Формула корней квадратного уравнения

Введение

Формула, дающая решения квадратного уравнения

В элементарной алгебре квадратичная формула — это выражение в замкнутой форме, описывающее решения квадратного уравнения. Другие способы решения квадратных уравнений, такие как выделение полного квадрата, дают те же решения. Для общего квадратного уравнения вида 1=\textstyle ax^2 + bx + c = 0, где x обозначает неизвестное, а коэффициенты a, b и c представляют собой известные действительные или комплексные числа, причём a \neq 0, значения x, удовлетворяющие уравнению, называемые корнями или нулями, можно найти с помощью квадратичной формулы:

где символ «±» указывает на то, что уравнение имеет два корня. Если записать их отдельно, то они будут следующими:

Величина 1=\textstyle \Delta = b^2 - 4ac известна как дискриминант квадратного уравнения. Если коэффициенты a, b и c являются действительными числами, то при \Delta > 0 уравнение имеет два различных действительных корня; при 1= \Delta = 0 уравнение имеет один кратный действительный корень; и при \Delta < 0 уравнение не имеет действительных корней, но имеет два различных комплексных корня, являющихся комплексно сопряжёнными. Геометрически корни представляют собой значения x, при которых график квадратичной функции 1=\textstyle y = ax^2 + bx + c, парабола, пересекает ось x: точки пересечения графика с осью x. Квадратичная формула также может быть использована для определения оси симметрии параболы.

Другие производные

Любой общий метод или алгоритм решения квадратных уравнений применим к уравнению с символическими коэффициентами и может быть использован для вывода выражения в замкнутой форме, эквивалентного формуле для решения квадратных уравнений. Альтернативные методы иногда оказываются проще, чем метод выделения полного квадрата, и могут дать ценные сведения в других областях математики.

Историческое развитие

Самые ранние методы решения квадратных уравнений были геометрическими. Вавилонские клинописные таблички содержат задачи, сводимые к решению квадратных уравнений. Египетский Берлинский папирус, датируемый периодом Среднего царства (2050 г. до н.э. – 1650 г. до н.э.), содержит решение квадратного уравнения с двумя слагаемыми. Греческий математик Евклид (ок. 300 г. до н.э.) использовал геометрические методы для решения квадратных уравнений в Книге 2 своих «Начал», влиятельного математического трактата. Правила для квадратных уравнений встречаются в китайском трактате «Девять глав о математическом искусстве» (ок. 200 г. до н.э.). В своей работе «Арифметика» греческий математик Диофант (ок. 250 г. н.э.) решал квадратные уравнения методом, более напоминающим алгебраический, чем геометрическая алгебра Евклида. Его решение дает только один корень, даже если оба корня положительны. Индийский математик Брахмагупта включил в свой трактат «Брахмасфутасиддханта» (ок. 628 г. н.э.) общий метод нахождения одного корня квадратного уравнения, изложенный словами в стиле того времени, но в большей или меньшей степени эквивалентный современной символической формуле. Его решение квадратного уравнения 1 = \textstyle ax^2 + bx = c выглядело следующим образом: «К абсолютному числу, умноженному на четыре раза [коэффициент] при x^2, прибавить квадрат [коэффициента] при x; квадратный корень из этого, уменьшенный на [коэффициент] при x, деленный на два раза [коэффициент] при x^2, и будет значение». В современной записи это можно представить как 1 = \textstyle x = \bigl(\sqrt{c \cdot 4a + b^2} - b\bigr) \big/ 2a. Индийский математик Шридхара (VIII–IX века) разработал аналогичный алгоритм для решения квадратных уравнений в ныне утерянной работе по алгебре, процитированной Бхаскарой II. Современная формула для решения квадратных уравнений иногда называется формулой Шридхарачарьи в Индии. Персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (IX век) решал квадратные уравнения алгебраически. Формула для решения квадратных уравнений, охватывающая все случаи, была впервые получена Симоном Стевином в 1594 году. В 1637 году Рене Декарт опубликовал «Геометрию», содержащую частные случаи формулы для решения квадратных уравнений в том виде, в котором мы знаем ее сегодня.

The earliest methods for solving quadratic equations were geometric. Babylonian cuneiform tablets contain problems reducible to solving quadratic equations. The Egyptian Berlin Papyrus, dating back to the Middle Kingdom (2050 BC to 1650 BC), contains the solution to a two term quadratic equation. The Greek mathematician Euclid (circa 300 BC) used geometric methods to solve quadratic equations in Book 2 of his Elements, an influential mathematical treatise Rules for quadratic equations appear in the Chinese The Nine Chapters on the Mathematical Art circa 200 BC. In his work Arithmetica, the Greek mathematician Diophantus (circa 250 AD) solved quadratic equations with a method more recognizably algebraic than the geometric algebra of Euclid. His solution gives only one root, even when both roots are positive. The Indian mathematician Brahmagupta included a generic method for finding one root of a quadratic equation in his treatise Brāhmasphuṭasiddhānta (circa 628 AD), written out in words in the style of the time but more or less equivalent to the modern symbolic formula. His solution of the quadratic equation 1=\textstyle ax^2 + bx = c was as follows: "To the absolute number multiplied by four times the [coefficient of the] square, add the square of the [coefficient of the] middle term; the square root of the same, less the [coefficient of the] middle term, being divided by twice the [coefficient of the] square is the value." In modern notation, this can be written 1=\textstyle x = \bigl(\sqrt{c \cdot 4a + b^2} b\bigr) \big/ 2a The Indian mathematician Śrīdhara (8th–9th century) came up with a similar algorithm for solving quadratic equations in a now lost work on algebra quoted by Bhāskara II. The modern quadratic formula is sometimes called Sridharacharya's formula in India. The 9th century Persian mathematician Muḥammad ibn Mūsā al Khwārizmī solved quadratic equations algebraically. The quadratic formula covering all cases was first obtained by Simon Stevin in 1594. In 1637 René Descartes published La Géométrie containing special cases of the quadratic formula in the form we know today.

Геометрическое значение

В терминах координатной геометрии, парабола, выровненная по осям, представляет собой кривую, координаты которой (x, y) являются графиком многочлена второй степени вида 1=\textstyle y = ax^2 + bx + c, где a, b и c – действительные постоянные коэффициенты, причем a ≠ 0. Геометрически, квадратное уравнение определяет точки (x, 0) на графике, в которых парабола пересекает ось x. Кроме того, его можно разложить на два слагаемых.

Первое слагаемое описывает ось симметрии, прямую 1= x = \tfrac{b}{2a}. Второе слагаемое, \textstyle \sqrt{b^2 - 4ac}\big/ 2a, дает расстояние корней от оси симметрии. Если вершина параболы лежит на оси x, то соответствующее уравнение имеет единственный повторяющийся корень на оси симметрии, и это расстояние равно нулю; алгебраически, дискриминант 1=\textstyle b^2 - 4ac = 0. Если дискриминант положителен, то вершина не лежит на оси x, но парабола открывается в направлении оси x, пересекая ее дважды, поэтому соответствующее уравнение имеет два действительных корня. Если дискриминант отрицателен, то парабола открывается в противоположном направлении, не пересекая ось x, и уравнение не имеет действительных корней; в этом случае два комплексных корня будут комплексно сопряженными, действительная часть которых равна значению x оси симметрии.

Размерный анализ

Если константы a, b и/или c имеют размерность, то величины x и \tfrac ba должны иметь одинаковые единицы измерения, поскольку члены ax² и bx согласованы по единицам измерения. По той же логике, коэффициент c должен иметь те же единицы измерения, что и \tfrac{b²}{a}, независимо от единиц измерения x. Это может быть полезным инструментом для проверки правильности составления квадратичного выражения, содержащего физические величины.