Введение

В математике фильтрация — это индексированное семейство субобъектов заданной алгебраической структуры, где индекс пробегает некоторое вполне упорядоченное множество индексов, при условии, что если в , то . Если индекс является параметром времени некоторого стохастического процесса, то фильтрация может быть интерпретирована как представление всей исторической, но не будущей информации, доступной о стохастическом процессе, при этом алгебраическая структура усложняется с течением времени. Следовательно, процесс, адаптированный к фильтрации, также называется непредсказуемым, поскольку он не может "видеть в будущее". Иногда, как в фильтрованной алгебре, требуется, чтобы были подалгебрами относительно некоторых операций (например, сложения векторов), но не относительно других операций (например, умножения), которые удовлетворяют только , где множество индексов — натуральные числа; это аналогично градуированной алгебре. Иногда фильтрации должны удовлетворять дополнительному требованию, чтобы объединение всех было равно всему , или (в более общих случаях, когда понятие объединения не имеет смысла), чтобы канонический гомоморфизм из прямой границы в был изоморфизмом. Предполагается ли это требование или нет, обычно зависит от автора текста и часто указывается явно. В данной статье это требование не накладывается. Существует также понятие убывающей фильтрации, которая должна удовлетворять вместо (и, иногда, вместо ). Опять же, точное понимание слова "фильтрация" зависит от контекста. Убывающие фильтрации не следует путать с двойственным понятием кофильтраций (которые состоят из фактор-объектов, а не субобъектов). Фильтрации широко используются в абстрактной алгебре, гомологической алгебре (где они тесно связаны со спектральными последовательностями), а также в теории меры и теории вероятностей для вложенных последовательностей σ-алгебр. В функциональном анализе и численном анализе обычно используется другая терминология, такая как шкала пространств или вложенные пространства.

Группы

В алгебре фильтрации обычно индексируются ℕ, множеством натуральных чисел. Фильтрация группы G является тогда вложенной последовательностью нормальных подгрупп G (то есть для любого n имеем Gn ⊆ Gn-1). Следует отметить, что это использование слова "фильтрация" соответствует нашей "убывающей фильтрации". Для группы G и фильтрации на ней существует естественный способ определения топологии на G, которая называется ассоциированной с фильтрацией. Базисом для этой топологии является множество всех классов по модулю подгрупп, входящих в фильтрацию, то есть подмножество G определяется как открытое, если оно является объединением множеств вида gGn, где g ∈ G и n – натуральное число. Топология, ассоциированная с фильтрацией на группе G, делает G топологической группой. Топология, ассоциированная с фильтрацией на группе G, является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда пересечение всех подгрупп фильтрации тривиально. Если две фильтрации F1 и F2 определены на группе G, то тождественное отображение из G в G, где первая копия G снабжена топологией, индуцированной F1, а вторая – топологией, индуцированной F2, непрерывно тогда и только тогда, когда для любого g ∈ G существует n такое, что gGn ⊆ Un, где Un – открытое множество из F2, то есть, если и только если тождественное отображение непрерывно в единице. В частности, две фильтрации определяют одну и ту же топологию, если и только если для любой подгруппы, входящей в одну фильтрацию, существует меньшая или равная подгруппа, входящая в другую.

Кольца и модули: нисходящие фильтрации

При заданном кольце и модуле, нисходящая фильтрация модуля — это убывающая последовательность подмодулей. Таким образом, это частный случай понятия фильтрации для групп, с дополнительным условием, что подгруппы являются подмодулями. Соответствующая топология определяется аналогично для групп. Важным частным случаем является так называемая -адическая топология (или -адическая и т.д.): пусть является коммутативным кольцом, а — идеалом в . Для заданного -модуля последовательность подмодулей образует фильтрацию ( -адическую фильтрацию). -адическая топология на — это топология, ассоциированная с этой фильтрацией. Если — это само кольцо, то мы определили -адическую топологию на .

Когда наделяется -адической топологией, оно становится топологическим кольцом. Если -модуль наделяется -адической топологией, он становится топологическим -модулем относительно заданной на топологии.

Кольца и модули: восходящая фильтрация

При заданном кольце и модуле, восходящая фильтрация — это возрастающая последовательность подмодулей. В частности, если является полем, то восходящая фильтрация векторного пространства — это возрастающая последовательность векторных подпространств. Флаги являются одним из важных классов таких фильтраций.

Набор

Максимальная фильтрация множества эквивалентна упорядочению (перестановке) множества. Например, фильтрация соответствует упорядочению . С точки зрения поля с одним элементом, упорядочение множества соответствует максимальному флагу (фильтрации на векторном пространстве), рассматривая множество как векторное пространство над полем с одним элементом.