1807 жылы «Тұтқыр денелердегі жылудың таралуы туралы естелік» (Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides) және 1822 жылы «Жылудың талдамалық теориясы» (Théorie analytique de la chaleur) еңбектерінде жариялады. Осы «Естелікте» Фурье талдауы, атап айтқанда Фурье тізбектері енгізілді. Фурье зерттеулері арқылы кез келген (алғашқыда үздіксіз, кейін кез келген бөліктік-тегіс) функцияны тригонометриялық функциялардың қосындысы түрінде кестелеу мүмкіндігі анықталды. Периодты функцияны қарапайым тербелісті функциялардың қосындысына бөлу туралы алғашқы идеялар б.з.д. 3 ғасырға дейін соқталады, осы кезде ежегіт астрономдары планеталар қозғалысының эмпириялық моделін, деференциялар мен эпициклдерге негіздеме жасады. Жылу теңдеуі – бөлшекті дифференциалдық теңдеу. Фурье жұмысына дейін жылу теңдеуінің жалпы жағдайда шешімі белгісіз болған, бірақ егер жылу көзі қарапайым түрде әрекет етсе, әсіресе жылу көзі синус немесе косинус толқыны болса, нақты шешімдер белгілі болған. Бұл қарапайым шешімдер кейде «өздік шешімдер» деп аталады. Фурье идеясы күрделі жылу көзін қарапайым синус және косинус толқындарының суперпозициясы (немесе сызықтық комбинациясы) ретінде модельдеу және шешімді сәйкес өздік шешімдердің суперпозициясы ретінде жазу болды. Осы суперпозиция немесе сызықтық комбинация Фурье тізбегі деп аталады. Қазіргі заманғы көзқарас бойынша Фурье нәтижелері 19 ғасырдың басында функция және интеграл туралы нақты түсінік болмағандықтан, біршама бейресми болып табылады. Кейін Пьер Густав Лежун Дирихле және Бернхард Риман Фурье нәтижелерін үлкен дәлдікпен және формалдылықпен тұжырымдады. Бастапқыда жылу теңдеуін шешу үшін жасалған болса да, кейіннен осы әдістерді математикалық және физикалық мәселелердің кең ауқымына, әсіресе өздік шешімдері синусоидалар болатын тұрақты коэффициенттері бар сызықтық дифференциалдық теңдеулерге қолдануға болатыны анықталды. Фурье тізбегінің электртехникасында, дірілдерді талдауда, акустикада, оптикада, сигналдарды өңдеуде, кескіндерді өңдеуде, кванттық механикада, эконометрияда, қабықтар теориясында және т.б. көптеген қолданыс алады.

The Fourier series is named in honor of Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), who made important contributions to the study of trigonometric series, after preliminary investigations by Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert, and Daniel Bernoulli. Fourier introduced the series for the purpose of solving the heat equation in a metal plate, publishing his initial results in his 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (Treatise on the propagation of heat in solid bodies), and publishing his Théorie analytique de la chaleur (Analytical theory of heat) in 1822. The Mémoire introduced Fourier analysis, specifically Fourier series. Through Fourier's research the fact was established that an arbitrary (at first, continuous and later generalized to any piecewise smooth Early ideas of decomposing a periodic function into the sum of simple oscillating functions date back to the 3rd century BC, when ancient astronomers proposed an empiric model of planetary motions, based on deferents and epicycles. The heat equation is a partial differential equation. Prior to Fourier's work, no solution to the heat equation was known in the general case, although particular solutions were known if the heat source behaved in a simple way, in particular, if the heat source was a sine or cosine wave. These simple solutions are now sometimes called eigensolutions. Fourier's idea was to model a complicated heat source as a superposition (or linear combination) of simple sine and cosine waves, and to write the solution as a superposition of the corresponding eigensolutions. This superposition or linear combination is called the Fourier series. From a modern point of view, Fourier's results are somewhat informal, due to the lack of a precise notion of function and integral in the early nineteenth century. Later, Peter Gustav Lejeune Dirichlet and Bernhard Riemann expressed Fourier's results with greater precision and formality. Although the original motivation was to solve the heat equation, it later became obvious that the same techniques could be applied to a wide array of mathematical and physical problems, and especially those involving linear differential equations with constant coefficients, for which the eigensolutions are sinusoids. The Fourier series has many such applications in electrical engineering, vibration analysis, acoustics, optics, signal processing, image processing, quantum mechanics, econometrics, shell theory, etc.

Фурье мотивациясы

Фурье тізбектік кеңейтудің тік тісті функциясы (жоғарыда) қарапайым формулаға қарағанда күрделірек көрінеді, сондықтан Фурье тізбегі не үшін қажет екені бірден түсініксіз. Көптеген қолданыстары болғанымен, Фурьеның бастамасы жылу теңдеуін шешуде болды. Мысалы, қабырғалары метрді құрайтын шаршы пішіндес металл пластинаны қарастырайық. Егер пластинаның ішінде жылу көзі болмаса, ал төрт қабырғасының үшеуі 0 градус Цельсийде ұсталып тұрса, ал төртінші қабырғасы, яғни , температура градиенті градус Цельсийде сақталса, онда стационарлық жылу таралуы (немесе ұзақ уақыт өткеннен кейін жылу таралуы) былай беріледі:

Мұнда sinh – гиперболалық синус функциясы. Бұл жылу теңдеуінің шешімі тізбектің әрбір мүшесін көбейту арқылы алынады. Біздің мысал функциямыз қажетсіздей күрделі Фурье тізбегіне ие болғанымен, жылу таралуы тривиальды емес. Функцияны жабық түрде жазу мүмкін емес. Жылу мәселесін шешудің осы әдісі Фурье еңбегінің арқасында мүмкін болды.

Күрделі Фурье сериялы анимация

Комплексті Фурье тізбектерінің кез келген екі өлшемді жабық фигураны іздеу қабілетіне мысал ретінде, "e" әрпін (экспоненциалды білдіретін) іздейтін комплекссті Фурье тізбектерінің көршілес анимациясы көрсетілген. Анимацияда "e" әрпін комплекс жазықтықта параметрлеу үшін "t" айнымалысы қолданылатынын ескеріңіз, бұл осы мақаланың комплекс мәнді функциялар тақырыбындағы кіші бөліміндегі "x" параметрімен тең. Анимацияның артқы жазықтығында айналатын векторлар оң (сағат тіліне қарсы) бағытта айналатын вектор мен соған тең жиілікте, бірақ теріс (сағат тілімен) бағытта айналатын вектордың арасында кезектесіп біріктіріледі, нәтижесінде көптеген зигзагтармен бір іздеу қолы пайда болады. Бұл көзқарас айналатын векторлардың әрбір жұбының (біреуі оң, екіншісі теріс бағытта айналады) қосылуының алдыңғы ізді ("e" әрпінің пішініне жақындатады, ақшыл сұр нүктелі сызық түрінде көрсетілген) қалай жақындататынын көрсетеді. Анимацияның алдыңғы жазықтығында айналатын векторлар екі жиынға біріктіріледі: барлық оң айналатын векторлар жиыны және барлық теріс айналатын векторлар жиыны (айналмауы мүмкін компонент екеуінің арасында тең бөлінеді), нәтижесінде екі іздеу қолы қарама-қарсы бағытта айналады. Анимациядағы кішкентай шеңбер екі қолдың арасындағы орта нүктені, сондай-ақ "+" белгісімен көрсетілген бастапқы нүкте мен ағымдағы іздеу нүктесінің арасындағы орта нүктені көрсетеді. Бұл көзқарас комплекс Фурье тізбектерінің, бір ғана қолы бар комплекс геометриялық тізбектің кеңейтілген түрі (қолдың қосылуы) екенін көрсетеді. Сондай-ақ, екі қолдың бір-бірімен қалай үйлесетінін көрсетеді. Мысалы, іздеу нүктесі оң бағытта айналғанда, теріс бағыттағы қол тоқталып тұрады. Сол сияқты, іздеу нүктесі теріс бағытта айналғанда, оң бағыттағы қол тоқталып тұрады. Анимацияның алдыңғы және артқы жазықтықтарының арасында, аудандары комплекс Фурье тізбегінің мүшелерінің мәндерін көрсететін айналатын трапециялар орналасқан. Бұл көзқарас комплекс Фурье тізбегінің жеке мүшелерінің амплитудасын, жиілігін және фазасын, алдыңғы және артқы жазықтықтағы "e" әрпіне кеңістікте жинақталатын тізбектің қосындысына қатысты көрсетеді. Аудио жолының сол және оң арналары сәйкесінше ағымдағы "+" іздеу нүктесінің нақты және жорамал бөліктеріне сәйкес келеді, бірақ жиілігі 3536 есе арттырылған, сондықтан анимацияның негізгі жиілігі (n = 1) 220 Гц тонды (A220) құрайды.

An example of the ability of the complex Fourier series to trace any two dimensional closed figure is shown in the adjacent animation of the complex Fourier series tracing the letter 'e' (for exponential). Note that the animation uses the variable 't' to parameterize the letter 'e' in the complex plane, which is equivalent to using the parameter 'x' in this article's subsection on complex valued functions. In the animation's back plane, the rotating vectors are aggregated in an order that alternates between a vector rotating in the positive (counter clockwise) direction and a vector rotating at the same frequency but in the negative (clockwise) direction, resulting in a single tracing arm with lots of zigzags. This perspective shows how the addition of each pair of rotating vectors (one rotating in the positive direction and one rotating in the negative direction) nudges the previous trace (shown as a light gray dotted line) closer to the shape of the letter 'e'. In the animation's front plane, the rotating vectors are aggregated into two sets, the set of all the positive rotating vectors and the set of all the negative rotating vectors (the non rotating component is evenly split between the two), resulting in two tracing arms rotating in opposite directions. The animation's small circle denotes the midpoint between the two arms and also the midpoint between the origin and the current tracing point denoted by '+'. This perspective shows how the complex Fourier series is an extension (the addition of an arm) of the complex geometric series which has just one arm. It also shows how the two arms coordinate with each other. For example, as the tracing point is rotating in the positive direction, the negative direction arm stays parked. Similarly, when the tracing point is rotating in the negative direction, the positive direction arm stays parked. In between the animation's back and front planes are rotating trapezoids whose areas represent the values of the complex Fourier series terms. This perspective shows the amplitude, frequency, and phase of the individual terms of the complex Fourier series in relation to the series sum spatially converging to the letter 'e' in the back and front planes. The audio track's left and right channels correspond respectively to the real and imaginary components of the current tracing point '+' but increased in frequency by a factor of 3536 so that the animation's fundamental frequency (n=1) is a 220 Hz tone (A220).

Басқа қолданбалар

Тағы бір қолданба — Парсеваль теоремасын пайдаланып Базель мәселесін шешу. Бұл мысал жалпыланады және кез келген оң бүтін n үшін ζ(2n) есептеуге болады.

Риманн-Лебесг леммасы

Егер функция интегралданатын болса, , және . Бұл нәтиже Риман-Лебесг леммасы деп аталады.

Планшель теоремасы

Егер коэффициенттер болса және , онда әрбір үшін бірегей функция бар, осындай .

Компактты топтар

Фурье түрлендірмесінің біз айтқан қызықты қасиеттерінің бірі – ол конволюцияларды нүктелік көбейтінділерге айналдырады. Егер осы қасиетті сақтауды көздесек, кез келген компакт топта Фурье қатарларын құруға болады. Типик мысалдар – компакт классикалық топтар. Бұл Фурье түрлендірмесін G компакт топ болғандағы L2(G) түріндегі барлық кеңістіктерге жалпылайды, осылайша Фурье түрлендірмесі конволюцияларды нүктелік көбейтінділерге айналдырады. Фурье қатарлары осы жағдайға ұқсас тәсілмен бар және жинақталады. Компакт топтарды кеңейтудің тағы бір жолы – Петер-Вейль теоремасы, ол шекті топтарға ұқсас компакт топтардың өкілдіктері туралы нәтижелерді дәлелдейді.

Риманның көптігі

Егер домен топ болмаса, онда ішкі түрде анықталған ырғақталу жоқ. Бірақ, егер ол компактты Риманн көптігі болса, онда Лаплас-Белтрами операторы болады. Лаплас-Белтрами операторы – Риманн көптігі үшін Лаплас операторына сәйкес келетін дифференциалдық оператор. Содан кейін, аналогия бойынша, үстінде жылу теңдеулерін қарастыруға болады. Фурье жылу теңдеуін шешуге тырысып, өзінің негізін тапқандықтан, Лаплас-Белтрами операторының өзіндік шешімдерін негіз ретінде пайдалану – табиғи жалпылау болып табылады. Бұл Фурье тізбегін , мұнда – Риманн көптігі, типіндегі кеңістіктерге жалпылайды. Фурье тізбегі жағдайына ұқсас жолдармен жинақталады. Типик мысал ретінде әдеттегі метрикасы бар сфераны алуға болады, онда Фурье негізі сфералық гармоникалардан тұрады.

Жергілікті тығыздықтағы Абель топтары

Жоғарыда талданған компакттық топтарға жасалған жалпылау, компактты емес, неабелдік топтарға қолданылмайды. Дегенмен, жергілікті компактты абелдік (LCA) топтарға тікелей жалпылау жасауға болады. Бұл Фурье түрлендірмесін немесе , мұндағы – LCA тобы үшін жалпылайды. Егер – компактты болса, Фурье қатарлары да алынады, олар конвергенция жағынан - жағдайына ұқсас, бірақ егер – компактты болмаса, Фурье интегралы алынады. Бұл жалпылау, негізгі жергілікті компактты абелдік тобы болған жағдайда, әдеттегі Фурье түрлендірмесін береді.

Конвергенция теоремалары

Ең кіші квадраттар қасиеті және Фурье негізінің толықтығының арқасында біз элементарлық жинақталу нәтижесіне жетеміз. Бұрын айтқанымыздай, егер функция үздіксіз түрде дифференциалданатын болса, онда оның туындысының Фурье коэффициенті болады. Негізінен, Коши-Шварц теңсіздігінен шығады, оның нәтижесінде ол абсолютті түрде жинақталады. Бұл қатардың қосындысы үздіксіз функция болып табылады және -қа тең, себебі Фурье қатарлары орташа мәні бойынша -ға жинақталады:

Егер функция одан әрі деп есептелсе, бұл нәтижені оңай дәлелдеуге болады, өйткені бұл жағдайда нөлге жақындайды. Көбінесе, Фурье қатарлары абсолютті түрде жинақталады, демек, Холдер шартын қанағаттандырса, біркелкі жинақталады. Абсолютті жинақталу жағдайында келесі теңсіздік:

біркелкі жинақталуды дәлелдейді. Фурье қатарларының жинақталуына қатысты көптеген басқа нәтижелер белгілі, егер функция -да дифференциалданатын болса, қатар -да жинақталатын қарапайым нәтижеден бастап, Леннарт Карлесонның функцияның Фурье қатарлары дерлік барлық жерде жинақталатыны туралы әлдеқайда күрделі нәтижесіне дейін.

Бөліну

Фурье тізбектері осындай жақсы конвергенция қасиеттеріне ие болғандықтан, көптеген адамдар кейбір теріс нәтижелерге таңғалады. Мысалы, үздіксіз T периодты функцияның Фурье тізбектері нүктелік түрде жиналуы міндетті емес. Біркелкі шектелу принципі осы фактінің қарапайым, конструкциялық емес дәлелін ұсынады. 1922 жылы Андрей Колмогоров «Лебег интегралданатын функцияның дерлік барлық жерде жиналмайтын Фурье тізбегі» деген мақала жариялады, онда ол дерлік барлық жерде Фурье тізбегі жиналмайтын Лебег интегралданатын функцияның мысалын келтірді. Кейін ол барлық жерде Фурье тізбегі жиналмайтын интегралданатын функцияның мысалын жасады.