Кіріспе
Квадраттық теңдеудің шешімін беретін формула. Элементар алгебрада квадраттық формула – квадраттық теңдеудің шешімдерін сипаттайтын жабық түрдегі өрнек. Квадраттық теңдеулерді шешудің басқа тәсілдері, мысалы, толық квадратқа келтіру, да осы шешімдерді береді. Егер жалпы квадраттық теңдеу 1=\textstyle ax^2 + bx + c = 0 түрінде берілсе, мұнда x – белгісіз шама, ал a, b және c – белгілі нақты немесе комплекс сандар (a ≠ 0), онда теңдеуді қанағаттандыратын x-тің мәндері, яғни тамырлар немесе нөлдер, квадраттық формула арқылы табылады:
In elementary algebra, the quadratic formula is a closed form expression describing the solutions of a quadratic equation. Other ways of solving quadratic equations, such as completing the square, yield the same solutions. Given a general quadratic equation of the form 1=\textstyle ax^2 + bx + c = 0, with x representing an unknown, and coefficients a, b, and c representing known real or complex numbers with a \neq 0, the values of x satisfying the equation, called the roots or zeros, can be found using the quadratic formula,
where the plus–minus symbol "\pm" indicates that the equation has two roots. Written separately, these are:
The quantity 1=\textstyle \Delta = b^2 4ac is known as the discriminant of the quadratic equation. If the coefficients a, b, and c are real numbers then when \Delta > 0, the equation has two distinct real roots; when 1= \Delta = 0, the equation has one repeated real root; and when \Delta < 0, the equation has no real roots but has two distinct complex roots, which are complex conjugates of each other. Geometrically, the roots represent the x values at which the graph of the quadratic function 1=\textstyle y = ax^2 + bx + c, a parabola, crosses the x axis: the graph's x intercepts. The quadratic formula can also be used to identify the parabola's axis of symmetry.
мұндағы «±» белгісі теңдеудің екі тамыры бар екенін көрсетеді. Жеке-жеке жазылғанда, олар:
In elementary algebra, the quadratic formula is a closed form expression describing the solutions of a quadratic equation. Other ways of solving quadratic equations, such as completing the square, yield the same solutions. Given a general quadratic equation of the form 1=\textstyle ax^2 + bx + c = 0, with x representing an unknown, and coefficients a, b, and c representing known real or complex numbers with a \neq 0, the values of x satisfying the equation, called the roots or zeros, can be found using the quadratic formula,
where the plus–minus symbol "\pm" indicates that the equation has two roots. Written separately, these are:
The quantity 1=\textstyle \Delta = b^2 4ac is known as the discriminant of the quadratic equation. If the coefficients a, b, and c are real numbers then when \Delta > 0, the equation has two distinct real roots; when 1= \Delta = 0, the equation has one repeated real root; and when \Delta < 0, the equation has no real roots but has two distinct complex roots, which are complex conjugates of each other. Geometrically, the roots represent the x values at which the graph of the quadratic function 1=\textstyle y = ax^2 + bx + c, a parabola, crosses the x axis: the graph's x intercepts. The quadratic formula can also be used to identify the parabola's axis of symmetry.
1=\textstyle \Delta = b^2 – 4ac саны квадраттық теңдеудің дискриминанты деп аталады. Егер a, b және c коэффициенттері нақты сандар болса, онда \Delta > 0 болғанда теңдеудің екі әртүрлі нақты тамыры болады; 1= \Delta = 0 болғанда теңдеудің бір қайталанатын нақты тамыры болады; ал \Delta < 0 болғанда теңдеудің нақты тамыры болмайды, бірақ екі әртүрлі комплекс тамыры болады, олар бір-біріне комплекстік конъюгаттар. Геометриялық тұрғыдан алғанда, тамырлар – квадраттық функцияның графигі 1=\textstyle y = ax^2 + bx + c, парабола, x осімен қандай нүктелерде қиылысатынын көрсетеді: графиктің x осімен қиылысу нүктелері. Квадраттық формула параболаның симметрия осін анықтау үшін де қолданылуы мүмкін.
In elementary algebra, the quadratic formula is a closed form expression describing the solutions of a quadratic equation. Other ways of solving quadratic equations, such as completing the square, yield the same solutions. Given a general quadratic equation of the form 1=\textstyle ax^2 + bx + c = 0, with x representing an unknown, and coefficients a, b, and c representing known real or complex numbers with a \neq 0, the values of x satisfying the equation, called the roots or zeros, can be found using the quadratic formula,
where the plus–minus symbol "\pm" indicates that the equation has two roots. Written separately, these are:
The quantity 1=\textstyle \Delta = b^2 4ac is known as the discriminant of the quadratic equation. If the coefficients a, b, and c are real numbers then when \Delta > 0, the equation has two distinct real roots; when 1= \Delta = 0, the equation has one repeated real root; and when \Delta < 0, the equation has no real roots but has two distinct complex roots, which are complex conjugates of each other. Geometrically, the roots represent the x values at which the graph of the quadratic function 1=\textstyle y = ax^2 + bx + c, a parabola, crosses the x axis: the graph's x intercepts. The quadratic formula can also be used to identify the parabola's axis of symmetry.
Басқа деривациялар
Кез келген жалпы әдіс немесе квадрат теңдеулерді шешуге арналған алгоритм, символдық коэффициенттері бар теңдеуге қолданылып, квадрат теңдеу формуласына баламалы жабық түрдегі өрнек шығаруға мүмкіндік береді. Басқа әдістер кейде толық квадратқа келтіруден оңайырақ болып келеді және математиканың басқа салаларына құнды түсініктер ұсынуы мүмкін.
Тарихи дамуы
Квадраттық теңдеулерді шешудің алғашқы әдістері геометриялық болды. Бабылдың клинопись тақталарында квадраттық теңдеулерді шешуге келтірілетін мәселелер кездеседі. Мысырлық Берлин папирусы, Орта Мемлекет (б.з.д. 2050–1650 жылдар) кезеңіне жатады және екі мүшелі квадраттық теңдеудің шешімін қамтиды. Грек математигі Евклид (б.з.д. шамамен 300 жыл) өзінің «Элементтер» кітабының 2-ші кітабында квадраттық теңдеулерді шешу үшін геометриялық әдістерді қолданды, бұл – ықпалды математикалық трактат. «Арифметика» еңбегінде грек математигі Диофант (б.з.д. шамамен 250 жыл) Евклидтің геометриялық алгебрасынан гөрі танылатын алгебралық әдіспен квадраттық теңдеулерді шешті. Оның шешімі тек бір түбірді береді, тіпті екі түбір де оң болған жағдайда да. Үнді математигі Брахмагупта өзінің «Брахмасфутасиддханта» трактатында (шамамен 628 жыл) квадраттық теңдеудің бір түбірін табудың жалпы әдісін енгізді, ол сол кездегі стильде сөздермен жазылған, бірақ қазіргі символдық формулаға шамамен тең. Оның 1=\textstyle ax^2 + bx = c квадраттық теңдеуін шешу жолы былай болды: «Абсолюттік санды төрт еселенген [квадраттың коэффициентіне] көбейтіп, [орта мүшенің коэффициентінің] квадратын қосыңыз; содан кейін алынған санның квадрат түбірінен [орта мүшенің коэффициентін] алып, оны [квадраттың коэффициентінің] екі еселенген мәніне бөліңіз – сонда мән табылады». Қазіргі нотацияда бұл 1=\textstyle x = \bigl(\sqrt{c \cdot 4a + b^2} - b\bigr) \big/ 2a деп жазылуы мүмкін. Үнді математигі Шридхара (8–9 ғасырлар) Бхаскара II-нің алгебра бойынша жоғалған еңбегінде келтірілген, квадраттық теңдеулерді шешу үшін ұқсас алгоритмді ұсынды. Қазіргі заманғы квадраттық формула кейде Үндістанда Шридхарачарья формуласы деп аталады. 9 ғасырдың парсы математигі Мұхаммед ибн Муса әл-Хорезми квадраттық теңдеулерді алгебралық жолмен шешті. Барлық жағдайларды қамтитын квадраттық формуланы алғаш рет 1594 жылы Саймон Стевин тапты. 1637 жылы Рене Декарт «Геометрия» еңбегін жариялады, онда бізге белгілі формадағы квадраттық формуланың ерекше жағдайлары келтірілген.
Геометриялық мән
Координаттық геометрия тұрғысынан алғанда, оське сәйкестендірілген парабола – (x, y) координаттары y = ax² + bx + c түріндегі екінші дәрежелі полиномның графигі болып табылатын қисық, мұнда a, b және c – a ≠ 0 шартына қанағаттандыратын тұрақты коэффициенттер. Геометриялық тұрғыдан алғанда, квадрат теңдеуінің түбірі параболаның x осімен қиылысатын (x, 0) нүктелерін анықтайды. Бұдан бөлек, оны екі бөлікке жіктеуге болады.
Бірінші бөлік симметрия осін сипаттайды, ол x = b / 2a түрінде беріледі. Екінші бөлік, √ (b² - 4ac) / 2a, түбірлердің симметрия осінен қашықтығын көрсетеді. Егер параболаның тобы x осінде жатса, онда сәйкес теңдеу симметрия осінде бір ғана қайталанатын түбірге ие болады, ал бұл қашықтық бөлігі нөлге тең болады; алгебралық тұрғыдан алғанда, дискриминант b² - 4ac = 0 теңдігі орындалады. Егер дискриминант оң болса, онда параболаның тобы x осінде болмайды, бірақ парабола x осі бағытында ашылады, оны екі рет кесіп өтеді, сондықтан сәйкес теңдеудің екі нақты түбірі болады. Егер дискриминант теріс болса, онда парабола x осімен қиылыспай, кері бағытта ашылады және теңдеудің нақты түбірі жоқ; мұндай жағдайда екі кешенді түбірлер бір-біріне конъюгат болады, олардың нақты бөлігі симметрия осінің x координатасына тең.
Өлшеміне талдау
Егер a, b және/немесе c тұрақтыларының өлшем бірлігі болмаса, онда x және \tfrac ba шамаларының өлшем бірлігі бірдей болуы керек, себебі \textstyle ax^2 және bx мүшелерінің өлшем бірлігі сәйкес келеді. Осыған сәйкес логика бойынша, c коэффициентінің өлшем бірлігі x-тің өлшем бірлігіне қарамастан \tfrac{b^2}{a} өлшем бірлігімен сәйкес болуы керек. Бұл физикалық шамалардың квадраттық теңдеуі дұрыс құрастырылғанын тексеруге пайдалы құрал болуы мүмкін.