Гүлшеңбер қисықтарының топологиялық қолданысы

Кіріспе

Көп бөлікті жазық қисық

Топологиялық қолданысы

Математикада, роза немесе родонея қисығы – полярлық координаттарда сызылатын, фазалық бұрышы жоқ косинус немесе синус функцияларымен анықталатын синусоид. Роза қисықтарын немесе "родонея" деп итальяндық математик Гидо Гранди 1723 және 1728 жылдар аралығында зерттеген.

Жалпы қасиеттері

Розалар оларды сипаттайтын синусоидалардың қасиеттерімен тікелей байланысты.

Жапырақшалары

Розаның графигі жапырақшалардан тұрады. Гүлжапырақ – розаны анықтайтын синусоиданың жарты циклының графигімен қалыптасқан пішін. (Цикл – синусоиданың бір кезеңін құрайтын бөлігі, ол оң жарты циклден тұрады, бұл r ≥ 0 және созылған нүктелердің үздіксіз жиынтығы, ал теріс жарты цикл – бұл r ≤ 0 болатын екінші жартысы.) Әрбір жапырақшаның пішіні бірдей, өйткені жарты циклдің графиктері бірдей пішінде болады. Пішін (a,0) нүктесінде ең жоғарғы нүктесі бар оң жарты цикл арқылы беріледі (бұл бұрыштық аралықпен шектеледі). Жапырақша полярлық оске қарай симметриялы. Барлық басқа жапырақшалар – бұл жапырақшаның полюс бойынша айналуы, соның ішінде a және k үшін бірдей мәндері бар синус функциясымен көрсетілген розалар үшін де. Полярлық координаттардағы нүктелерді сызу ережелеріне сәйкес, теріс жарты циклдегі нүкте оның полярлық бұрышы бойынша сызылмайды, өйткені оның радиалдық координатасы r теріс. Нүкте радиалдық координатасы бар полярлық бұрышқа π радиан қосу арқылы сызылады. Осылайша, розаның графигінде оң және теріс жарты циклдер сәйкес келуі мүмкін. Сонымен қатар, розалар шеңберге сыйымды. Синусоиданың T кезеңі 4π-тен кем немесе тең болғанда, жапырақша пішіні бір жабық контур болып табылады. Бір контур пайда болады, өйткені полярлық сызбаның бұрыштық аралығы 2π және жарты циклдің бұрыштық ені 2π-ден кем немесе тең. T > 4π (немесе ) болғанда, жарты циклдің сызбасын полюстен полюс айналасында бірнеше айналыммен спираль тәрізді шығып, сызба жазылған шеңберге жеткенге дейін, ол полюске кері спиральмен оралып, өзімен-өзі қиылысып, жол бойында бір немесе бірнеше контурларды қалыптастырады. Соның салдарынан, әрбір жапырақша 4π < T ≤ 8π (немесе ) болғанда екі контур, 8π < T ≤ 12π (немесе ) болғанда үш контур және т.б. құрайды. Бір жапырақтан тұратын, бірақ бірнеше контуры бар розалар , т.б. кездездеседі. (Жоғарыдағы суретті қараңыз.) Розаның жапырақтары бұрыштық жиілігі k нөлдік емес бүтін сан болса, бір-бірімен қиылыспайды; әйтпесе, жапырақтары бір-бірімен қиылысады.

Graphs of roses are composed of petals. A petal is the shape formed by the graph of a half cycle of the sinusoid that specifies the rose. (A cycle is a portion of a sinusoid that is one period long and consists of a positive half cycle, the continuous set of points where r ≥ 0 and is long, and a negative half cycle is the other half where r ≤ 0.) The shape of each petal is same because the graphs of half cycles have the same shape. The shape is given by the positive half cycle with crest at (a,0) specified by (that is bounded by the angle interval ). The petal is symmetric about the polar axis. All other petals are rotations of this petal about the pole, including those for roses specified by the sine function with same values for a and k.
Consistent with the rules for plotting points in polar coordinates, a point in a negative half cycle cannot be plotted at its polar angle because its radial coordinate r is negative. The point is plotted by adding π radians to the polar angle with a radial coordinate Thus, positive and negative half cycles can be coincident in the graph of a rose. In addition, roses are inscribed in the circle When the period T of the sinusoid is less than or equal to 4π, the petal's shape is a single closed loop. A single loop is formed because the angle interval for a polar plot is 2π and the angular width of the half cycle is less than or equal to 2π. When T > 4π (or ) the plot of a half cycle can be seen as spiraling out from the pole in more than one circuit around the pole until plotting reaches the inscribed circle where it spirals back to the pole, intersecting itself and forming one or more loops along the way. Consequently, each petal forms two loops when 4π < T ≤ 8π (or ), three loops when 8π < T ≤ 12π (or ), etc. Roses with only one petal with multiple loops are observed for , etc. (See the figure in the introduction section.) A rose's petals will not intersect each other when the angular frequency k is a non zero integer; otherwise, petals intersect one another.

Симметрия

Барлық розалар синусоидтардың симметриялық және периодтық қасиеттеріне байланысты симметрияның бір немесе бірнеше түрін көрсетеді. -арқылы берілген роза полярлық оске ( - сызығы) симметриялы, себебі теңдігі осы екі полярлық теңдеумен берілген розаларды бірдей етеді. -арқылы берілген роза теңдігі осы екі полярлық теңдеумен берілген розаларды бірдей ететіндіктен тік сызыққа симметриялы. Тек кейбір розалар ғана полюске қатысты симметриялы болады. Жеке жапырақшалар полюстен және жапырақшаның төбесінен өтетін сызыққа қатысты симметриялы, бұл негізгі синусоидтың жарты циклының симметриясын көрсетеді. Шекті жапырақшалар санынан тұратын розалар, анықтама бойынша, айналмалы симметриялы, себебі әрбір жапырақша бірдей пішіндес және кезекті жапырақшалар полюс маңында бірдей бұрышқа бұрылады.

Розаның нөлден басқа бүтін сандық мәндері бар

k нөлден өзгеше бүтін сан болса, k жұп болғанда 2k жапырақшасы бар, ал k тақ болғанда k жапырақшасы бар, роза тәрізді қисық пайда болады. Бұл розалардың қасиеттері, бұрыштық жиілігі k-ға тең болатын розалардың ерекше жағдайы болып табылады, мұнда k – рационал сан. Бұл туралы мақаланың келесі бөлімінде талқыланады. Роза, оның барлық шыңдарының радиалдық координатына сәйкес келетін шеңберге сызылған. Полярлық координаттар графигі 0-ден 2π-ге дейінгі полярлық бұрыштармен шектелгендіктен, графикте циклдар көрсетіледі. Қосымша нүктелерді салудың қажеті жоқ, себебі нүктедегі радиалдық координата, нүктедегі радиалдық координатамен бірдей (косинус функциясымен сипатталған розалар үшін екі әртүрлі оң жарты циклдың шыңдары). k жұп болғанда (және нөлден өзгеше), роза 2k жапырақшадан тұрады, олардың әрқайсысы 2π полярлық бұрыштар аралығында орналасқан. Әр шың, шеңберде жатқан нүктеге сәйкес келеді. Бір-бірінен кейін келетін шыңдарды қосатын түзу кесінділері, ортасы полюсте орналасқан және әр шың арқылы өтетін радиусы бар, бірқатар қырлы көпбұрыш құрайды. Розалар, полюс пен шың арқылы өтетін әр сызық бойынша симметриялы болады (жапырақшаның "ортасы" арқылы), ал бір-бірінен кейін келетін жапырақшалардың шыңдары арасындағы полярлық бұрыш радианға тең. Осылайша, бұл розалардың айналу симметриясы 2k реттілікте болады. Розалар, бір-бірінен кейін келетін шыңдар арасындағы бұрышты екіге бөлетін әр сызық бойынша симметриялы болады, бұл жарты циклдің шекараларына және сәйкес көпбұрыштың апофемасына сәйкес келеді. k тақ болғанда, роза k жапырақшадан тұрады, олардың әрқайсысы 2π полярлық бұрыштар аралығындағы шыңға (немесе төменгі нүктеге) сәйкес келеді. Әр шың, шеңберде жатқан нүктеге сәйкес келеді. Бұл розаның оң және теріс жарты циклдары бір-бірімен сәйкес келеді, яғни оларды графиктегенде толық қисық құру үшін тек оң жарты циклдарды немесе тек теріс жарты циклдарды салу жеткілікті. (Сонымен қатар, толық қисықты π радианға тең полярлық бұрыштардың кез келген үздіріссіз аралығын салу арқылы да жасауға болады). Бір-бірінен кейін келетін шыңдарды қосатын түзу кесінділері, тақ санды қырлары бар бірқатар қырлы көпбұрыш құрайды, және сол сияқты: Розалар, полюс пен шың арқылы өтетін әр сызық бойынша симметриялы болады (жапырақшаның ортасы арқылы), ал бір-бірінен кейін келетін жапырақшалардың шыңдары арасындағы полярлық бұрыш радианға тең. Осылайша, бұл розалардың k реттік айналу симметриясы бар. Роза жапырақтары бірін-бірі жаппайды. Розалар, k тақ болғанда k+1 ретті, ал k жұп болғанда 2(k+1) ретті алгебралық қисықтармен сипатталады.

When k is a non zero integer, the curve will be rose shaped with 2k petals if k is even, and k petals when k is odd. The properties of these roses are a special case of roses with angular frequencies k that are rational numbers discussed in the next section of this article. The rose is inscribed in the circle , corresponding to the radial coordinate of all of its peaks. Because a polar coordinate plot is limited to polar angles between 0 and 2π, there are cycles displayed in the graph. No additional points need be plotted because the radial coordinate at is the same value at (which are crests for two different positive half cycles for roses specified by the cosine function). When k is even (and non zero), the rose is composed of 2k petals, one for each peak in the 2π interval of polar angles displayed. Each peak corresponds to a point lying on the circle Line segments connecting successive peaks will form a regular polygon with an even number of vertices that has its center at the pole and a radius through each peak, and likewise:
The roses are symmetric about the pole. The roses are symmetric about each line through the pole and a peak (through the "middle" a petal) with the polar angle between the peaks of successive petals being radians. Thus, these roses have rotational symmetry of order 2k. The roses are symmetric about each line that bisects the angle between successive peaks, which corresponds to half cycle boundaries and the apothem of the corresponding polygon. When k is odd, the rose is composed of the k petals, one for each crest (or trough) in the 2π interval of polar angles displayed. Each peak corresponds to a point lying on the circle These rose's positive and negative half cycles are coincident, which means that in graphing them, only the positive half cycles or only the negative half cycles need to plotted in order to form the full curve. (Equivalently, a complete curve will be graphed by plotting any continuous interval of polar angles that is π radians long such as to .) Line segments connecting successive peaks will form a regular polygon with an odd number of vertices, and likewise:
The roses are symmetric about each line through the pole and a peak (through the middle of a petal) with the polar angle between the peaks of successive petals being radians. Thus, these roses have rotational symmetry of order k.

The rose’s petals do not overlap. The roses can be specified by algebraic curves of order k + 1 when k is odd, and 2(k + 1) when k is even.

Рационалды сандық мәндері бар розалар

Жалпы алғанда, k – қысқартылмайтын бөлшек түріндегі рационал сан болса, мұнда n және d нөлден өзгеше бүтін сандар болса, жапырақшалар саны – бұл өрнектің бөлімі. Яғни, егер n және d тақ болса, жапырақшалар саны n-ге тең, ал әйтпесе 2n-ге тең болады. Егер n және d тақ болса, синусоиданың оң және теріс жарты циклдары беттеседі. Бұл розалардың графигі dπ ұзындығындағы полярлық бұрыштардың кез келген үздіксіз аралығында толықтырылады. Егер n жұп, ал d тақ болса, немесе керісінше, роза 2dπ ұзындығындағы үздіксіз полярлық бұрыш аралығында толық суреттеледі. Сонымен қатар, розалар косинус және синус сипаттамалары бойынша полюске қатысты симметриялы болады. Атап айтқанда, егер n тақ, d жұп болса, бірдей a және k мәндерімен берілген косинус және синус полярлық теңдеулерімен сипатталған розалар беттеседі. Мұндай розалар жұбы үшін, синус функциясымен сипатталған роза, полярлық осьте немесе розаның шыңы косинус функциясымен сипатталған розаның шыңымен сәйкес келеді. (Бұл k-ның нөлден өзгеше бүтін мәндерімен розалар ешқашан беттеспейді дегенді білдіреді.) Роза, барлық шыңдарының радиалдық координатына сәйкес келетін шеңберге ішкі жазылған.

Дюрер жапырағы

Гүлшошасымен кескінделген гүл Дюрер жапырағы деп аталады, неміс суретшісі және гравері Альбрехт Дюрердің құрметіне осылай аталған. Дюрер жапырағы - бұрыштарды үш бөлікке бөлуге қолданылатын трисектрикс қисығы.

Лимасон трисектрисі

Гүлдің бір жапырағы және екі иірі бар роза – бұрыштарды үш бөлікке бөлуге қолданылатын трисектрикс қисықтарының қасиеттеріне ие лимасон трисектриксі болып табылады. (Төмендегі анимацияны қараңыз.)

Рационалды емес сандар үшін мәндері бар розалар

k үшін иррационалды санмен берілген роза қисығының жапырақтары шексіз көп және ешқашан толық аяқталмайды. Мысалы, синусоиданың периоды болады, сондықтан оның полярлық бұрыш аралығында полярлық осьте ең жоғарғы нүктесі бар жапырағы бар; бірақ полярлық теңдеудің анықталу облысында (a,0) координаталарында салынатын басқа полярлық бұрыш жоқ. Жалпы, бұрыштық жиіліктері иррационалды тұрақтылар болатын синусоидалармен сипатталатын розалар тығыз жиынды құрайды (яғни, олар r ≤ a дискісіндегі кез келген нүктеге белгілі бір дәлдікпен жақындап келеді).