Введение

Разложение периодических функций в сумму более простых синусоидальных форм

Ряд Фурье (/f//ʊr//i//eɪ//, // //i//ər/) — это представление периодической функции в виде суммы тригонометрических функций. Ряд Фурье является примером тригонометрического ряда, но не все тригонометрические ряды являются рядами Фурье. Представляя функцию в виде суммы синусов и косинусов, многие задачи, связанные с этой функцией, становятся проще в анализе, поскольку тригонометрические функции хорошо изучены. Например, Жозеф Фурье впервые использовал ряды Фурье для нахождения решений уравнения теплопроводности. Это возможно, потому что производные тригонометрических функций подчиняются простым закономерностям. Ряды Фурье нельзя использовать для аппроксимации произвольных функций, поскольку большинство функций имеют бесконечно много членов в своем разложении Фурье, и ряды не всегда сходятся. Функции с хорошими свойствами, например, гладкие функции, имеют ряды Фурье, которые сходятся к исходной функции. Коэффициенты ряда Фурье определяются интегралами функции, умноженной на тригонометрические функции, что описано в разделе «Общие формы ряда Фурье» ниже. Изучение сходимости рядов Фурье сосредоточено на поведении частичных сумм, то есть на исследовании поведения суммы при увеличении числа членов ряда. На рисунках ниже представлены некоторые результаты частичных разложений Фурье для компонент прямоугольной волны. Ряды Фурье тесно связаны с преобразованием Фурье, которое можно использовать для получения информации о частоте для непериодических функций. Периодические функции можно отождествить с функциями на окружности, поэтому ряды Фурье являются предметом анализа Фурье на окружности, обычно обозначаемого как или . Преобразование Фурье также является частью анализа Фурье, но определяется для функций на .

С момента работ Фурье было открыто множество различных подходов к определению и пониманию концепции ряда Фурье, все из которых согласуются друг с другом, но каждый из которых подчеркивает различные аспекты темы. Некоторые из наиболее мощных и элегантных подходов основаны на математических идеях и инструментах, которые не были доступны во времена Фурье. Фурье первоначально определил ряд Фурье для функций вещественных аргументов, принимающих вещественные значения, и использовал функции синуса и косинуса в разложении. С тех пор было определено множество других преобразований, связанных с Фурье, которые расширили его первоначальную идею для многих приложений и дали начало области математики, называемой анализом Фурье.

Вывод

Коэффициенты и могут быть поняты и выведены с точки зрения перекрестной корреляции между и синусоидой на частоте . Для общей частоты и интервала анализа функция перекрестной корреляции:

по сути является согласованным фильтром, с шаблоном . Максимум является мерой амплитуды частоты в функции , а значение при максимуме определяет фазу этой частоты. Рисунок 2 является примером, где является прямоугольной волной (не показано), а частота – гармоника. Это также пример вычисления максимума всего по двум отсчетам, вместо поиска по всей функции. Комбинируя с , получаем:

Производная равна нулю в фазе максимальной корреляции. Следовательно, вычисление и согласно формуле создает фазу компоненты при максимальной корреляции. А амплитуда компоненты равна:

Сближение

Доказательство того, что ряд Фурье является корректным представлением любой периодической функции (удовлетворяющей условиям Дирихле), рассматривается в… В инженерных приложениях ряд Фурье обычно предполагается сходящимся, за исключением точек разрыва, поскольку функции, встречающиеся в инженерии, как правило, более гладкие, чем функции, встречающиеся в других областях. В частности, если функция f непрерывна, а её производная (которая может не существовать всюду) квадратично интегрируема, то ряд Фурье функции f сходится абсолютно и равномерно к f. Если функция квадратично интегрируема на интервале [a, b], то ряд Фурье сходится к этой функции почти всюду. Возможно определение коэффициентов Фурье для более общих функций или обобщенных функций (распределений), в этом случае точечная сходимость часто не выполняется, и обычно исследуется сходимость в норме или слабая сходимость.

История

Серия Фурье названа в честь Жана Батиста Джозефа Фурье (1768–1830), который внес важный вклад в изучение тригонометрических рядов, после предварительных исследований Леонарда Эйлера, Жана Ле Ронда д’Алембера и Даниэля Бернулли. Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, опубликовав свои первоначальные результаты в своей работе 1807 года «Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides» (Трактат о распространении тепла в твердых телах) и «Théorie analytique de la chaleur» (Аналитическая теория тепла) в 1822 году. В «Mémoire» был введен анализ Фурье, в частности, ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье было установлено, что произвольную (сначала непрерывную, а позже обобщенную до любой кусочно-гладкой) функцию можно разложить в ряд Фурье. Ранние идеи разложения периодической функции в сумму простых колеблющихся функций восходят к III веку до н.э., когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на деферентах и эпициклах. Уравнение теплопроводности является частным дифференциальным уравнением. До работы Фурье не было известно общего решения уравнения теплопроводности, хотя частные решения были известны, если источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источник тепла представлял собой синусоидальную или косинусоидальную волну. Эти простые решения иногда называют собственными функциями. Идея Фурье заключалась в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусоидальных волн и представить решение как суперпозицию соответствующих собственных функций. Эта суперпозиция или линейная комбинация и называется рядом Фурье. С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале XIX века. Позже Петер Густав Лежен Дирихле и Бернхард Риман выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью. Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применить к широкому спектру математических и физических задач, особенно к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, для которых собственные функции являются синусоидами. Серия Фурье имеет множество применений в электротехнике, анализе колебаний, акустике, оптике, обработке сигналов, обработке изображений, квантовой механике, эконометрике, теории оболочек и т.д.

Мотивация Фурье

Расширение Фурье функции пилообразного сигнала (выше) выглядит более сложным, чем простая формула, поэтому не сразу понятно, зачем нужен ряд Фурье. Хотя существует множество применений, первоначальной мотивацией Фурье было решение уравнения теплопроводности. Например, рассмотрим металлическую пластину в форме квадрата со сторонами, измеренными в метрах, с координатами. Если внутри пластины нет источника тепла и три из четырех сторон поддерживаются при 0 градусах Цельсия, а четвертая сторона, заданная уравнением , поддерживается при температурном градиенте градусов Цельсия для в , то можно показать, что стационарное распределение тепла (или распределение тепла после длительного времени) задается выражением

Здесь sinh – гиперболический синус. Это решение уравнения теплопроводности получается умножением каждого члена ряда на. Хотя наша примерная функция, кажется, имеет излишне сложный ряд Фурье, распределение тепла является нетривиальным. Функцию нельзя представить в виде выражения в замкнутой форме. Этот метод решения тепловой задачи стал возможен благодаря работам Фурье.

Комплексная анимация по Fourier

Пример способности комплексного ряда Фурье обрисовывать любую двумерную замкнутую фигуру показан в прилегающей анимации, демонстрирующей, как комплексный ряд Фурье обводит букву 'e' (от 'экспоненциальный'). Обратите внимание, что в анимации переменная 't' используется для параметризации буквы 'e' в комплексной плоскости, что эквивалентно использованию параметра 'x' в подразделе этой статьи, посвященном функциям комплексного значения. На заднем плане анимации вращающиеся векторы объединяются в порядке, чередующем вектор, вращающийся в положительном (против часовой стрелки) направлении, и вектор, вращающийся с той же частотой, но в отрицательном (по часовой стрелке) направлении, что приводит к единственному обрисовывающему контуру с множеством зигзагов. Эта перспектива показывает, как добавление каждой пары вращающихся векторов (один вращается в положительном направлении, другой – в отрицательном) постепенно приближает предыдущий контур (отображается светло-серой пунктирной линией) к форме буквы 'e'. На переднем плане анимации вращающиеся векторы объединяются в два набора: набор всех векторов, вращающихся в положительном направлении, и набор всех векторов, вращающихся в отрицательном направлении (не вращающаяся составляющая равномерно распределена между ними), в результате чего два обрисовывающих контура вращаются в противоположных направлениях. Небольшой круг в анимации обозначает середину между двумя контурами, а также середину между началом координат и текущей точкой обводки, обозначенной символом '+'. Эта перспектива демонстрирует, что комплексный ряд Фурье является расширением (добавлением контура) комплексного геометрического ряда, который имеет только один контур. Также показано, как два контура координируются друг с другом. Например, когда точка обводки вращается в положительном направлении, контур отрицательного направления остается неподвижным. Аналогично, когда точка обводки вращается в отрицательном направлении, контур положительного направления остается неподвижным. Между задним и передним планами анимации расположены вращающиеся трапеции, площади которых представляют значения членов комплексного ряда Фурье. Эта перспектива показывает амплитуду, частоту и фазу отдельных членов комплексного ряда Фурье по отношению к сумме ряда, пространственно сходящейся к букве 'e' на заднем и переднем планах. Левый и правый каналы звуковой дорожки соответствуют, соответственно, действительной и мнимой компонентам текущей точки обводки '+', но увеличены в частоте в 3536 раз, так что основная частота анимации (n=1) составляет 220 Гц (A220).

Другие применения

Еще одно применение — решение Базельской задачи с помощью теоремы Парсеваля. Этот пример можно обобщить, и таким образом вычислить ζ(2n) для любого положительного целого числа n.

Лема Римана и Лебегге

Если f интегрируема, то lim_{t→∞} ∫₋∞^∞ f(x)cos(tx) dx = 0 и lim_{t→∞} ∫₋∞^∞ f(x)sin(tx) dx = 0. Этот результат известен как лемма Римана — Лебега.

Теорема Планшеля

Если aᵢ — коэффициенты и f(x) — многочлен степени не выше n, то существует единственная функция f(x), такая что f(xᵢ) = yᵢ для каждого i.

Компактные группы

Одно из интересных свойств преобразования Фурье, которое мы упоминали, состоит в том, что оно преобразует свёртки в поточечные произведения. Если именно это свойство мы хотим сохранить, можно построить ряд Фурье на любой компактной группе. Типичные примеры включают в себя классические компактные группы. Это обобщает преобразование Фурье на все пространства вида L2(G), где G — компактная группа, таким образом, что преобразование Фурье преобразует свёртки в поточечные произведения. Ряд Фурье существует и сходится аналогично рассмотренному выше случаю. Альтернативным расширением для компактных групп является теорема Питера — Вейля, которая доказывает результаты о представлениях компактных групп, аналогичные результатам для конечных групп.

Римановские многообразия

Если область не является группой, то внутренне определенная свертка не существует. Однако, если является компактным римановым многообразием, у него есть оператор Лапласа — Бельтрами. Оператор Лапласа — Бельтрами — это дифференциальный оператор, соответствующий оператору Лапласа для риманова многообразия. Тогда, по аналогии, можно рассматривать уравнения теплопроводности на . Поскольку Фурье пришел к своему базису, пытаясь решить уравнение теплопроводности, естественным обобщением является использование собственных функций оператора Лапласа — Бельтрами в качестве базиса. Это обобщает ряд Фурье на пространства типа , где является римановым многообразием. Ряд Фурье сходится аналогичным образом, как и в случае . Типичным примером является сфера с обычной метрикой, в этом случае базис Фурье состоит из сферических гармоник.

Локально компактные абелевы группы

Обобщение на компактные группы, рассмотренное выше, не распространяется на некомпактные, неабелевы группы. Однако существует прямое обобщение на локально компактные абелевы (LCA) группы. Это обобщает преобразование Фурье на или , где – LCA-группа. Если компактна, то получается ряд Фурье, сходящийся аналогично случаю , а если некомпактна, то вместо этого получается интеграл Фурье. При этом, когда лежащая в основе локально компактная абелева группа является , это обобщение дает обычное преобразование Фурье.

Теоремы конвергенции

Благодаря свойству наименьших квадратов и полноте базиса Фурье, мы получаем элементарный результат о сходимости. Мы уже упоминали, что если функция непрерывно дифференцируема, то является коэффициентом Фурье её производной. Из неравенства Коши — Буняковского — Шварца следует, что является абсолютно суммируемой. Сумма этого ряда — непрерывная функция, равная , поскольку ряд Фурье сходится в среднем к :

Этот результат можно легко доказать, если дополнительно предположить, что , поскольку в этом случае стремится к нулю при . В более общем случае, ряд Фурье абсолютно суммируем, следовательно, сходится равномерно к , при условии, что удовлетворяет условию Гёльдера порядка . В случае абсолютной суммируемости, неравенство:

доказывает равномерную сходимость. Известно множество других результатов, касающихся сходимости рядов Фурье, от относительно простого результата о том, что ряд сходится в точке , если дифференцируема в этой точке, до гораздо более сложного результата Леннарта Карлесона о том, что ряд Фурье функции фактически сходится почти всюду.

Разногласия

Поскольку ряды Фурье обладают такими хорошими свойствами сходимости, многие часто удивляются некоторым отрицательным результатам. Например, ряд Фурье непрерывной T-периодической функции не обязан сходиться поточечно. Принцип равномерной ограниченности дает простое неконструктивное доказательство этого факта. В 1922 году Андрей Колмогоров опубликовал статью под названием «Une série de Fourier Lebesgue divergente presque partout», в которой он привел пример функции, интегрируемой по Лебегу, ряд Фурье которой расходится почти всюду. Позже он построил пример интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится везде.