Введение
Многолепестковая плоская кривая
Топологическое применение
the topological usage
В математике кривая роза, или родонея, — это синусоида, заданная функцией косинуса или синуса без сдвига по фазе и отображаемая в полярных координатах. Кривые розы, или "родонеи", получили свое название в честь итальянского математика Гидо Гранди, который изучал их в период с 1723 по 1728 год.
Общие свойства
Розы напрямую связаны со свойствами синусоид, которые их описывают.
Лепестки
Графики роз состоят из лепестков. Лепесток — это форма, образованная графиком полуцикла синусоиды, определяющей розу. (Цикл — это часть синусоиды длиной в один период, состоящая из положительного полуцикла, непрерывного множества точек, где r ≥ 0, и отрицательного полуцикла — другой половины, где r ≤ 0.) Форма каждого лепестка одинакова, поскольку графики полуциклов имеют одинаковую форму. Форма определяется положительным полуциклом с максимумом в точке (a, 0), задаваемым (то есть ограниченным угловым интервалом). Лепесток симметричен относительно полярной оси. Все остальные лепестки являются вращениями этого лепестка вокруг полюса, включая розы, заданные синусоидальной функцией с одинаковыми значениями a и k.
Consistent with the rules for plotting points in polar coordinates, a point in a negative half cycle cannot be plotted at its polar angle because its radial coordinate r is negative. The point is plotted by adding π radians to the polar angle with a radial coordinate Thus, positive and negative half cycles can be coincident in the graph of a rose. In addition, roses are inscribed in the circle When the period T of the sinusoid is less than or equal to 4π, the petal's shape is a single closed loop. A single loop is formed because the angle interval for a polar plot is 2π and the angular width of the half cycle is less than or equal to 2π. When T > 4π (or ) the plot of a half cycle can be seen as spiraling out from the pole in more than one circuit around the pole until plotting reaches the inscribed circle where it spirals back to the pole, intersecting itself and forming one or more loops along the way. Consequently, each petal forms two loops when 4π < T ≤ 8π (or ), three loops when 8π < T ≤ 12π (or ), etc. Roses with only one petal with multiple loops are observed for , etc. (See the figure in the introduction section.) A rose's petals will not intersect each other when the angular frequency k is a non zero integer; otherwise, petals intersect one another.
В соответствии с правилами построения точек в полярных координатах, точку в отрицательном полуцикле нельзя построить по её полярному углу, так как её радиальная координата r отрицательна. Точка строится путем добавления π радиан к полярному углу с радиальной координатой. Таким образом, положительные и отрицательные полуциклы могут совпадать на графике розы. Кроме того, розы вписаны в круг. Когда период T синусоиды меньше или равен 4π, форма лепестка представляет собой единую замкнутую петлю. Единая петля образуется, потому что угловой интервал для полярного графика равен 2π, а угловая ширина полуцикла меньше или равна 2π. Когда T > 4π (или), график полуцикла можно рассматривать как спирально выходящий из полюса в более чем один оборот вокруг полюса, пока график не достигнет вписанной окружности, где он спирально возвращается к полюсу, пересекая сам себя и образуя по пути одну или несколько петель. Следовательно, каждый лепесток образует две петли, когда 4π < T ≤ 8π (или), три петли, когда 8π < T ≤ 12π (или) и так далее. Розы с одним лепестком и множественными петлями наблюдаются для и так далее (см. рисунок во введении). Лепестки розы не будут пересекаться, если угловая частота k является ненулевым целым числом; в противном случае лепестки пересекаются.
Consistent with the rules for plotting points in polar coordinates, a point in a negative half cycle cannot be plotted at its polar angle because its radial coordinate r is negative. The point is plotted by adding π radians to the polar angle with a radial coordinate Thus, positive and negative half cycles can be coincident in the graph of a rose. In addition, roses are inscribed in the circle When the period T of the sinusoid is less than or equal to 4π, the petal's shape is a single closed loop. A single loop is formed because the angle interval for a polar plot is 2π and the angular width of the half cycle is less than or equal to 2π. When T > 4π (or ) the plot of a half cycle can be seen as spiraling out from the pole in more than one circuit around the pole until plotting reaches the inscribed circle where it spirals back to the pole, intersecting itself and forming one or more loops along the way. Consequently, each petal forms two loops when 4π < T ≤ 8π (or ), three loops when 8π < T ≤ 12π (or ), etc. Roses with only one petal with multiple loops are observed for , etc. (See the figure in the introduction section.) A rose's petals will not intersect each other when the angular frequency k is a non zero integer; otherwise, petals intersect one another.
Симметрия
Все розы демонстрируют одну или несколько форм симметрии благодаря лежащим в основе симметричным и периодическим свойствам синусоид. Роза, заданная уравнением , симметрична относительно полярной оси (линии ) из-за тождества , которое делает розы, заданные двумя полярными уравнениями, совпадающими. Роза, заданная уравнением , симметрична относительно вертикальной линии из-за тождества , которое делает розы, заданные двумя полярными уравнениями, совпадающими. Симметричны относительно полюса лишь некоторые розы. Отдельные лепестки симметричны относительно линии, проходящей через полюс и вершину лепестка, что отражает симметрию полуцикла лежащей в основе синусоиды. Розы, состоящие из конечного числа лепестков, по определению обладают вращательной симметрией, поскольку каждый лепесток имеет одинаковую форму, а последовательные лепестки повернуты на один и тот же угол относительно полюса.
Розы с целыми значениями, отличными от нуля,
Когда k – ненулевое целое число, кривая будет иметь форму розы с 2k лепестками, если k четное, и k лепестками, если k нечетное. Свойства этих роз являются частным случаем роз с угловыми частотами k, являющимися рациональными числами, которые рассматриваются в следующем разделе этой статьи. Роза вписана в круг, соответствующий радиальной координате всех ее пиков. Поскольку полярный график ограничен полярными углами от 0 до 2π, на графике отображается циклов. Дополнительные точки наносить не требуется, так как радиальная координата в точке имеет то же значение в точке (которые являются пиками для двух различных положительных полуциклов для роз, заданных косинусной функцией). Когда k четное (и ненулевое), роза состоит из 2k лепестков, по одному на каждый пик в интервале 2π полярных углов. Каждый пик соответствует точке, лежащей на окружности . Линейные сегменты, соединяющие последовательные пики, образуют правильный многоугольник с четным числом вершин, центр которого находится в полюсе, а радиус проходит через каждый пик, и аналогично: Розы симметричны относительно полюса. Розы симметричны относительно каждой прямой, проходящей через полюс и пик (через "середину" лепестка), при этом полярный угол между пиками последовательных лепестков составляет радиан. Таким образом, эти розы обладают вращательной симметрией порядка 2k. Розы симметричны относительно каждой прямой, делящей пополам угол между последовательными пиками, что соответствует границам полуцикла и апотеме соответствующего многоугольника. Когда k нечетное, роза состоит из k лепестков, по одному на каждый гребень (или впадину) в интервале 2π полярных углов. Каждый пик соответствует точке, лежащей на окружности . Положительные и отрицательные полуциклы этой розы совпадают, что означает, что при построении графика достаточно изобразить только положительные или только отрицательные полуциклы, чтобы сформировать полную кривую. (Эквивалентно, полную кривую можно построить, изобразив любой непрерывный интервал полярных углов длиной π радиан, например, от до .) Линейные сегменты, соединяющие последовательные пики, образуют правильный многоугольник с нечетным числом вершин, и аналогично: розы симметричны относительно каждой прямой, проходящей через полюс и пик (через середину лепестка), при этом полярный угол между пиками последовательных лепестков составляет радиан. Таким образом, эти розы обладают вращательной симметрией порядка k. Лепестки розы не перекрываются. Розы могут быть заданы алгебраическими кривыми порядка k + 1, когда k нечетное, и 2(k + 1), когда k четное.
The roses are symmetric about the pole. The roses are symmetric about each line through the pole and a peak (through the "middle" a petal) with the polar angle between the peaks of successive petals being radians. Thus, these roses have rotational symmetry of order 2k. The roses are symmetric about each line that bisects the angle between successive peaks, which corresponds to half cycle boundaries and the apothem of the corresponding polygon. When k is odd, the rose is composed of the k petals, one for each crest (or trough) in the 2π interval of polar angles displayed. Each peak corresponds to a point lying on the circle These rose's positive and negative half cycles are coincident, which means that in graphing them, only the positive half cycles or only the negative half cycles need to plotted in order to form the full curve. (Equivalently, a complete curve will be graphed by plotting any continuous interval of polar angles that is π radians long such as to .) Line segments connecting successive peaks will form a regular polygon with an odd number of vertices, and likewise:
The roses are symmetric about each line through the pole and a peak (through the middle of a petal) with the polar angle between the peaks of successive petals being radians. Thus, these roses have rotational symmetry of order k.
The rose’s petals do not overlap. The roses can be specified by algebraic curves of order k + 1 when k is odd, and 2(k + 1) when k is even.
Розы с рациональными числовыми значениями для
В общем случае, когда k – рациональное число, представленное в виде несократимой дроби, где n и d – ненулевые целые числа, число лепестков равно знаменателю этой дроби. Это означает, что число лепестков равно n, если оба числа n и d нечетные, и 2n в противном случае. Если n и d нечетные, то положительные и отрицательные полуволны синусоиды совпадают. График этих роз завершается на любом непрерывном интервале полярных углов длиной dπ. Если n четное, а d нечетное, или наоборот, роза будет полностью построена на непрерывном интервале полярных углов длиной 2dπ. Кроме того, розы симметричны относительно полюса как для косинуса, так и для синуса. Более того, когда n нечетное, а d четное, розы, заданные полярными уравнениями косинуса и синуса с одинаковыми значениями a и k, совпадают. Для такой пары роз роза, заданная синусом, совпадает с гребнем розы, заданной косинусом, на полярной оси либо в точке 0, либо в точке π. (Это означает, что розы и с ненулевыми целыми значениями k никогда не совпадают). Роза вписана в круг, радиус которого равен радиальной координате всех ее вершин.
Фолиум Дюрера
Роза с листьями называется листом Дюрера, в честь немецкого художника и гравера Альбрехта Дюрера. Розы, заданные и , совпадают, хотя в декартовых координатах роза задается как .
Лист Дюрера также является трисектрисой, кривой, которую можно использовать для трисекции углов.
Трисектрикс лимасон
Роза с лимаконом трисектрисой является трисектрисой, обладающей свойством трисектрисных кривых, которое позволяет трисектировать углы. Роза имеет один лепесток с двумя петлями. (Смотрите анимацию ниже.)
Розы с иррациональными числовыми значениями для
Розовая кривая, заданная иррациональным числом для k, имеет бесконечное число лепестков и никогда не замкнется. Например, синусоида имеет период , поэтому у нее есть лепесток в интервале полярного угла с максимумом на полярной оси; однако не существует другого полярного угла в области определения полярного уравнения, который бы отобразился в координатах (a, 0). В целом, розы, заданные синусоидами с угловыми частотами, являющимися иррациональными константами, образуют плотное множество (то есть они могут быть сколь угодно близки к заданию каждой точки в диске r ≤ a).