Еркін топтар математикадағы генераторлар жиынан сөздер құрастыру арқылы анықталады. Универсалды алгебрадағы еркін объектілердің қасиеттері мен қолданысы туралы біліңіз.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математика ұғымы
Mathematics concept
Математикада, берілген S жиынындағы FS еркін тобы S мүшелерінен құралатын барлық сөздерден тұрады, егер олардың теңдігі топ аксиомаларынан шықпаса, екі сөз әртүрлі деп есептеледі (мысалы, st = suu−1t, бірақ s ≠ t−1 s, t, u ∈ S үшін). S мүшелері FS генераторлары деп аталады, ал генераторлардың саны еркін топтың рангі болып табылады. Кез келген G тобы, егер G-нің S жиынының бір бөлігі үшін FS-ке изоморфты болса, яғни G-нің әрбір элементі S-тің шекті санындағы элементтерінің көбейтіндісі түрінде бір ғана жолмен жазыла алса, еркін деп аталады (st = suu−1t сияқты тривиальды өзгерістерді ескермей). Бұл ұғыммен байланысты, бірақ басқаша – еркін абельдік топ; екі ұғым да әмбебап алгебрадан еркін объектінің нақты мысалдары. Сондықтан, еркін топтар олардың әмбебап қасиеттерімен анықталады.
In mathematics, the free group FS over a given set S consists of all words that can be built from members of S, considering two words to be different unless their equality follows from the group axioms (e. g. st = suu−1t but s ≠ t−1 for s,t,u ∈ S). The members of S are called generators of FS, and the number of generators is the rank of the free group. An arbitrary group G is called free if it is isomorphic to FS for some subset S of G, that is, if there is a subset S of G such that every element of G can be written in exactly one way as a product of finitely many elements of S and their inverses (disregarding trivial variations such as st = suu−1t). A related but different notion is a free abelian group; both notions are particular instances of a free object from universal algebra. As such, free groups are defined by their universal property.
Тарих
Еркін топтар алғаш рет гиперболалық геометрияны зерттеуде пайда болды, Фуксиандық топтардың мысалы ретінде (гиперболалық жазықтықта изометриялар арқылы әрекет ететін дискретті топтар). 1882 жылы Уолтер фон Дик бұл топтардың ең қарапайым мүмкін болатын ұсыныстары бар екенін көрсетті. Еркін топтарды алгебралық тұрғыдан зерттеуді 1924 жылы Якоб Нильсен бастады, ол оларға осы атты берді және олардың көптеген негізгі қасиеттерін белгіледі. Макс Дехн топологиямен байланысты екенін түсінді және Нильсен–Шрайер теоремасын толыққанды дәлелдеді. Отто Шрайер 1927 жылы осы нәтиженің алгебралық дәлелін жариялады, ал Курт Ридмайстер 1932 жылы комбинаторлық топология бойынша өзінің кітабында еркін топтарды толыққанды қарастырды. Кейін, 1930 жылдары Вильгельм Магнус еркін топтардың төменгі орталық қатары мен еркін Ли алгебралары арасындағы байланысты ашты.
Free groups first arose in the study of hyperbolic geometry, as examples of Fuchsian groups (discrete groups acting by isometries on the hyperbolic plane). In an 1882 paper, Walther von Dyck pointed out that these groups have the simplest possible presentations. The algebraic study of free groups was initiated by Jakob Nielsen in 1924, who gave them their name and established many of their basic properties. Max Dehn realized the connection with topology, and obtained the first proof of the full Nielsen–Schreier theorem. Otto Schreier published an algebraic proof of this result in 1927, and Kurt Reidemeister included a comprehensive treatment of free groups in his 1932 book on combinatorial topology. Later on in the 1930s, Wilhelm Magnus discovered the connection between the lower central series of free groups and free Lie algebras.
Мысалдар
(Z,+) бүтін сандар тобы 1-ші дәрежелі бос; тудырушы жиын S = {1}. Бүтін сандар сондай-ақ еркін абельдік топ болып табылады, бірақ кез келген дәрежедегі барлық еркін топтар абельдік емес. Екі элементті S жиынындағы еркін топ Банах–Тарски парадоксының дәлелінде кездеседі және онда сипатталған. Екінші жағынан, кез келген маңызды емес шекті топ бос бола алмайды, себебі бос топтың бос тудырушы жиынының элементтері шексіз ретке ие. Алгебралық топологияда k шеңбердің букетінің (бір ғана ортақ нүктесі бар k цикл жиынтығы) негізгі тобы k элементтер жиынындағы бос топ болып табылады.
The group (Z,+) of integers is free of rank 1; a generating set is S = {1}. The integers are also a free abelian group, although all free groups of rank are non abelian. A free group on a two element set S occurs in the proof of the Banach–Tarski paradox and is described there. On the other hand, any nontrivial finite group cannot be free, since the elements of a free generating set of a free group have infinite order. In algebraic topology, the fundamental group of a bouquet of k circles (a set of k loops having only one point in common) is the free group on a set of k elements.
Жалпыға ортақ меншік
FS еркін тобы S жиынтығымен туындайтын әмбебап топ болып табылады. Бұл келесі әмбебап қасиет арқылы формалдануы мүмкін: егер S-тен G тобына кез келген f функциясы берілсе, онда FS → G бірегей гомоморфизмі бар, ол келесі диаграмманы коммутациялық етеді (аталмаған бейнелеу S-тен FS-ге енгізуді білдіреді):
The free group FS is the universal group generated by the set S. This can be formalized by the following universal property: given any function f from S to a group G, there exists a unique homomorphism φ: FS → G making the following diagram commute (where the unnamed mapping denotes the inclusion from S into FS):
Яғни, FS → G гомоморфизмдері S → G функцияларымен бір-бірге сәйкес келеді. Еркін емес топ үшін қатынастардың болуы гомоморфизмдегі генераторлардың мүмкін бейнелеулерін шектейді. Бұл конструктивті анықтамамен қалай байланысты екенін түсіну үшін, S-тен FS-ге бейнелеуді әрбір символды сол символдан тұратын сөзге жіберу деп қарастырыңыз. Берілген f үшін φ құру үшін, ең алдымен φ бос сөзді G тобының бірлік элементіне жібереді және ол S элементтері бойынша f-пен сәйкес болуы керек. Қалған сөздер үшін (бір символдан артық символдардан тұратындар), φ бірегей түрде кеңейтілуі мүмкін, себебі ол гомоморфизм, яғни φ(ab) = φ(a)φ(b). Жоғарыдағы қасиет еркін топтарды изоморфизмге дейін сипаттайды және кейде балама анықтама ретінде қолданылады. Бұл еркін топтардың әмбебап қасиеті деп аталады, ал S жиынтығы FS үшін негіз деп аталады. Еркін топтың негізі бірегей түрде анықталмайды. әмбебап қасиетпен сипатталу – универсалды алгебрадағы еркін объектілердің стандартты ерекшелігі. Категориялар теориясының тілінде, еркін топтың құрылысы (көптеген еркін объектілердің құрылысы сияқты) жиынтықтар категориясынан топтар категориясына дейінгі функтор болып табылады. Бұл функтор топтардан жиынтықтарға дейінгі «ұмыту» функторына сол жақтан қосымша болып табылады.
That is, homomorphisms FS → G are in one to one correspondence with functions S → G. For a non free group, the presence of relations would restrict the possible images of the generators under a homomorphism. To see how this relates to the constructive definition, think of the mapping from S to FS as sending each symbol to a word consisting of that symbol. To construct φ for the given f, first note that φ sends the empty word to the identity of G and it has to agree with f on the elements of S. For the remaining words (consisting of more than one symbol), φ can be uniquely extended, since it is a homomorphism, i. e., φ(ab) = φ(a) φ(b). The above property characterizes free groups up to isomorphism, and is sometimes used as an alternative definition. It is known as the universal property of free groups, and the generating set S is called a basis for FS. The basis for a free group is not uniquely determined. Being characterized by a universal property is the standard feature of free objects in universal algebra. In the language of category theory, the construction of the free group (similar to most constructions of free objects) is a functor from the category of sets to the category of groups. This functor is left adjoint to the forgetful functor from groups to sets.
Тарскидің проблемалары
1945 жылы Альфред Тарски екі немесе одан көп генератордағы еркін топтардың бірінші реттік теориясы бірдей бола ма және бұл теория шешіле ала ма деп сұрады. бірінші сұраққа кез келген екі абельдік емес еркін топтың бірінші реттік теориясы бірдей екенін көрсетіп, екі сұраққа да жауап берді, бұл теорияның шешілетінін көрсетіп. 2011 жылға дейін шешілмеген еркін ықтималдық теориясындағы ұқсас сұрақ, кез келген екі абельдік емес, шекті түрде құрылған еркін топтардың фон Нейман тобының алгебралары изоморфты бола ма дегенді сұрайды.
Around 1945, Alfred Tarski asked whether the free groups on two or more generators have the same first order theory, and whether this theory is decidable. answered the first question by showing that any two nonabelian free groups have the same first order theory, and answered both questions, showing that this theory is decidable. A similar unsolved (as of 2011) question in free probability theory asks whether the von Neumann group algebras of any two non abelian finitely generated free groups are isomorphic.