Введение
Концепция в математике
В математике свободная группа FS над заданным множеством S состоит из всех слов, которые можно построить из элементов S, при этом два слова считаются различными, если их равенство не вытекает из групповых аксиом (например, st = suu−1t, но s ≠ t−1 для s, t, u ∈ S). Элементы S называются образующими FS, а число образующих – рангом свободной группы. Произвольная группа G называется свободной, если она изоморфна FS для некоторого подмножества S из G, то есть существует подмножество S из G, такое, что каждый элемент G может быть представлен единственным образом в виде произведения конечного числа элементов S и их обратных (не учитывая тривиальные преобразования, такие как st = suu−1t). Связанным, но отличным понятием является свободная абелева группа; оба понятия являются частными случаями свободного объекта из универсальной алгебры. Следовательно, свободные группы определяются своим универсальным свойством.
История
Свободные группы впервые возникли в изучении гиперболической геометрии как примеры групп Фукса (дискретных групп, действующих изометриями на гиперболической плоскости). В статье 1882 года Вальтер фон Дик отметил, что эти группы имеют наиболее простые возможные представления. Алгебраическое исследование свободных групп было начато Якобом Нильсеном в 1924 году, который дал им название и установил многие из их основных свойств. Макс Ден осознал связь с топологией и получил первое доказательство полной теоремы Нильсена — Шрайера. Отто Шрайер опубликовал алгебраическое доказательство этого результата в 1927 году, а Курт Рейдемайстер включил всестороннее изложение теории свободных групп в свою книгу 1932 года по комбинаторной топологии. Позднее, в 1930-х годах, Вильгельм Магнус обнаружил связь между нижним центральным рядом свободных групп и свободными алгебрами Ли.
Примеры
Группа (Z,+) целых чисел свободна от ранга 1; генерирующим множеством является S = {1}. Целые числа также являются свободной абелевой группой, хотя все свободные группы ранга больше 1 не являются абелевыми. Свободная группа на множестве из двух элементов S возникает в доказательстве парадокса Банаха — Тарского и описывается там. С другой стороны, любая нетривиальная конечная группа не может быть свободной, поскольку элементы свободного образующего множества свободной группы имеют бесконечный порядок. В алгебраической топологии фундаментальная группа букета из k окружностей (множества k петель, имеющих только одну общую точку) является свободной группой на множестве из k элементов.
Универсальная собственность
Свободная группа FS — универсальная группа, порожденная множеством S. Это можно формализовать следующим универсальным свойством: для любой функции f из S в группу G существует единственный гомоморфизм φ: FS → G, делающий следующую диаграмму коммутативной (где неназванное отображение обозначает включение из S в FS):
То есть, гомоморфизмы FS → G находятся во взаимно однозначном соответствии с функциями S → G. Для не свободной группы наличие соотношений ограничило бы возможные образы порождающих элементов при гомоморфизме. Чтобы понять, как это связано с конструктивным определением, представьте отображение из S в FS как отправку каждого символа в слово, состоящее из этого символа. Для построения φ для заданного f, сначала заметим, что φ отображает пустое слово в единичный элемент G и должно совпадать с f на элементах S. Для остальных слов (состоящих более чем из одного символа) φ можно однозначно продолжить, поскольку это гомоморфизм, то есть φ(ab) = φ(a)φ(b). Указанное свойство характеризует свободные группы с точностью до изоморфизма и иногда используется как альтернативное определение. Оно известно как универсальное свойство свободных групп, а порождающее множество S называется базисом для FS. Базис для свободной группы не определен однозначно. Характеризация универсальным свойством — стандартная черта свободных объектов в универсальной алгебре. На языке теории категорий, построение свободной группы (как и большинство построений свободных объектов) является функтором из категории множеств в категорию групп. Этот функтор является левым сопряженным к забывающему функтору из групп в множества.
Проблемы Тарски
Около 1945 года Альфред Тарски задался вопросом, имеют ли свободные группы на двух или более образующих одинаковую теорию первого порядка, и является ли эта теория разрешимой. Ответил на первый вопрос, показав, что любые две неабелевы свободные группы имеют одну и ту же теорию первого порядка, а затем ответил на оба вопроса, доказав, что эта теория разрешима. Аналогичный нерешенный (по состоянию на 2011 год) вопрос в теории свободной вероятности спрашивает, изоморфны ли алгебры фон Неймана любых двух неабелевых конечно порожденных свободных групп.