Введение

1798 учебник Карла Фридриха Гаусса «Disquisitiones Arithmeticae» (лат. «Арифметические исследования») – учебник по теории чисел, написанный Карлом Фридрихом Гаусом на латыни в 1798 году, когда ему было 21 год, и опубликованный в 1801 году, когда ему исполнилось 24 года. Эта работа оказала революционное влияние на теорию чисел, придав ей строгость и систематичность и заложив основу для современной теории чисел. В этой книге Гаусс объединил и систематизировал результаты, полученные такими выдающимися математиками, как Ферма, Эйлер, Лагранж и Лежандр, дополнив их своими глубокими и оригинальными открытиями.

Область применения

Дисквизиции охватывают как элементарную теорию чисел, так и части области математики, называемой теперь алгебраической теорией чисел. Гаус не признавал понятие группы, которое является центральным для современной алгебры, поэтому он не использовал этот термин. Его собственное название для его предмета было Высшая арифметика. В своем предисловии к Disquisitiones Гаус описывает объем книги следующим образом:

Гаус также пишет: "Когда сталкиваешься со многими сложными проблемами, доказательства были опущены ради краткости, когда читатели обращаются к этой работе." ("Quod, in pluribus quaestionibus difficilibus, demonstrationibus syntheticis usus sum, analysinque per quam erutae sunt suppressi, imprimis brevitatis studio tribuendum est, cui quantum fieri poterat consulere oportebat")

Важность

До публикации "Дисквизиций" теория чисел представляла собой собрание изолированных теорем и предположений. Гаусс объединил работы своих предшественников со своими собственными оригинальными исследованиями в систематическую структуру, восполнил пробелы, исправил несостоятельные доказательства и значительно расширил предмет. Логическая структура "Дисквизиций" (формулировка теоремы, за которой следует доказательство, а затем следствия) установила стандарт для последующих работ. Признавая первостепенную важность логического доказательства, Гаусс также иллюстрирует многие теоремы численными примерами. "Дисквизиции" стали отправной точкой для других европейских математиков XIX века, включая Эрнста Куммера, Петера Густава Лежена Дирихле и Рихарда Дедекинда. Многие примечания Гаусса фактически являются анонсами его дальнейших исследований, часть которых осталась неопубликованной. Они, должно быть, казались особенно загадочными его современникам; теперь их можно рассматривать как содержащие зародыши теорий L-функций и комплексного умножения, в частности. "Дисквизиции" продолжали оказывать влияние в XX веке. Например, в разделе V, статье 303, Гаусс обобщил свои вычисления чисел классов собственных примитивных бинарных квадратичных форм и предположил, что нашел все формы с числами классов 1, 2 и 3. Позже это было интерпретировано как определение мнимых квадратичных числовых полей с четным дискриминантом и числами классов 1, 2 и 3, и распространено на случай нечетного дискриминанта. Иногда называемая проблемой числа классов, этот более общий вопрос был окончательно решен в 1986 году (конкретный вопрос, поставленный Гауссом, был подтвержден Ландау в 1902 году для чисел классов, равных единице). В разделе VII, статье 358, Гаусс доказал то, что можно интерпретировать как первый нетривиальный случай гипотезы Римана для кривых над конечными полями (теорема Хассе — Вейля).