Кіріспе

1798 жылы Карл Фридрих Гаусс жазған Disquisitiones Arithmeticae (латын тілінде «Арифметикалық зерттеулер») – сан теориясы бойынша оқулық. Гаусс бұл оқулықты 1798 жылы, 21 жасында латын тілінде жазды, ал 1801 жылы, 24 жасында жариялады. Бұл еңбек сан теориясына революциялық әсер етіп, оны нағыз қатаң және жүйелі ғылымға айналдырды, сондай-ақ қазіргі заманғы сан теориясының негізін қалады. Осы кітабында Гаусс Ферма, Эйлер, Лагранж және Лежандр сияқты көрнекті математиктердің сан теориясы саласындағы еңбектерін жинақтап, үйлестірді, сонымен қатар өзінің терең және жаңа нәтижелерін қосты.

Қолданылу аясы

Дисквизиция элементарлық сандар теориясын да, қазір алгебралық сандар теориясы деп аталатын математиканың бір бөлігін де қамтиды. Гаусс қазіргі алгебраның орталық ұғымы болып табылатын топ туралы түсінікті нақты танымағандықтан, бұл терминді қолданбады. Оның ғылымының атауы "Жоғары арифметика" болды. Гаусс "Дисквизицияларға" жазған алғы сөзінде кітаптың мазмұнын былай сипаттайды:

Гаусс сондай-ақ: "Қиын мәселелерге кезіккенде, оқырмандар осы еңбекке жүгінгенде, түсіндірулерді қысқа болу үшін жиі қысқартып, дәлелдерді толық жазбауға тура келді" деп жазады. ("Quod, in pluribus quaestionibus difficilibus, demonstrationibus syntheticis usus sum, analysinque per quam erutae sunt suppressi, imprimis brevitatis studio tribuendum est, cui quantum fieri poterat consulere oportebat")

Маңыздылық

Дисквизициялар жарыққа шыққанға дейін сандар теориясы оқшауланған теоремалар мен болжамдар жиынтығынан тұрды. Гаусс өзінің алдыңғыларының еңбектерін және өзінің түпнұсқалық жұмыстарын жүйелі құрылымға біріктірді, олқылықтарды жоғалтты, дұрыс емес дәлелдемелерді түзетті және осы тақырыпты көптеген жағынан кеңейтті. Дисквизициялардың логикалық құрылымы (теореманың айтылуы, одан кейін дәлелдеме және соңында салдарлары) кейінгі мәтіндер үшін үлгі болды. Логикалық дәлелдеудің маңыздылығын мойындаған Гаусс көптеген теоремаларды сандық мысалдармен де түсіндірді. Дисквизициялар 19 ғасырдағы басқа еуропалық математиктер үшін, соның ішінде Эрнст Куммер, Петер Густав Лежен Дирихле және Рихард Дедекинд үшін бастама болды. Гаустың көптеген түсіндірмелері, іс жүзінде, оның болашақ зерттеулерінің хабарламалары еді, олардың кейбіреулері жарияланбаған. Олар оның замандастарына қатты түсініксіз болған болуы керек; қазір оларды L функциялары және күрделі көбейту теориясының бастапқы идеяларын қамтитын болып оқуға болады. Дисквизициялардың 20 ғасырда да әсері болды. Мысалы, V бөлімде, 303-бапта Гаусс бастапқы бинарлық квадраттық формалардың сыныптық сандарын есептеу нәтижелерін қорытындылады және 1, 2 және 3 сыныптық саны бар барлық формаларды тапқанын болжады. Бұл кейіннен жұп дискриминант және 1, 2 және 3 сыныптық саны бар жорамал квадраттық сан өрістерін анықтау ретінде түсіндірілді және тақ дискриминант жағдайына дейін кеңейтілді. Кейде «сыныптық сан мәселесі» деп аталатын бұл жалпы сұрақ ақырында 1986 жылы расталды (Гаустың нақты сұрағын Ландау 1902 жылы бірінші сынып үшін растады). VII бөлімде, 358-бапта Гаусс шекті өрістердегі қисықтар үшін Риман гипотезасының алғашқы маңызды емес жағдайы ретінде түсіндірілетін теореманы дәлелдеді (Хассе–Вейль теоремасы).