Кіріспе
Математикада сүзгілеу – берілген алгебралық құрылымның субобъектілерінің индекстелген отбасы, мұнда индексі белгілі бір толық реттелген индекс жиынтығы бойынша өтеді, және егер , онда . Егер индекс белгілі бір стохастикалық процестің уақыт параметрі болса, онда сүзгілеуді стохастикалық процесс туралы барлық тарихи, бірақ болашақ емес ақпаратты білдіретіндей түсінуге болады, ал алгебралық құрылым уақыт өте келе күрделене түседі. Сондықтан, сүзгілеуге бейімделген процесс «алдын ала болжамайтын» деп те аталады, себебі ол «болашақты көре алмайды». Кейде, сүзгіленген алгебрада сияқты, белгілі бір операцияларға қатысты субальгебралар болуы керек (мысалы, векторлық қосу), бірақ басқа операцияларға қатысты емес (мысалы, көбейту), тек қана талапты қанағаттандыратын , мұнда индекс жиынтығы натурал сандар; бұл дәрежелі алгебрамен салыстырылады. Кейде сүзгілеулердің қосындысының толық болуына қосымша талап қойылады, немесе (жалпы жағдайларда, қосынды түсінігі мағынасыз болғанда) -нің тікелей лимітінен каноникалық гомоморфизм изоморфизм болып табылады. Бұл талапты қабылдау немесе қабылдамау әдетте мәтін авторына байланысты және көбінесе нақты айтылады. Осы мақалада бұл талап қойылмайды. Сондай-ақ, төмендеу сүзгілеу түсінігі бар, оның қанағаттандыруы қажет (ал кейде оның орнына). Бұл жерде де «сүзгілеу» сөзін қалай түсіну керектігі жағдайға байланысты. Төмендеу сүзгілеуін косүзгілеулердің (кофильтрациялардың) қос түсінігімен (олар субобъектілер емес, үлестік объектілерден тұрады) шатастыруға болмайды. Сүзгілеулер абстрактілік алгебрада, гомологиялық алгебрада (олар спектралдық тізбектермен маңызды байланыста) және σ-алгебраларының ұялы тізбектері үшін өлшемдер теориясы мен ықтималдықтар теориясында кеңінен қолданылады. Функционалдық талдау мен сандық талдауда әдетте басқа терминология қолданылады, мысалы, кеңістіктердің шкаласы немесе ұялы кеңістіктер.
if in , then
If the index is the time parameter of some stochastic process, then the filtration can be interpreted as representing all historical but not future information available about the stochastic process, with the algebraic structure gaining in complexity with time. Hence, a process that is adapted to a filtration is also called non anticipating, because it cannot "see into the future". Sometimes, as in a filtered algebra, there is instead the requirement that the be subalgebras with respect to some operations (say, vector addition), but not with respect to other operations (say, multiplication) that satisfy only , where the index set is the natural numbers; this is by analogy with a graded algebra. Sometimes, filtrations are supposed to satisfy the additional requirement that the union of the be the whole , or (in more general cases, when the notion of union does not make sense) that the canonical homomorphism from the direct limit of the to is an isomorphism. Whether this requirement is assumed or not usually depends on the author of the text and is often explicitly stated. This article does not impose this requirement. There is also the notion of a descending filtration, which is required to satisfy in lieu of (and, occasionally, instead of ). Again, it depends on the context how exactly the word "filtration" is to be understood. Descending filtrations are not to be confused with the dual notion of cofiltrations (which consist of quotient objects rather than subobjects). Filtrations are widely used in abstract algebra, homological algebra (where they are related in an important way to spectral sequences), and in measure theory and probability theory for nested sequences of σ algebras. In functional analysis and numerical analysis, other terminology is usually used, such as scale of spaces or nested spaces.
Топтар
Алгебрада сүзгілер әдетте , жаратылыс нөмірлері жиыны арқылы индекстеледі. Топтың сүзгісі – бұл нормальды кіші топтардың тізбегі (яғни, кез келген үшін ). «Сүзгілеу» сөзінің осы қолданылуы біздің «төмендеу сүзгісіне» сәйкес екенін ескеріңіз. Егер топ пен сүзгі берілген болса, онда сүзгіге байланысты деп аталатын топта топологияны анықтаудың табиғи жолы бар. Бұл топологияның базасы – сүзгіде пайда болатын барлық кіші топтардың косеттерінің жиыны, яғни, топтың ішкі жиыны ашық деп есептеледі, егер ол , түріндегі жиындардың бірігуі болса, мұнда және – жаратылыс саны. Топтағы сүзгіге байланысты топология осы топты топологиялық топқа айналдырады. Топтағы сүзгіге байланысты топология Хаусдорфтық болады, егер және тек қана егер екі сүзгі және топта анықталған болса, онда бірінші топтың көшірмесіне берілген топология және екіншісіне берілген топологиядағы сәйкестік картасы үздіксіз болса, және тек қана егер кез келген үшін осындай болса, яғни, егер және тек қана егер сәйкестік картасы 1-де үздіксіз болса. Атап айтқанда, екі сүзгі бірдей топологияны анықтайды, егер және тек қана егер біреуінде пайда болатын кез келген кіші топ үшін екіншісінде одан кіші немесе тең кіші топ болса.
If two filtrations and are defined on a group , then the identity map from to , where the first copy of is given the topology and the second the topology, is continuous if and only if for any there is an such that , that is, if and only if the identity map is continuous at 1. In particular, the two filtrations define the same topology if and only if for any subgroup appearing in one there is a smaller or equal one appearing in the other.
Сақиналар мен модульдер: төменгі сүзгілеу
Сақина және модульді қарастыра отырып, төмендеу сүзгілеуі – субмодульдердің кеміту тізбегі болып табылады. Осылайша, бұл топтардағы ұғымның ерекше жағдайы, қосымша талап ретінде субтоптардың субмодульдер болуы керек. Қатысты топология топтар үшін анықталғандай анықталады. Маңызды ерекше жағдай – *p*-адық топология (немесе *p*-адық, т.б.): *R* коммутативті сақина болсын, ал *I* – *R*-дың идеалы. *M* модуль берілгенде, *M*-ның субмодульдерінің тізбегі *M*-ның сүзгілеуін құрайды (*p*-адық сүзгілеу). *M*-дағы *p*-адық топология – осы сүзгілеуге қатысты топология. Егер *M* тек сақинаның өзі болса, онда біз сақинадағы *p*-адық топологияны анықтадық.
When is given the adic topology, becomes a topological ring. If an module is then given the adic topology, it becomes a topological module, relative to the topology given on .
Егер сақинаға *p*-адық топология берілсе, ол топологиялық сақинаға айналады. Егер модульге *p*-адық топология берілсе, ол сақинадағы топологиялық модульге айналады.
When is given the adic topology, becomes a topological ring. If an module is then given the adic topology, it becomes a topological module, relative to the topology given on .
Сақиналар мен модульдер: жоғарылай сүзгілеу
Жүзік пен модуль берілген жағдайда, өсу тізбегі – бұл субмодульдердің үстемелі тізбегі. Атап айтқанда, егер жүзік өріс болса, онда векторлық кеңістіктің өсу тізбегі – векторлық ішкі кеңістіктердің үстемелі тізбегі болады. Тулар – мұндай тізбектердің маңызды класы.
Жинақтар
Жинақтың максималды сүзгісі жиынның реттелуімен (пермутациясымен) эквивалентті. Мысалы, сүзгілеу бір элементі бар өріс тұрғысынан қарағанда, жиынның реттелуі максималды туға (векторлық кеңістіктегі сүзгілеу) сәйкес келеді, жиынды бір элементі бар өріс үстіндегі векторлық кеңістік ретінде қарастыра отырып.